Hverjar eru líkurnar á að fá par, tvö pör, þrennu og svo framvegis í fimm spila póker?

Nafn þitt

Netfang þitt

Netfang móttakanda

Ruslpóstvörn =

Svar

Hverjar eru líkurnar á að fá par, tvö pör, þrennu og svo framvegis í fimm spila póker?
Heildarfjöldi möguleika á að fá fimm spil á hendi í póker er

\[{52 \choose 5} = \frac{52!}{5! \cdot (52-5)!} = \frac{52!}{5! \cdot 47!} = 2.598.960.\]

Hér táknar ${52 \choose 5}$ tvíliðustuðul, sem lesa má um í svari sama höfundar við spurningunni Hvað er tvíliðustuðullinn C(n,k) og hvers vegna er fjöldi tvíundastrengja af lengd n með k ása einmitt C(n,k)?

Líkurnar á að fá tiltekna pókerhönd, eins og til dæmis par, tvö pör, þrennu og svo framvegis, má reikna með því að finna fyrst á hve marga vegu hægt er að fá viðkomandi hönd og deila þeirri tölu síðan með heildarfjölda möguleika á að fá fimm spil á hendi, sem er $2.598.960$ eins og kom fram hér að ofan. Með öðrum orðum má reikna líkurnar með eftirfarandi formúlu:

\[\text{Líkur á að fá hönd} = \frac{\text{Fjöldi möguleika á að fá hana}}{2.598.960}\]

Formúlan er einföld, en yfirleitt er hægara sagt en gert að finna fjölda möguleika á að fá tiltekna pókerhönd, og til þess þarf að hafa nokkra reynslu af talningarfræði. Sem dæmi verður nú sýnt hvernig hægt er að reikna fjölda möguleika á að fá par.

Hugsum okkur þá að við ætlum að velja fimm spil á hendi sem gefa par. Þá veljum við fyrst gildi parsins, það er hvort það á að vera ásapar, tvistapar, þristapar, fjarkapar og svo framvegis, en það getum við auðvitað gert á 13 vegu. Síðan veljum við sortir fyrir spilin tvö sem mynda parið, en það má gera á ${4 \choose 2}$ vegu, því spilin eru tvö og sortirnar eru fjórar.

Málverk frá 17. öld eftir Theodor Rombouts (1597-1637).

Þegar hér er komið sögu höfum við valið tvö spil á hendi og eigum þá eftir að velja hin þrjú. Þar sem við viljum aðeins enda með eitt par á hendi verðum við að gæta að því að þessi þrjú spil hafi þrjú ólík gildi. Við höfum alls úr 12 gildum að velja, því við megum auðvitað ekki velja sama gildi og við völdum fyrir spilin tvö í síðustu efnisgrein, svo gildi spilanna þriggja getum við valið á ${12 \choose 3}$ vegu. Loks getum við valið sortir þeirra á $4^3$ vegu, því spilin eru þrjú og fyrir sérhvert þeirra getum við valið sortina á fjóra vegu.

Ef við tökum talninguna úr síðustu tveimur efnisgreinum saman, þá sjáum við að heildarfjöldi möguleika á að fá par á hendi í fimm spila póker er:

\[13 \cdot {4 \choose 2} \cdot {12 \choose 3} \cdot 4^3 = 1.098.240.\]

Samkvæmt formúlunni að ofan er þá hægt að reikna líkurnar á að fá par á hendi svona:

\[\frac{1.098.240}{2.598.960} \approx 42,\!26\%.\]

Taflan hér að neðan sýnir líkurnar á að fá hverja og eina pókerhönd. Fyrir þá sem hafa áhuga á því er einnig sýnt hvernig hægt er að reikna fjölda möguleika á að fá viðkomandi hönd. Í flestum tilfellum er hugsunin bakvið útreikningana mjög svipuð hugsuninni bakvið útreikningana sem farið var í hér að ofan.

Hönd	Fjöldi möguleika	Líkur
Par	$\displaystyle 13 \cdot {4 \choose 2} \cdot {12 \choose 3} \cdot 4^3 = 1.098.240$	$42,\!26\%$
Tvö pör	$\displaystyle {13 \choose 2} \cdot {4 \choose 2}^{\!\!2} \cdot 44 = 123.552$	$4,\!75\%$
Þrenna	$\displaystyle 13 \cdot {4 \choose 3} \cdot {12 \choose 2} \cdot 4^2 = 54.912$	$2,\!11\%$
Röð	$\displaystyle 10 \cdot 4^5 - 10 \cdot 4 = 10.200$	$0,\!39\%$
Litur	$\displaystyle 4 \cdot {13 \choose 5}- 4 \cdot 10 = 5.108$	$0,\!20\%$
Fullt hús	$\displaystyle {13 \choose 2} \cdot 2 \cdot {4 \choose 3} \cdot {4 \choose 2} = 3.744$	$0,\!14\%$
Ferna	$\displaystyle 13 \cdot 48 = 624$	$0,\!024\%$
Litaröð	$\displaystyle 4 \cdot 9 = 36$	$0,\!0014\%$
Konungleg litaröð	$4$	$0,\!0000015\%$

Mynd:

• Terminators. Sótt 4.10.2011.

Upphaflega var spurningin sem hér segir:

Hverjar eru líkurnar á að fá „royal flush“ í póker?

...