Vilhjálmur Ögmundsson (1897–1965), bóndi á Narfeyri á Skógarströnd, stundaði rannsóknir í stærðfræði nær alla sína ævi einn síns liðs og án þeirrar formlegu menntunar sem nauðsynleg hefur talist til að takast á við slík verk. Störf hans vöktu undrun og aðdáun stærðfræðinga og við ævilok höfðu niðurstöður rannsókna hans birst í viðurkenndu fræðitímariti.
Vilhjálmur ól svo til allan aldur sinn við Breiðafjörð, innan- og sunnanverðan. Hann fæddist að Fremra Vífilsdal í Hörðudal árið 1897. Eftir nám í Verzlunarskóla Íslands vann hann að búi foreldra sinna en var síðar við skrifstofustörf í Reykjavík einn vetur. Hann kvæntist árið 1929 og fluttist árið 1930 að Narfeyri á Skógarströnd. Þar bjó hann búi sínu til æviloka árið 1965.
Vilhjálmur stundaði nám í Verzlunarskólanum í tvo vetur og lauk þaðan mjög góðu prófi árið 1914. Auk verslunargreina nam hann erlend tungumál: ensku, dönsku og þýsku. Löngun hans stóð til menntaskólanáms er ekki gat orðið af en hann bætti sér það upp með því að fá sér tíma í frönsku. Tungumálanámið nýttist Vilhjálmi vel. Hann viðaði að sér erlendum bókum um stærðfræði og varð vel ritfær um það efni á ensku. Vilhjálmur hefur líklega kynnst Ólafi Daníelssyni stærðfræðingi á Reykjavíkurárum sínum. Fyrstu heimildina um stærðfræðiiðju Vilhjálms er að finna í formála Ólafs að bók hans Kenslubók í hornafræði, útgefin 1923. Þar segir: „Ennfremur hef jeg í lok bókarinnar sett nokkrar reglur um ferhyrninga. Naut jeg þar góðra bendinga frá Vilhjálmi Ögmundssyni, ungum bóndasyni vestur í Dölum.“
Framan af mun Vilhjálmur hafa kynnt sér ýmis fræði, svo sem stjörnufræði og eðlisfræði, til dæmis afstæðiskenninguna, og hann eignaðist meðal annars bækur um lagningu vatnsleiðslna í borgum. En hann glímdi einnig við stærðfræðina, til dæmis við fertölur (e. quaternions) um 1920. Fertölur eru gerðar úr ferundum og má líta á sem útvíkkun á tvinntölum, gerðum úr tvenndum. Vilhjálmur víkkaði fertölurnar síðan út í áttundatölur og sannaði að lengra yrði ekki komist.
Um 1950 kynntist Vilhjálmur fleiri fræðimönnum á áhugasviðum sínum, þeim Leifi Ásgeirssyni stærðfræðingi og eðlisfræðingunum Þorbirni Sigurgeirssyni og Trausta Einarssyni. Á fundi í Íslenska stærðfræðafélaginu 13. mars 1951 flutti Brynjólfur Stefánsson erindi um stærðfræðirannsóknir Vilhjálms og var honum svo boðið að ganga í félagið árið eftir. Á fundi 22. júní 1953 talaði Vilhjálmur þar sjálfur um stærðfræðiiðkanir sínar.
Til eru nokkur bréf Vilhjálms sem hann ritaði á efri árum sínum, 1960–1964, til vinar síns, Gústafs Lárussonar (1911–1992), skólastjóra á Ísafirði. Þau voru afhent Þjóðskjalasafni Íslands til varðveislu 22. október 1984. Í einu bréfanna, dagsettu 15. nóvember 1960, þakkar Vilhjálmur Gústafi fyrir bókasendingu, en síðan segir hann:
Ef til vill hefðir þú meira gaman af að vita hvernig ég á yngri árum (um 1920) reyndi að sanna ýmsar geometriskar reglur útfrá samsemdum. (Identiteter). Ég skapaði mér sérstakt merkjamál sem ég notaði eingöngu til þeirra hluta.
Af þessu má marka að Vilhjálmur hefur strax á unga aldri hafið sjálfstæðar rannsóknir í stærðfræði, tekið að skapa eigin sannanir og táknmál. Í bréfi til Gústafs 20. janúar 1963 segir Vilhjálmur:
... mest allt mitt hugarstarf fer í allskonar hugaróra um stærðfræðileg verkefni. Þú minnist á Ramanujan og töluna 1729. Mig skal ekki undra þó hann hafi verið fljótur að svara Hardy. Hann hefir sjálfsagt verið búinn að þrauthugsa þetta áður því að þetta var einmitt verkefni, sem hann glímdi sjálfur við. En verkefnið er þetta: Finn öll gildi í heilum tölum á \(x, y, u, v\) sem fullnægja jöfnunni \(x^{3}+y^{3}=u^{3}+v^{3}\). Ég hefi þreytt við þetta í lengri tíma og ef þú skyldir hafa nokkuð gaman af því læt ég fylgja hér með hvernig ég hef leyst þetta á mjög einfaldan hátt.
Í þriðja bréfinu til Gústafs, dagsettu 15. desember 1964, segir Vilhjálmur enn:
Ég held ég hafi einhvern tíma skrifað þér um jöfnuna
\[x^{3}+y^{3}=u^{3}+v^{3}\] og hvernig hún er leyst með því að nota algebru í tveimur liðum („of order two“). Ég gerði uppkast að þessu. Er það nú til athugunar hjá Sigurkarli Stefánssyni og dr. Halldóri Elíassyni hvort unnt sé að koma því í það form að hægt sé að birta það í N.M.T. [Nordisk matematisk tidskrift]. Ef liðirnir í þessari tveggja liða algebru eru komplex tölur [tvinntölur] þá er hún í rauninni isomorph [einsmóta] við algebru í fjórum liðum.
Greinin birtist í 13. bindi N.M.T. árið 1965, bls. 88–90, að Vilhjálmi látnum en hann lést 24. ágúst 1965. Áður hafði birst grein eftir hann: „Multiplication in n dimensions“ í 7. bindi (1959) N.M.T., bls. 111–116. Hálfrar aldar fangbrögð Vilhjálms við stærðfræðina komu loks fyrir sjónir annarra fræðimanna.
Vilhjálmur mun helst hafa fengist við verkefni á sviði talnafræði og algebru. Verður nú litið nánar á lausn hans á verkefninu um jöfnuna \(x^{3}+y^{3}=u^{3}+v^{3}\). Vilhjálmur nefndi söguna af Ramanujan í bréfi sínu. Sagan varpar ljósi á inntak jöfnunnar.
Indverjinn Srinivasa Ramanujan hafði, líkt og Vilhjálmur, aflað sér einstæðrar þekkingar á sviði stærðfræði án hefðbundins háskólanáms. Enski stærðfræðingurinn Godfrey Harold Hardy komst í kynni við Ramanujan, fékk hann til að flytjast til Englands og með þeim tókst vinátta. Ramanujan lést fyrir aldur fram, aðeins 32 ára. Hardy ritaði eftirmæli um hann þar sem sagði:
Ég minnist þess eitt sinn, þegar ég vitjaði hans á sjúkrabeði í Putney. Ég hafði tekið mér leigubíl þangað, sem bar skráningarnúmerið 1729, og lét þau orð falla að þessi tala \(7\cdot 13\cdot 19\) virtist mér ósköp ómerkileg, og að ég vonaði bara, að það væri ekki ills viti. „Nei,“ svaraði hann á móti, „þetta er mjög athyglisverð tala; þetta er minnsta talan sem hægt er að skrifa á tvo ólíka vegu sem summu tveggja þrívelda.“
Dæmið sem Ramanujan nefndi er
\[12^{3}+1^{3}=9^{3}+10^{3}=1729\]Of langt mál og flókið væri að rekja sönnun Vilhjálms Ögmundssonar á almennri lausn á jöfnunni \(x^{3}+y^{3}=u^{3}+v^{3}\), en hér á eftir verður stiklað á stóru.
Vilhjálmur notar fyrst innsetninguna \(x=p+q\), \(v=p-q\), \(u=r+s\), \(y=r-s\) á jöfnuna \(x^{3}+y^{3}=u^{3}+v^{3}\), umreiknar hana og fær jöfnuna \(q^{3}+3p^{2}q=s^{3}+3r^{2}s\). Með því að reikna áfram kemur hann þessari jöfnu á formið \(-3(p^{2}-r^{2}d)=q^{2}-s^{2}d\) (til einföldunar hefur hann sett \(d\) í stað \(s/q\)).
Þessa síðustu jöfnu skoðar Vilhjálmur síðan í tvívíðri algebru og bendir á að þar sé stærðin \((p^{2}-r^{2}d)\) norm staksins \((p, r\sqrt{d})\) og sömuleiðis stærðin \((q^{2}-s^{2}d)\) norm staksins \((q, s\sqrt{d})\). Hann getur þá ályktað að til sé stak \(\varepsilon = (\frac{a}{c}, \frac{b}{c}\sqrt{d})\) (\(a, b, c\) heilar tölur), sem uppfylli jöfnuna \(\varepsilon \cdot (p, r\sqrt{d})=(q, s\sqrt{d})\) og þetta stak \(\varepsilon \) hafi norm –3. Þetta gerir Vilhjálmi kleift að reikna út samband stærðanna \(a, b, c\) og \(d\). Í framhaldinu koma frekari eiginleikar algebrunnar við sögu og Vilhjálmur beitir áfram ýmsum innsetningum til hægðarauka, en eftir umtalsverða reikninga verður niðurstaðan sú að öll gildi á \(x, y, u\) og \(v\), sem fullnægja eftirtöldum jöfnum, gefa lausn á upphaflega verkefninu.
\[x=12a^{2}+20ab+10b^{2}\]\[y=a^{2}+11ab+9b^{2}\]\[u=9a^{2}+11ab+b^{2}\]\[v=10a^{2}+20ab+12b^{2}\]Ef \(a\) og \(b\) eru jákvæðar tölur gefa þessar formúlur eintómar jákvæðar úrlausnir, sagði Vilhjálmur, og \(a=1\), \(b=0\), gefur lágmarkstöluna
\[12^{3}+1^{3}=9^{3}+10^{3}=1729\]Gaman er að leika sér með jöfnurnar en tölurnar verða fljótt ógnarstórar. Tökum til dæmis gildin \(a=1\) og \(b=2\). Þau gefa \(x = 92\), \(y = 59\), \(u = 35\) og \(v = 98\).
\[92^{3}+59^{3}=35^{3}+98^{3}=984.067\]Greinin í Nordisk matematisk tidskrift fer nokkru lengra með verkefnið en Vilhjálmur lýsti fyrir Gústafi og lausnin þar er almennari.
Ekki skyldi gera sér í hugarlund að Vilhjálmur hafi verið venjulegur bóndi sem sinnti fræðastörfum til hátíðabrigða. Vilhjálmur stóð vissulega föstum fótum í raunheiminum og var virtur bóndi á Skógarströnd og forystumaður, en hann bjó yfir frumlegri stærðfræðigáfu, skóp sinn eigin hugtakaheim og lifði í honum. Stærðfræðin fór sjaldnast úr huga hans. Hann gekk ævinlega til verka í vesti þar sem hann geymdi blað og blýantsstubb til að festa hugrenningar sínar á blað. Leifur Ásgeirsson sagði í eftirmælum um Vilhjálm árið 1965 að meðal margs sem stórþjóðir hafa getað talið sér til ágætis, en Íslendingum verið varnað, sé skipuleg ræktun vísinda. Þess í stað hafi það verið tiltölulega tíðara hér, að alþýðumenn öfluðu sér mikillar kunnáttu á einhverju sviði. Ef til vill sé þetta hverfandi fyrirbrigði úr „veröld sem var“. En það hafi verið mikilsvert fyrir sæmd þjóðarinnar. Slíkur maður var Vilhjálmur á Narfeyri í kunnáttu á sviði stærðfræði, sæmd þjóðarinnar.
Frekara lesefni á Vísindavefnum:
Jón Ragnar Stefánsson (1992). Þrjú bréf frá Vilhjálmi á Narfeyri. Fréttabréf Íslenzka stærðfræðafélagsins 4 (1), 28–40.
Jón Ragnar Stefánsson (1993). Bréf frá Bjarna Jónssyni. Fréttabréf Íslenzka stærðfræðafélagsins 5 (1), 4–6.
Jón Ragnar Stefánsson (1998). Stærðfræðafélag í hálfa öld. Lesbók Morgunblaðsins, 31. 10. 1998, 12–13.
Leifur Ásgeirsson (1998). Minning: Vilhjálmur Ögmundsson. Í Björn Birnir, Jón Ragnar Stefánsson, Ottó J. Björnsson og Reynir Axelsson (ritstj.). Leifur Ásgeirsson – Minningarrit, bls. 418–421. Reykjavík: Háskólaútgáfan.
Ólafur Dan Daníelsson (1923). Kenslubók í hornafræði. Reykjavík: Bókaverzlun Guðm. Gamalíelssonar.
Reynir Vilhjálmsson. Viðtal um Vilhjálm Ögmundsson föður hans 11. janúar 2011.
Vilhjálmur Ögmundsson (1965). A complete integral solution of \(x^{3}+y^{3}=u^{3}+v^{3}\). Nordisk matematisk tidskrift 13, 88–90.
Kristín Bjarnadóttir. „Hver var Vilhjálmur Ögmundsson og hvert var hans framlag til stærðfræðinnar?“ Vísindavefurinn, 17. janúar 2011. Sótt 25. apríl 2024. http://visindavefur.is/svar.php?id=58142.
Kristín Bjarnadóttir. (2011, 17. janúar). Hver var Vilhjálmur Ögmundsson og hvert var hans framlag til stærðfræðinnar? Vísindavefurinn. Sótt af http://visindavefur.is/svar.php?id=58142
Kristín Bjarnadóttir. „Hver var Vilhjálmur Ögmundsson og hvert var hans framlag til stærðfræðinnar?“ Vísindavefurinn. 17. jan. 2011. Vefsíða. 25. apr. 2024. <http://visindavefur.is/svar.php?id=58142>.
Hér getur þú sent okkur nýjar spurningar um vísindaleg efni.
Hafðu spurninguna stutta og hnitmiðaða og sendu aðeins eina í einu. Einlægar og vandaðar spurningar
um mikilvæg efni eru líklegastar til að kalla fram vönduð og greið svör. Ekki er víst að tími vinnist til að
svara öllum spurningum.
Persónulegar upplýsingar um spyrjendur eru eingöngu notaðar í starfsemi vefsins, til dæmis til að
svör verði við hæfi spyrjenda. Spurningum er ekki sinnt ef spyrjandi villir á sér heimildir eða segir ekki
nægileg deili á sér.
Spurningum sem eru ekki á verksviði vefsins er eytt.
Að öðru leyti er hægt að spyrja Vísindavefinn um allt milli himins og jarðar!
Sólin
Rís 05:19 • sest 21:35
Tunglið
Rís 25:18 • Sest 04:56
Flóð
Árdegis: 07:07 • Síðdegis: 19:24
Fjara
Árdegis: 01:08 • Síðdegis: 13:14
Vilhjálmur stundaði nám í Verzlunarskólanum í tvo vetur og lauk þaðan mjög góðu prófi árið 1914. Auk verslunargreina nam hann erlend tungumál: ensku, dönsku og þýsku. Löngun hans stóð til menntaskólanáms er ekki gat orðið af en hann bætti sér það upp með því að fá sér tíma í frönsku. Tungumálanámið nýttist Vilhjálmi vel. Hann viðaði að sér erlendum bókum um stærðfræði og varð vel ritfær um það efni á ensku. Vilhjálmur hefur líklega kynnst Ólafi Daníelssyni stærðfræðingi á Reykjavíkurárum sínum. Fyrstu heimildina um stærðfræðiiðju Vilhjálms er að finna í formála Ólafs að bók hans Kenslubók í hornafræði, útgefin 1923. Þar segir: „Ennfremur hef jeg í lok bókarinnar sett nokkrar reglur um ferhyrninga. Naut jeg þar góðra bendinga frá Vilhjálmi Ögmundssyni, ungum bóndasyni vestur í Dölum.“
Framan af mun Vilhjálmur hafa kynnt sér ýmis fræði, svo sem stjörnufræði og eðlisfræði, til dæmis afstæðiskenninguna, og hann eignaðist meðal annars bækur um lagningu vatnsleiðslna í borgum. En hann glímdi einnig við stærðfræðina, til dæmis við fertölur (e. quaternions) um 1920. Fertölur eru gerðar úr ferundum og má líta á sem útvíkkun á tvinntölum, gerðum úr tvenndum. Vilhjálmur víkkaði fertölurnar síðan út í áttundatölur og sannaði að lengra yrði ekki komist.
Um 1950 kynntist Vilhjálmur fleiri fræðimönnum á áhugasviðum sínum, þeim Leifi Ásgeirssyni stærðfræðingi og eðlisfræðingunum Þorbirni Sigurgeirssyni og Trausta Einarssyni. Á fundi í Íslenska stærðfræðafélaginu 13. mars 1951 flutti Brynjólfur Stefánsson erindi um stærðfræðirannsóknir Vilhjálms og var honum svo boðið að ganga í félagið árið eftir. Á fundi 22. júní 1953 talaði Vilhjálmur þar sjálfur um stærðfræðiiðkanir sínar.
Til eru nokkur bréf Vilhjálms sem hann ritaði á efri árum sínum, 1960–1964, til vinar síns, Gústafs Lárussonar (1911–1992), skólastjóra á Ísafirði. Þau voru afhent Þjóðskjalasafni Íslands til varðveislu 22. október 1984. Í einu bréfanna, dagsettu 15. nóvember 1960, þakkar Vilhjálmur Gústafi fyrir bókasendingu, en síðan segir hann: 