Senda inn spurningu
Sólin Sólin Rís 05:36 • sest 21:19 í Reykjavík
Tunglið Tunglið Rís 16:44 • Sest 05:50 í Reykjavík
Flóð Flóð Árdegis: 04:37 • Síðdegis: 17:05 í Reykjavík
Fjaran Fjara Árdegis: 10:57 • Síðdegis: 23:09 í Reykjavík
Visit the English version

Flokkun:

Náttúruvísindi og verkfræði Stærðfræði

Ef tíu frambjóðendur keppa um sex sæti í prófkjöri, á hve marga vegu geta sætin þá skipast?

Einar Örn Þorvaldsson og Þorsteinn Vilhjálmsson

Spyrjandi bætir svo við:
Getur verið að það sé um 150 þúsund vegu?
Það er rétt hjá spyrjanda að sætin geta skipast á rúmlega 150 þúsund vegu eða nákvæmlega 151.200 vegu.

Hægt er að hugsa dæmið þannig að hver hinna tíu frambjóðenda gæti lent í fyrsta sæti. Þá gæti einhver hinna níu lent í öðru sæti; átta möguleikar eru á að skipa þriðja sætið og svo koll af kolli.

Þannig gætu sætin raðast á
10 ∙ 9 ∙ 8 ∙ 7 ∙ 6 ∙ 5 = 151.200 vegu.
Ef við köllum hvern frambjóðanda með bókstaf, A, B, C, D, E, F, G, H, I og J, má til dæmis byrja á að raða þeim upp svona:
A-B-C-D-E-F
A-B-C-D-E-G
A-B-C-D-E-H
A-B-C-D-E-I
A-B-C-D-E-J
Þannig má halda áfram þar til allir 151.200 möguleikarnir eru komnir fram.

Fyrir þá sem eiga erfitt að trúa að möguleikarnir séu svona margir, getum við tekið dæmi með færri frambjóðendum. Segjum að fjórir frambjóðendur (A, B, C og D) keppi um þrjú sæti og skoðum mögulegar niðurstöður. Röðum upp öllum möguleikum:
ABC   -   BAC   -   CAB   -   DAB

ABD   -   BAD   -   CAD   -   DAC

ACB   -   BCA   -   CBA   -   DBA

ACD   -   BCD   -   CBD   -   DBC

ADB   -   BDA   -   CDA   -   DCA

ADC   -   BDC   -   CDB   -   DCB
Þegar við höfum fullvissað okkur um að möguleikarnir séu ekki fleiri getum við reiknað fjölda þeirra á sama hátt og áður:
4 ∙ 3 ∙ 2 = 24
Þetta kemur heim og saman við talningu á fjölda möguleika hér að ofan.

Þegar stærðfræðingar fást við þessa hluti nota þeir oft sérstakt fall (function) sem nefnist aðfeldisfall (factorial function) eða hrópmerkt tala (factorial number) og er táknað með upphrópunarmerki. Þannig er til dæmis
5! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 = 120

n! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ ... ∙ n
þar sem n táknar ótiltekna heila plústölu. Með hjálp þessa falls má skrifa töluna sem rætt er um í upphafi svarsins sem
10!/4! = 10∙9∙8∙7∙6∙5∙4∙3∙2∙1/(4∙3∙2∙1) = 10∙9∙8∙7∙6∙5 = 151.200
Að lokum er rétt að nefna að hér er í raun spurt á hve marga vegu má raða mönnum úr 10 manna hópi í 6 sæti en einnig hefði mátt spyrja á hve marga vegu sé hægt að úthluta 6 sætum til einstaklinga í 10 manna hópi, án þess að spurt sé um röðun. Sú spurning jafngildir því á hve marga vegu sé hægt að skipta 10 mismunandi hlutum í tvennt þannig að sex lendi öðrum megin en fjórir hinum megin.

Allar raðanir með sömu sex mönnum í sætunum hér á undan eru þá sama úthlutunin en fjöldi þessara raðana er 6! = 720. Við deilum með þeirri tölu í fjölda raðana og fáum að úthlutanir eða skiptingar eru samtals
10!/(4! ∙ 6!) = 4300

Höfundar

Einar Örn Þorvaldsson

Einar Örn Þorvaldsson

háskólanemi og fyrrverandi starfsmaður Vísindavefsins

Þorsteinn Vilhjálmsson

Þorsteinn Vilhjálmsson

prófessor emeritus, ritstjóri Vísindavefsins 2000-2010 og ritstjóri Evrópuvefsins 2011

Útgáfudagur

10.6.2003

Spyrjandi

Gunnar Guðmundsson

Efnisorð

Tilvísun

Einar Örn Þorvaldsson og Þorsteinn Vilhjálmsson. „Ef tíu frambjóðendur keppa um sex sæti í prófkjöri, á hve marga vegu geta sætin þá skipast?“ Vísindavefurinn, 10. júní 2003. Sótt 20. apríl 2024. http://visindavefur.is/svar.php?id=3487.

Einar Örn Þorvaldsson og Þorsteinn Vilhjálmsson. (2003, 10. júní). Ef tíu frambjóðendur keppa um sex sæti í prófkjöri, á hve marga vegu geta sætin þá skipast? Vísindavefurinn. Sótt af http://visindavefur.is/svar.php?id=3487

Einar Örn Þorvaldsson og Þorsteinn Vilhjálmsson. „Ef tíu frambjóðendur keppa um sex sæti í prófkjöri, á hve marga vegu geta sætin þá skipast?“ Vísindavefurinn. 10. jún. 2003. Vefsíða. 20. apr. 2024. <http://visindavefur.is/svar.php?id=3487>.

Chicago | APA | MLA

Tengd svör

Þessi síða notar vafrakökur Nánari upplýsingar

Ég samþykki
Spyrja

Sendu inn spurningu LeiðbeiningarTil baka

Hér getur þú sent okkur nýjar spurningar um vísindaleg efni.

Hafðu spurninguna stutta og hnitmiðaða og sendu aðeins eina í einu. Einlægar og vandaðar spurningar um mikilvæg efni eru líklegastar til að kalla fram vönduð og greið svör. Ekki er víst að tími vinnist til að svara öllum spurningum.

Persónulegar upplýsingar um spyrjendur eru eingöngu notaðar í starfsemi vefsins, til dæmis til að svör verði við hæfi spyrjenda. Spurningum er ekki sinnt ef spyrjandi villir á sér heimildir eða segir ekki nægileg deili á sér.

Spurningum sem eru ekki á verksviði vefsins er eytt.

Að öðru leyti er hægt að spyrja Vísindavefinn um allt milli himins og jarðar!

=

Senda grein til vinar

=

Ef tíu frambjóðendur keppa um sex sæti í prófkjöri, á hve marga vegu geta sætin þá skipast?
Spyrjandi bætir svo við:

Getur verið að það sé um 150 þúsund vegu?
Það er rétt hjá spyrjanda að sætin geta skipast á rúmlega 150 þúsund vegu eða nákvæmlega 151.200 vegu.

Hægt er að hugsa dæmið þannig að hver hinna tíu frambjóðenda gæti lent í fyrsta sæti. Þá gæti einhver hinna níu lent í öðru sæti; átta möguleikar eru á að skipa þriðja sætið og svo koll af kolli.

Þannig gætu sætin raðast á
10 ∙ 9 ∙ 8 ∙ 7 ∙ 6 ∙ 5 = 151.200 vegu.
Ef við köllum hvern frambjóðanda með bókstaf, A, B, C, D, E, F, G, H, I og J, má til dæmis byrja á að raða þeim upp svona:
A-B-C-D-E-F
A-B-C-D-E-G
A-B-C-D-E-H
A-B-C-D-E-I
A-B-C-D-E-J
Þannig má halda áfram þar til allir 151.200 möguleikarnir eru komnir fram.

Fyrir þá sem eiga erfitt að trúa að möguleikarnir séu svona margir, getum við tekið dæmi með færri frambjóðendum. Segjum að fjórir frambjóðendur (A, B, C og D) keppi um þrjú sæti og skoðum mögulegar niðurstöður. Röðum upp öllum möguleikum:
ABC   -   BAC   -   CAB   -   DAB

ABD   -   BAD   -   CAD   -   DAC

ACB   -   BCA   -   CBA   -   DBA

ACD   -   BCD   -   CBD   -   DBC

ADB   -   BDA   -   CDA   -   DCA

ADC   -   BDC   -   CDB   -   DCB
Þegar við höfum fullvissað okkur um að möguleikarnir séu ekki fleiri getum við reiknað fjölda þeirra á sama hátt og áður:
4 ∙ 3 ∙ 2 = 24
Þetta kemur heim og saman við talningu á fjölda möguleika hér að ofan.

Þegar stærðfræðingar fást við þessa hluti nota þeir oft sérstakt fall (function) sem nefnist aðfeldisfall (factorial function) eða hrópmerkt tala (factorial number) og er táknað með upphrópunarmerki. Þannig er til dæmis
5! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 = 120

n! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ ... ∙ n
þar sem n táknar ótiltekna heila plústölu. Með hjálp þessa falls má skrifa töluna sem rætt er um í upphafi svarsins sem
10!/4! = 10∙9∙8∙7∙6∙5∙4∙3∙2∙1/(4∙3∙2∙1) = 10∙9∙8∙7∙6∙5 = 151.200
Að lokum er rétt að nefna að hér er í raun spurt á hve marga vegu má raða mönnum úr 10 manna hópi í 6 sæti en einnig hefði mátt spyrja á hve marga vegu sé hægt að úthluta 6 sætum til einstaklinga í 10 manna hópi, án þess að spurt sé um röðun. Sú spurning jafngildir því á hve marga vegu sé hægt að skipta 10 mismunandi hlutum í tvennt þannig að sex lendi öðrum megin en fjórir hinum megin.

Allar raðanir með sömu sex mönnum í sætunum hér á undan eru þá sama úthlutunin en fjöldi þessara raðana er 6! = 720. Við deilum með þeirri tölu í fjölda raðana og fáum að úthlutanir eða skiptingar eru samtals
10!/(4! ∙ 6!) = 4300
...