Er 26 eina heila talan sem er klemmd milli ferningstölu og teningstölu?

Nafn þitt

Netfang þitt

Netfang móttakanda

Ruslpóstvörn =

Svar

Er 26 eina heila talan sem er klemmd milli ferningstölu og teningstölu?
Ferningstala er tala sem fæst með því að margfalda heila tölu við sjálfa sig. Dæmi um ferningstölur eru tölurnar $9 = 3 \cdot 3$ og $121 = (-11) \cdot (-11)$. Teningstala er tala sem fæst með því að margfalda heila tölu tvisvar við sjálfa sig. Dæmi um teningstölur eru tölurnar $64 = 4 \cdot 4 \cdot 4$ og $-2197 = (-13) \cdot (-13) \cdot (-13)$.

Að heil tala sé klemmd milli fernings- og teningstölu þýðir hér að næsta heila talan á undan henni sé ferningstala og að næsta heila talan á eftir henni sé teningstala. Með öðrum orðum er heil tala $n$ klemmd milli fernings- og teningstölu ef rita má $n - 1 = x \cdot x$ og $n + 1 = y \cdot y \cdot y$, þar sem $x$ og $y$ eru einhverjar heilar tölur.

Talan $26$ er greinilega eitt dæmi um slíka tölu því $25 = 5 \cdot 5$ og $27 = 3 \cdot 3 \cdot 3$. Það kemur síðan í ljós að engin önnur heil tala hefur þennan eiginleika, eins og franska stærðfræðingnum Pierre de Fermat (1601-1665) tókst að sanna á 17. öld. Með öðrum orðum er $26$ eina heila talan sem er klemmd milli fernings- og teningstölu.

Einna athyglisverðast við þessa niðurstöðu er hversu erfitt reynist að sanna hana. Ekki þarf annað en undirstöðuþekkingu á heilu tölunum og margföldun til að skilja niðurstöðuna sjálfa, en einfaldasta sönnunin sem fundist hefur krefst flókinnar talnafræðiþekkingar. Sjálfur þurfti Fermat að liggja lengi yfir sönnun sinni og jafnframt þurftu margir af samtíðarmönnum hans að játa sig sigraða eftir að hafa glímt við þetta verkefni.

Ýmis vandamál innan stærðfræðinnar eru gædd þessum eiginleika að vera erfið úrlausnar þrátt fyrir að inntakið sé einfalt. Frægast þeirra er án efa síðasta setning Fermats, niðurstaða sem fannst í fórum Fermats að honum látnum. Fermat hafði skrifað hana á spássíu ritsins Arithmetica eftir gríska stærðfræðinginn Díófantos og bætt því við að hann ætti alveg dásamlega sönnun á henni, en að spássían rúmaði ekki sönnunina. Stærðfræðingar voru hálfa fjórðu öld að fylla í eyðurnar, því það var ekki fyrr en árið 1994 sem bresk-bandaríski stærðfræðingurinn Andrew Wiles birti fyrstu viðurkenndu sönnunina á síðustu setningu Fermats.

Annað þekkt verkefni af þessu tagi er Goldbach-tilgátan, sem segir að sérhverja slétta tölu, aðra en $2$, megi skrifa sem summu tveggja frumtalna. Prússneski stærðfræðingurinn Christian Goldbach (1690-1764) setti þessa tilgátu fram árið 1742, en ekki hefur enn tekist að skera úr um hvort hún er sönn eða ósönn.

Heimild:

• Singh, S. (2006). Síðasta setning Fermats (Kristín Halla Jónsdóttir, þýð.). Reykjavík: Hið íslenska bókmenntafélag.

Myndir:

• Fyrri myndin var teiknuð af höfundi svarsins.
• Mynd af Fermat: Pierre de Fermat - Wikimedia Commons. (Sótt 12.6.2012).

Upphaflega spurningin var sem hér segir:

Jafnan $x \cdot x = y \cdot y \cdot y-2$ hefur lausnir í $\mathbb{N}$ sem eru $x = 5$ og $y = 3$. Eru þetta einu lausnirnar í $\mathbb{N}$ og er hægt að sanna það?

...