Í líkindareikningi, sem og öðrum greinum stærðfræðinnar, er upphrópunarmerkið notað á eftir tölu til að tákna margfeldi tölunnar sem það stendur við og allra náttúrulegra talna sem eru minni en talan sjálf. Táknið er lesið „hrópmerkt“ þannig að n! er sagt vera n hrópmerkt. Um þetta gildir til dæmis:
3! = 3 · 2 · 1 = 6
6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720
eða almennt:
n! = n(n-1)(n-2) · ... · 3 · 2 · 1
Þó að þetta sé almenn stærðfræði er ekki út í hött hjá spyrjanda að tengja það sérstaklega við líkindareikning því að n! kemur þar sérstaklega við sögu.
Við getum tekið sem dæmi að við höfum n mismunandi hluti og viljum vita hvað við getum raðað þeim upp á marga vegu, til dæmis í n tiltekin sæti. Við getum þá sett hvern sem er af hlutunum í fyrsta sætið þannig að möguleikarnir á ráðstöfun þess eru n talsins. En að því loknu eru aðeins (n-1) hlutir eftir þannig að við getum aðeins ráðstafað öðru sætinu á (n-1) vegu. Fyrstu tveimur sætunum getum við ráðstafað á samtals n(n-1) vegu. Þriðja sætinu má síðan ráðstafa á (n-2) vegu og svo framvegis. Þegar kemur að síðasta sætinu er aðeins einn hlutur eftir og því aðeins ein leið til að ráðstafa því. Þannig sjáum við að samanlagður fjöldi möguleika á að raða öllum hlutunum er einmitt n! samkvæmt jöfnunni hér á undan.
Ef allar raðanirnar eru jafnlíklegar leiðir þetta til þess að líkindin á hverri röðun um sig eru 1/n! Það er býsna lítil tala ef fjöldi hlutanna er til dæmis kringum hundraðið. Það geta menn séð með því að spyrja vasareikni um tölur eins og 50!, 60! og svo framvegis.
Hægt er að skrifa 0! og er það skilgreint sem 1, en ekki 0 eins og við mætti búast við fyrstu sýn. En í stærðfræði er litið svo á að fjöldi möguleika á því að raða engum hlut í ekkert sæti sé 1. Auk þess hlítir þessi skilgreining sama skilyrði og n! gerir fyrir aðrar tölur, sem sé að
(n+1)! = (n+1) n!
Þetta getur lesandinn séð með því að setja n = 0 í þessari jöfnu.
Heimild og frekara lesefni:
Ross, Sheldon M., Introduction to probability and statistics for engineers and scientists.New York; John Wiley & Sons, 1987.
Mynd:: HB
Einar Örn Þorvaldsson og Þorsteinn Vilhjálmsson. „Fyrir hvað stendur upphrópunarmerkið, '!', í líkindareikningi?“ Vísindavefurinn, 31. janúar 2002. Sótt 19. apríl 2024. http://visindavefur.is/svar.php?id=2087.
Einar Örn Þorvaldsson og Þorsteinn Vilhjálmsson. (2002, 31. janúar). Fyrir hvað stendur upphrópunarmerkið, '!', í líkindareikningi? Vísindavefurinn. Sótt af http://visindavefur.is/svar.php?id=2087
Einar Örn Þorvaldsson og Þorsteinn Vilhjálmsson. „Fyrir hvað stendur upphrópunarmerkið, '!', í líkindareikningi?“ Vísindavefurinn. 31. jan. 2002. Vefsíða. 19. apr. 2024. <http://visindavefur.is/svar.php?id=2087>.
Hér getur þú sent okkur nýjar spurningar um vísindaleg efni.
Hafðu spurninguna stutta og hnitmiðaða og sendu aðeins eina í einu. Einlægar og vandaðar spurningar
um mikilvæg efni eru líklegastar til að kalla fram vönduð og greið svör. Ekki er víst að tími vinnist til að
svara öllum spurningum.
Persónulegar upplýsingar um spyrjendur eru eingöngu notaðar í starfsemi vefsins, til dæmis til að
svör verði við hæfi spyrjenda. Spurningum er ekki sinnt ef spyrjandi villir á sér heimildir eða segir ekki
nægileg deili á sér.
Spurningum sem eru ekki á verksviði vefsins er eytt.
Að öðru leyti er hægt að spyrja Vísindavefinn um allt milli himins og jarðar!
Sólin
Rís 05:40 • sest 21:16
Tunglið
Rís 15:13 • Sest 05:59
Flóð
Árdegis: 03:57 • Síðdegis: 16:31
Fjara
Árdegis: 10:23 • Síðdegis: 22:34
Við getum tekið sem dæmi að við höfum n mismunandi hluti og viljum vita hvað við getum raðað þeim upp á marga vegu, til dæmis í n tiltekin sæti. Við getum þá sett hvern sem er af hlutunum í fyrsta sætið þannig að möguleikarnir á ráðstöfun þess eru n talsins. En að því loknu eru aðeins (n-1) hlutir eftir þannig að við getum aðeins ráðstafað öðru sætinu á (n-1) vegu. Fyrstu tveimur sætunum getum við ráðstafað á samtals n(n-1) vegu. Þriðja sætinu má síðan ráðstafa á (n-2) vegu og svo framvegis. Þegar kemur að síðasta sætinu er aðeins einn hlutur eftir og því aðeins ein leið til að ráðstafa því. Þannig sjáum við að samanlagður fjöldi möguleika á að raða öllum hlutunum er einmitt n! samkvæmt jöfnunni hér á undan.
Ef allar raðanirnar eru jafnlíklegar leiðir þetta til þess að líkindin á hverri röðun um sig eru 1/n! Það er býsna lítil tala ef fjöldi hlutanna er til dæmis kringum hundraðið. Það geta menn séð með því að spyrja vasareikni um tölur eins og 50!, 60! og svo framvegis.
Hægt er að skrifa 0! og er það skilgreint sem 1, en ekki 0 eins og við mætti búast við fyrstu sýn. En í stærðfræði er litið svo á að fjöldi möguleika á því að raða engum hlut í ekkert sæti sé 1. Auk þess hlítir þessi skilgreining sama skilyrði og n! gerir fyrir aðrar tölur, sem sé að
