Hvað eru heildun og deildun og hvernig nýtast þær í leik og starfi?

Svar

Heildun (e. integration) og deildun (differentiation) eru aðgerðir á stærðfræðilegum föllum (e. functions). Fall er eins konar lýsing á samhengi stærða. Ef um tvær stærðir er að ræða er önnur stærðin, sem nefnd er frumbreytan (e. independent variable; fleiri íslensk orð eru til), gjarnan sett á láréttan ás, x-ás, í hnitakerfi, en hin stærðin, fylgibreytan (e. dependent variable), sett á lóðréttan ás, y-ás. Láréttu og lóðréttu hnitin mynda saman punkta í hnitakerfinu. Séu stærðirnar rauntölur mynda punktarnir feril fallsins f, sem er yfirleitt samhangandi. Á myndinni hér fyrir neðan nefnist frumbreytan x, en fylgibreytan y. Sagt er að y = f(x), eða að y sé fall af x, þegar gildi y er háð gildi x.


Ef fallið f er heildað á milli gildanna a og b fæst flatarmál flatarins S sem nær frá ferli fallsins og niður á x-ás.
Eins og áður er sagt nefnist heildun á erlendum málum integration sem merkir eiginlega sameining í eina heild. Heildun fallsins f á tilteknu bili gilda fyrir x, til dæmis á bilinu frá a til b, felst í að finna flatarmál flatarins S milli ferils fallsins og x-áss. Við getum hugsað okkur að flöturinn S sé sniðinn niður í óendanlega margar örmjóar lóðréttar ræmur og flatarmál ræmanna, sem líta má á sem rétthyrninga, sé síðan lagt saman. Að finna flatarmálið með þessum hætti er nefnt að reikna ákveðið heildi (e. definite integral).

Menn kunnu snemma að reikna flatarmál undir nokkrum ferlum. Til dæmis fann Arkímedes (287–212 f. Kr.) flatarmál innan fleygboga (e. parabola). En þótt til væru formúlur fyrir flatarmáli undir ferlum nokkurra einstakra falla voru ekki til almennar reglur. Upphaf heildunar fólst í að menn fóru að átta sig á samhengi fallsins f og falls fyrir flatarmál undir ferli þess. Fylgi fallið f ákveðinni reiknireglu lýtur flatarmálið líka tiltekinni reglu, þótt ekki sé alltaf hægt að tjá regluna með einhverju þeirra stærðfræðilegu falla sem þekkt eru. Að finna slíkt stofnfall (e. antiderivative) F fyrir fallið f kallast að finna óákveðið heildi (e. indefinite integral) fallsins. Að æfa sig í heildun felst í því að læra að þekkja hinar ýmsu myndir falla sem hægt er að finna stofnfall fyrir.

Merkingu flatarmáls undir ferli fallsins f má síðan túlka í samhengi við þær stærðir sem fallið f lýsir. Lýsi óháða stærðin x til dæmis tíma en afleidda stærðin f(x) hraða, sem er ef til vill breytilegur, þá lýsir flatarmálið heildarvegalengdinni sem farin er frá tíma a til tíma b.

Heildun má einnig nota til að reikna rúmmál. Má þar nefna rúmmál snúðs, sem snúa má um öxul. Dæmi um snúða eru flöskur, keilur og kúlur.

Deildun nefnist á erlendum málum differentiation eins og áður er sagt. Það svið stærðfræðinnar sem fjallar um hana nefnist differential calculus, þar sem „differential“ merkir mismunar- og „differential calculus“ þá mismunarreikningur. Deildun falls felst í því að finna nýtt fall sem lýsir því hvernig upphaflega fallið f breytist við breytingu á óháðu breytunni. Nýja fallið nefnist afleiða (e. derivative) fallsins f og er oft táknað með f’(x) eða df/dx. Myndrænt séð felst deildunin í að finna reglu um hallatölu snertils við feril fallsins. Hallatalan í punktinum þar sem snertillinn snertir ferilinn lýsir því hvort og hversu ört ferillinn er á leið upp eða niður í þeim punkti. Segja má að hallatalan lýsi augnabliksbreytingu.


Afleiðan f’(x) lýsir því hvernig græni ferillinn breytist í hverjum punkti á x-ás. Í punkti x er f’(x), hallatala brúnu snertilínunnar, jákvæð sem gefur til kynna að græni ferillinn sé á leiðinni upp í þeim punkti.
Hagnýting deildunar er mjög fjölbreytt. Í eðlisfræði er hún til dæmis notuð til að rannsaka hraðabreytingar eða dvínun geislunar frá geislavirkum efnum, í hagfræði til að rannsaka hagvöxt, í viðskiptafræði til að skoða breytingar á hagnaði, í læknisfræði til að segja fyrir um dvínun áhrifa lyfja með tímanum, í náttúrufræði um vöxt lífvera, og svo mætti lengi telja. Einnig má nota hana við lýsingu á því hvernig tiltekin stærð er háð stað, til dæmis þegar við viljum finna halla í brekku.

Heildun og deildun eru náskyldar aðgerðir. Samt sem áður urðu þær til óháðar hvor annarri og voru taldar aðskildar allt þar til enski stærðfræðingurinn Newton (1643–1727) og þýski stærðfræðingurinn Leibniz (1646–1716) sameinuðu hvor í sínu lagi fræðin um þær á seinni hluta 17. aldar. Þeir Newton og Leibniz uppgötvuðu að heildun er andhverf aðgerð við deildun, rétt eins og frádráttur er andhverf aðgerð við samlagningu. Þegar fall f er heildað hefur óákveðið heildi þess, stofnfallið F sem finna skal, upphaflega fallið f fyrir afleiðu. Fallið F er því nefnt andafleiða f. Sé afleiða fallsins F táknuð með F’ má lýsa þessu samhengi með jöfnunni:

F’(x) = f(x)
Skilyrði þess að jafnan eigi við föllin F og f eru að F sé deildanlegt fall og f heildanlegt fall, en því verða ekki gerð nánari skil hér.

Heimildir og myndir

• Derivative Wikipedia, frjálsa alfræðiorðabókin.
• Integral. Wikipedia, frjálsa alfræðiorðabókin.