„Ef A = B og B = C þá er A = C.“ Hvernig má það vera? Ef um sama hlutinn er að ræða, af hverju skyldum við skipta honum í A, B og C?

Svar

Þegar táknið „=“ er notað, þá er það almennt fyrst og fremst í tveimur merkingum.

Í fyrsta lagi merkir það „jafnt og“, þ.e. gefið er til kynna að það sem stendur sitt hvoru megin við „=“ sé jafnt eða jafnstórt (í einhverjum skilningi), eða öllu heldur vísi til þess sem er jafnt eða jafnstórt. Þegar sagt er t.d., að „8+9=17“, er átt við, að samlagning átta og níu gefi sautján.

Í öðru lagi merkir táknið „=“ það sama og „er sami hlutur og“, þ.e. gefið er til kynna að það sem stendur sitt hvoru megin við „=“ sé einn og sami hlutur, eða öllu heldur vísi til sama hlutar. Þegar sagt er t.d. „Thule er (var) Ísland“, þá mætti tjá það með „Thule=Ísland“, þ.e. sagt er að nöfnin „Ísland“ og „Thule“ vísi til sama hlutar (lands).

Í fyrri merkingunni er talað um jöfnuð, en í þeirri seinni um samsemd. Reyndar er til regla, kennd við þýska heimspekinginn Gottfrieds Wilhelms Leibniz (1646-1716), sem tengir saman jöfnuð og samsemd, og segir „ef hlutir eru að öllu leyti eins („jafnir“), þá eru þeir einn og sami hlutur“. Því er oft litið á jafnaðarfullyrðingar í reikningi, eins og þá sem nefnd var að framan, sem fullyrðingar um samsemd, þ.e. „8+9=17“ er talin merkja, að „8+9“ og „17“ vísi til sama hlutar.

Við þurfum oft á dómum um samsemd að halda, vegna þess að þekking okkar á hlutunum er aldrei fullkomin, og við þekkjum þá aðeins frá ákveðnu sjónarhorni. Þannig þekkjum við vatn sem glæran vökva, sem hefur ákveðið bragð og eiginleika. Efnafræðin segir okkur, að það hafi formúluna H₂O, og „þekkir“ vatn því undir öðru sjónarhorni en við gerum í daglegu lífi. Því veitir samsemdardómurinn „vatn=H₂O“ okkur mikilvægar upplýsingar, nefnilega þær að efnið vatn hafi ákveðna efnafræðilega samsetningu. En hann gerir það aðeins vegna þeirrar takmörkunar okkar, að við búum ekki yfir fullkominni þekkingu á öllu.

Þótt samsemdardómur sé gagnlegur eða jafnvel nauðsynlegur vegna takmörkunar á þekkingu okkar, er ekki þar með sagt að hann fullyrði eitthvað um þessa takmörkun. Samsemdardómurinn „Thule=Ísland“ er sannur, ef Thule og Ísland eru eitt og sama landið, og hann tjáir þessi sannindi. Við erum ekki að „skipta“ ákveðnu landi upp, annars vegar í Thule og hins vegar í Ísland, heldur aðeins að fullyrða, að nöfnin, sem hvort um sig tjáir ákveðið sjónarhorn, vísi til eins og sama lands.

Reglan „Ef A=B, og B=C, þá er A=C“ er kölluð reglan um „framvirkni (ávirkni, á ensku „transitivity“) samsemdar“, og er ein af hinum hefðbundnu reglum um samsemd. Önnur slík regla er „Ef A=B, þá er B=A“. Eins og í öllum samsemdardómum, þá er ekki verið að „skipta“ ákveðnum hlut upp í A, B og C, heldur aðeins fullyrða, að A sé sami hlutur og B. Þessi fullyrðing hefur upplýsingagildi fyrir okkur vegna ofangreindrar takmörkunar okkar, en ekki er verið að fullyrða um hana, eins að framan greinir. Þess vegna er það misskilningur, að samsemdardómar felist í því að „skipta“ hlut upp í ákveðin sjónarhorn.