Hvað er óreiða í stærðfræði?

Nafn þitt

Netfang þitt

Netfang móttakanda

Ruslpóstvörn =

Svar

Hvað er óreiða í stærðfræði?
Í stærðfræði og tengdum greinum getur hugtakið óreiða (e. entropy) vísað til nokkurra mismunandi hluta. Í upplýsingafræði er til dæmis talað um upplýsingaóreiðu sem er mat á lágmarksfjölda já/nei svara sem kóða ákveðnar upplýsingar. Miklar hagnýtingar felast í þessu þar sem upplýsingaóreiðan segir til um lágmarksfjölda bita sem þarf til þess að geyma ákveðna upplýsingar og þá hversu mikið er hægt að þjappa ákveðnum upplýsingum þegar þeir eru geymdar í tölvu. Þjöppun á myndum með jpeg-staðlinum er dæmi um hagnýtingu. Í varmafræði og safneðlisfræði er hugtakið óreiða notað um rúmmál í fasarúmi sem svarar til ákveðins varmafræðilegs ástands kerfis. Samkvæmt öðru lögmáli varmafræðinnar gildir að heildaróreiða kerfis getur ekki minnkað. Af því leiðir að til þess að minnka óreiðu í einum hluta kerfis þarf að auka hana þeim mun meira í öðrum hlutum þess.

Hugtakið grannfræðileg óreiða er notað um óreiðu í kerfum sem geta breyst í tíma. Slík kerfi eru nefnd hreyfikerfi og hugtakið vísar til stærðfærðilegrar lýsingar á þeim. Grannfræðileg óreiða er tölulegur mælikvarði á kaós. Ástand kerfisins við gefinn tíma er punktur í svokölluðu ástandsrúmi kerfisins. Staðsetning punktsins getur svo breyst sem fall af tíma. Sem dæmi getum við tekið sólkerfið okkar sem hægt er að lýsa til einföldunar með 6 hnitum fyrir hverja plánetu: 3 hnit fyrir staðsetningu í rúminu miðað við sól og 3 hnit fyrir skriðþunga. Ástandsrúmið er þá 6*9 = 54-vítt ef við teljum Plútó með sem plánetu og ástandið á hverjum tíma er punktur í þessu 54-víða rúmi. Hreyfijöfnurnar fást síðan með þyngdarlögmáli Newtons eða frá almennu afstæðiskenningunni, allt eftir því hvaða líkan við viljum nota til þess að lýsa kerfinu.

Hreyfikerfi þar sem breytingu á ástandi kerfisins er lýst með línulegu líkani eru ekki mjög flókin og afar vel skilin. Oft er því freistandi fyrir verkfræðinga og vísindamenn að setja fram línuleg líkön af því sem þeir eru að fást við, jafnvel þótt raunveruleikinn sé sjaldnast línulegur. Ólínuleg hreyfikerfi geta haft afar flókna hegðun og stundum er hún svo ruglingsleg og óregluleg að talað er um kaós. Skilgreiningin á grannfræðilegri óreiðu kemur til vegna vilja til þess að flokka hreyfikerfi eftir því hversu óreiðukennd þau eru. Það er, við úthlutum sérhverju hreyfikerfi tölu sem segir til um hversu óreiðukennt eða kaótískt það sé. Hreyfikerfi sem hafa grannfræðilega óreiðu jafna núlli eru ekki kaótísk og í þennan flokk falla meðal annars öll línuleg kerfi. Hreyfikerfi sem hafa grannfræðilega óreiðu stærri en núll teljast kaótísk. Þeim mun stærri sem grannfræðileg óreiða kerfisins er, þeim mun kaótískara er það.

Nauðsynlegt skilyrði til þess að hreyfikerfi teljist óreiðukennt er að það sé viðkvæmt fyrir upphafsskilyrðum. Oft er talað um fiðrildahrif (e. butterfly effect) í þessu samhengi. Nafnið fiðrildahrif kemur frá þerri staðreynd að hreyfijöfnurnar sem notaðar eru til að lýsa streymi í lofthjúpnum eru þess eðlis að fiðrildi sem blakar vængjunum í Kína gæti valdið hvirfilbyl á Íslandi löngu síðar. Ástæðan er sú að hreyfijöfnurnar eru viðkvæmar fyrir upphafsskilyrðum og örlítil breyting á þeim, til dæmis vængjablak fiðrildis, getur valdið stórvægilegum breytingum eins og hvirfilbyl í kerfinu síðar. Það að hreyfikerfi sé viðkvæmt fyrir upphafsskilyrðum er þó ekki nóg til þess að það teljist óreiðukennt. Einnig er ætlast til þess að lausnarferlar fylli í ákveðnum skilningi upp í margvíð hlutmengi í ástandsrúminu.

Grannfræðileg óreiða er tala sem hægt er að reikna út fyrir sérhvert hreyfikerfi og magnhæfir kaós kerfisins. Nokkrir af helstu stærðfræðingum nútímans hafa reynt að reikna eða meta grannfræðilega óreiðu áhugaverðra kerfa en það hefur gengið afar illa. Í einföldu máli er hugmyndin að reikningnum á grannfræðilegri óreiðu kerfis eftirfarandi:

Við brytjum ástandsrúm hreyfikerfisins niður í litla búta og númerum bútana. Ef við fáum nú uppgefna runu af vaxandi tímum og númerum búta sem ástand kerfisins er í á hverjum þessara tíma, þá höfum við tilteknar upplýsingar um ákveðinn lausnarferil kerfisins. Ef við fáum aðra runu með sömu tímum en öðrum númerum á bútum þá vitum við að lausnarferillinn getur ekki verið sá sami.

Grannfræðileg óreiða hreyfikerfisins er mælikvarði á hversu hratt við þurfum að fjölga bútum í niðurbrytjun ástandsrúmsins ef við viljum geta aðskilið alla mismunandi lausnarferla sem byrja sífellt nær hver öðrum. Nútíma stærðfræði má byggja á stoðum ríkjafræði (e. category theory). Í stærðfræði gegna svokallaðar óbreytur (e. invariants) og samhverfur (e. symmetries) lykilhlutverki. Mikilvægi grannfræðilegrar óreiðu felst meðal annars í því að hún er óbreyta í ríki grannfræðilegra kvikra kerfa. Hún flokkar því hreyfikerfi eftir óreiðu þeirra og það er ekki hægt að minnka hana í einhverju tilteknu kerfi með einhverjum bellibrögðum heldur er hún fastur eiginleiki kerfisins.

Mynd:

• Wikipedia - Chaos theory. (Sótt 21.9.2018). Birt undir leyfinu Creative Commons 3.0.

...