Hvað getið þið sagt mér um Leonhard Euler og framlag hans til stærðfræðinnar?

Svar

Leonhard Euler (1707-1783) var afkastamesti stærðfræðingur sögunnar. Að jafnaði námu rannsóknir hans yfir 800 blaðsíðum á ári og útgefin verk hans urðu alls 866. Nýlega hefur þessum verkum verið safnað saman á vefsetrið Euler Archive, þar sem hægt er að skoða þau í upphaflegu formi. Euler stuðlaði að framþróun á nær öllum sviðum hreinnar og hagnýttrar stærðfræði. Hann var kallaður „stærðfræðigreiningin holdi klædd“ af samtíðarmönnum sínum og eftir franska fjölfræðingnum Francois Arago (1786-1853) er haft að honum hafi verið jafneðlislægt að reikna og öðrum er að draga andann.

Euler fæddist í Basel í Sviss þann 15. apríl 1707. Ári seinna flutti hann með foreldrum sínum til þorpsins Riehen þar sem faðir hans, Paul Euler, varð sóknarprestur. Paul hafði numið guðfræði við Basel-háskóla og jafnframt sótt fyrirlestra í stærðfræði hjá Jacob Bernoulli (1654-1705). Hann var þess vegna ágætlega að sér í stærðfræði og gat kennt syni sínum undirstöður greinarinnar. Hins vegar vildi séra Paul að Leonhard fylgdi í fótspor sín og tæki við sem sóknarprestur í Riehen.

Euler hóf nám við Basel-háskóla árið 1720, þá þrettán ára að aldri. Fljótlega komst hann í kynni við stærðfræðinginn Johann Bernoulli (1667-1748), yngri bróður Jacobs, og sóttist eftir einkakennslu í stærðfræði hjá honum. Johann þurfti að hafna þeirri bón sökum annríkis en í staðinn gaf hann Euler ráðleggingar um lesefni og leyfði honum að heimsækja sig einu sinni í viku til að spyrja út í allt sem hann gæti ekki skilið sjálfur. Á þessum vikulegu fundum varð Johanni dagljóst að Euler væri efni í mikinn stærðfræðing. Einnig vingaðist Euler við tvo syni Johanns, þá Nicolaus (1695-1726) og Daniel (1700-1782) Bernoulli.

Euler hlaut meistaragráðu í heimspeki frá Basel-háskóla árið 1723. Í meistararitgerðinni bar hann saman heimspekihugmyndir Descartes og Newtons. Um haustið hóf hann nám í guðfræði að ósk föður síns, en þrátt fyrir að Euler hafi verið sannkristinn allt sitt líf fyllti guðfræðin hann ekki sama eldmóði og stærðfræðin. Fyrir tilstuðlan Johanns Bernoulli fékk Euler þess vegna leyfi frá föður sínum til að segja skilið við guðfræðina og beina sjónum sínum alfarið að stærðfræðinni. Euler lauk náminu við Basel-háskóla árið 1726, þá nítján ára að aldri.

Ári síðar tók Euler þátt í verðlaunasamkeppni Parísakademíunnar um hvernig best væri að koma siglutrjám fyrir á skipi. Verðlaunin hlaut maður að nafni Pierre Bouguer (1698-1758), sem hefur verið kallaður „faðir skipasmíða“, en Euler hafnaði í öðru sæti. Lausn Eulers var einkennandi fyrir mörg síðari verka hans á sviði hagnýttrar stærðfræði: Stærðfræðin sjálf var framúrskarandi, en hins vegar lét hann hagkvæmnissjónarmið lönd og leið. Euler átti síðar eftir að bæta sér tapið fyrir Bouguer upp með því að vinna verðlaunasamkeppni Parísarakademíunnar 12 sinnum.

Euler varð alþekktur meðal stærðfræðinga þegar hann leysti hið svokallaða Basel-verkefni árið 1735, sem snerist um að finna nákvæmt gildi fyrir óendanlegu summuna
\[
\frac1{1^2} + \frac1{2^2} + \frac1{3^2} + \frac1{4^2} + \frac1{5^2} + \cdots.
\] Euler komst að því að þessi summa hefur gildið $\pi^2/6$. Frægðin sem hann hlaut fyrir uppgötvunina stafaði ekki einungis af því að Basel-verkefnið hafði staðið í mörgum af fremstu stærðfræðingum Evrópu, þar á meðal Jacobi og Johanni Bernoulli og Leibniz, heldur einnig vegna þess að öllum kom verulega á óvart að gildi summunnar skyldi tengjast tölunni pí á þennan hátt.

Aðferðin sem Euler notaði til að leysa Basel-verkefnið var í senn einföld og afar snjöll, en hins vegar stóð hún á ótraustum grunni fræðilega. Við lausn verkefnisins gekk hann út frá því að ákveðin regla sem hann vissi að gilti um endanlegar summur gilti líka um óendanlegar summur. Euler þótti þetta sjálfsagt og almennt hikaði hann ekki við að alhæfa reglur á þennan hátt í útreikningum sínum. Hins vegar vita stærðfræðingar nútímans að í hvert skipti sem alhæfa á tiltekna reglu þarf að færa sönnur fyrir því að það sé hægt og alhæfingin sem Euler notaði til að leysa Basel-verkefnið reyndist vera beinlínis röng. Niðurstaðan sem hann fékk var eftir sem áður rétt og það gat hann staðfest með því að finna nálgunargildi fyrir óendanlegu summuna.

Euler tókst að finna nákvæm gildi fyrir ýmsar aðrar óendanlegar summur, til dæmis:

• $\displaystyle\frac{\pi^4}{90} = \frac1{1^4} + \frac1{2^4} + \frac1{3^4} + \frac1{4^4} + \frac1{5^4} + \cdots$ ,
• $\displaystyle\frac{\pi^6}{945} = \frac1{1^6} + \frac1{2^6} + \frac1{3^6} + \frac1{4^6} + \frac1{5^6} + \cdots$ ,
• $\displaystyle\frac{\pi^8}{9450} = \frac1{1^8} + \frac1{2^8} + \frac1{3^8} + \frac1{4^8} + \frac1{5^8} + \cdots$ .

Einnig sannaði Euler árið 1737 að summan af margföldunarandhverfum allra frumtalna:
\[
\frac1{p_1} + \frac1{p_2} + \frac1{p_3} + \frac1{p_4} + \frac1{p_5} + \cdots,
\] þar sem $p_1, p_2, p_3, p_4, p_5, \ldots$ er upptalning á öllum frumtölunum, er óendanlega stór. Í kjölfarið uppgötvaði hann tengsl frumtalnanna við hið svokallaða zeta-fall Riemanns með því að leiða út jöfnuna
\[
\frac1{1^s} + \frac1{2^s} + \frac1{3^s} + \cdots = (1-p_1^{-s})^{-1} \cdot (1-p_2^{-s})^{-1} \cdot (1-p_3^{-s})^{-1} \cdots,
\] þar sem $p_1, p_2, p_3, \ldots$ er aftur upptalning á frumtölunum.

Euler fékkst við ýmis verkefni sem franski lögfræðingurinn og stærðfræðingurinn Pierre de Fermat (1601-1665) skildi eftir sig. Til dæmis hafði Fermat getið sér til að allar tölur á forminu $2^{2^n}+1$, þar sem $n$ er jákvæð heiltala, væru frumtölur. Euler afsannaði þessa tilgátu árið 1732 með því að sýna að talan
\[
2^{2^5}+1 = 4.294.967.297
\] er deilanleg með $641$. Fermat hafði einnig sett fram aðra tilgátu, hina svokölluðu litlu setningu Fermats, sem segir að fyrir sérhverja frumtölu $p$ og heiltölu $a$ gildi að $p$ gangi upp í tölunni $a^p-a$. Euler birti sönnun á þessari setningu fyrstur manna árið 1736 og síðar setti hann fram og sannaði almennari útgáfu af henni, sem er yfirleitt kölluð Euler-setningin. Hann varð einnig fyrstur til að ná árangri í glímunni við síðustu setningu Fermats með því að sanna hana fyrir tilfellið $n=3$.

Enginn stærðfræðingur hefur verið Euler fremri í þróun reiknirita til að leysa ýmsar gerðir verkefna. Eitt verkefni sem Euler glímdi við var að segja fyrir um kvartilaskipti tunglsins langt fram í tímann, sem voru afar eftirsóttar upplýsingar á þessum tíma, því gangur himintunglanna var notaður til staðsetningar á sjó. Þetta verkefni er einstaklega erfitt viðfangs, því braut tunglsins um jörðina ræðst ekki einungis af aðdráttaraflinu þeirra á milli, heldur hefur aðdráttarafl sólarinnar einnig umtalsverð áhrif á brautina. Vísindamönnum nútímans hefur enn ekki tekist að leysa þetta verkefni nákvæmlega, en Euler tókst að þróa reiknirit sem gaf nægilega nákvæmar upplýsingar um kvartilaskipti tunglsins til að hægt væri að framleiða áreiðanlegar siglingatöflur fyrir breska sjóherinn. Enskur reiknisérfræðingur sá um að útbúa töflurnar og hlaut að launum 5000 pund frá sjóhernum, sem var afar há upphæð á þeim tíma, en Euler hlaut 300 pund fyrir reikniritið.

Segja má að Euler hafi verið upphafsmaður stærðfræðigreiningar. Í bókinni Introductio in analysin infinitorum frá árinu 1748 skilgreindi hann hugtakið fall og sagði að stærðfræðigreining væri fræðin um föll. Einnig kynnti hann til sögunnar táknið $f(x)$ fyrir fall, sem hefur verið notað allar götur síðan. Euler benti á mikilvægi fastans $e$ og náttúrulega vísisfallsins $e^x$ í stærðfræðigreiningu og skilgreindi náttúrulega vísisfallið og náttúrulega lografallið á eftirfarandi hátt:

• $\displaystyle e^x = \lim_{n \to \infty} (1+x/n)^n$,
• $\displaystyle \ln(x) = \lim_{n \to \infty} n(x^{1/n}-1)$.

Jafnframt sýndi hann að þessi tvö föll séu andhverfur hvort annars, sem þýðir að
\[
e^{\ln(x)} = x \quad\text{og}\quad \ln(e^x) = x.
\] Í Introductio leiddi Euler einnig út eftirfarandi jöfnu:
\[
e^{ix} = \cos(x) + i \sin(x) \quad (\ast).
\] Þegar $x=\pi$ segir jafnan að
\[
e^{i\pi} = -1,
\] sem má líka skrifa svona:
\[
e^{i\pi} + 1 = 0 \quad (\ast\ast).
\] Bæði $(\ast)$ og $(\ast\ast)$ ganga oft undir nafninu jafna Eulers og $(\ast\ast)$ hefur jafnframt verið kölluð „fallegasta jafna stærðfræðinnar“, því hún tengir saman fimm af mikilvægustu föstum stærðfræðinnar ($e$, $i$, $\pi$, $1$ og $0$) með því að nota þrjár af mikilvægustu aðgerðunum (margföldun, veldishafningu og samlagningu). Þess má geta að táknin fyrir fastana $e$, $i$ og $\pi$ má öll rekja til Eulers.


Árið 1735 lagði Euler grunninn að netafræði með því að leysa þrautina um brýrnar í prússnesku borginni Königsberg. Borgin skiptist í fjóra hluta sem tengdir voru með sjö brúm, eins og myndin að ofan sýnir, og þrautin snerist um að ákvarða hvort hægt væri að haga göngutúr um borgina þannig að farið væri nákvæmlega einu sinni yfir hverja brú. Euler sýndi fram á að svarið við þessari spurningu er nei, eins og sagt er frá í svari Gunnars Þórs Magnússonar við spurningunni Er hægt að leysa þessa þraut sem ég og vinnufélagarnir höfum glímt við í meira en eitt ár?

Árið 1736 kom út bókin Mechanica sive motus scientia analytice exposita, þar sem Euler varð fyrstur manna til að beita fullum mætti stærðfræðigreiningar til að leysa verkefni í aflfræði. Stundum er sagt að Arkimedes hefði vel getað samið Principiu Newtons, en enginn Grikki hefði getað samið Mechanicu. Euler kom síðan fótum undir svokallaðan hnikareikning í bók sem birt var árið 1740 og gríski stærðfræðingurinn Constantin Carathéodory (1873-1950) kallaði „eitt fallegasta stærðfræðiverk sem hefur nokkru sinni verið skrifað“. Loks þróaði Euler fræðin um lograföll af tvinntölum og birti grein um efnið árið 1751.

Euler varði starfsferli sínum í Pétursborg og Berlín. Hann hafði vonast til þess að fá prófessorsstöðu í eðlisfræði við Basel-háskóla að loknu námi, en líklega hefur ungur aldur hans orsakað að svo varð ekki. Vinir hans Nicolaus og Daniel Bernoulli sáu þá til þess að Euler væri boðin laus staða í læknadeild Pétursborgarakademíunnar árið 1727. Hann þáði boðið og hélt til Pétursborgar sama ár. Daginn sem Euler steig fæti á rússneska grund lést Katrín 1. (1684-1727), ekkja Péturs mikla (1672-1725), sem hafði hleypt Pétursborgarakademíunni úr vör að ósk eiginmanns síns. Nýir valdhafar í Rússlandi litu á akademíuna sem óþarfa munað og mánuðum saman hugleiddu þeir að leggja hana niður og senda alla erlenda fræðimenn til síns heima. Í allri ringulreiðinni tókst Euler að færa sig úr læknadeildinni yfir í stærðfræðideildina án þess að nokkur tæki eftir.

Daniel Bernoulli gegndi æðstu stöðunni við stærðfræðideild akademíunnar allt fram til ársins 1733 og Euler var skipaður eftirmaður hans. Þá ákvað Euler að setjast varanlega að í Pétursborg og ári seinna giftist hann Katarinu Gsell, dóttur svissneska málarans Georgs Gsell. Alls eignuðust þau 13 börn saman, en aðeins fimm þeirra komust á legg. Fjölskyldulífið dró ekkert úr afköstum Eulers og meira að segja er haft eftir honum að hann hafi gert margar merkustu uppgötvanir sínar með ungbarn í fanginu meðan önnur börn léku sér við fætur hans.

Órói í rússneskum stjórnmálum leiddi til þess að Euler þáði boð Friðriks mikla Prússakonungs (1712-1786) um stöðu við Berlínarakademíuna árið 1740. Fyrst um sinn var hann alsæll með flutninginn og vel fór á með honum og Friðriki mikla. Hins vegar stirðnaði samband þeirra með árunum, meðal annars vegna þess að Euler þótti ekki nógu fágaður hirðmaður. Þess vegna stökk hann á boð Katrínar miklu keisaraynju (1729-1796) um að snúa aftur til Pétursborgar árið 1766 og þar varði hann síðustu 17 árum lífs síns.

Euler bjó alla tíð yfir ótrúlegu minni. Sem dæmi má nefna að hann kunni Eneasarkviðu Virgils (70 f.Kr. - 29 f.Kr.), sem er um það bil 10.000 lína söguljóð, utanað og jafnframt gat hann sagt hver fyrsta og síðasta línan væri á hverri blaðsíðu eintaksins sem hann átti af ljóðinu. Euler var einnig meistari í hugarreikningi, ekki aðeins í venjulegum reikningi með tölur heldur líka í flóknum algebrureikningi. Franski stærðfræðingurinn Nicolas de Concordet (1743-1794) sagði til dæmis frá því að eitt sinn hafi tveir lærlingar Eulers togast á um gildið á gríðarlega flókinni summu með 17 liðum. Þeir voru ósammála um hver fimmtugasti aukastafur gildisins væri. Til að útkljá deiluna reiknaði Euler summuna í huganum og svar hans reyndist vera rétt.

Euler varð fyrir því óláni að missa sjón á hægra auga árið 1735, þegar hann var 28 ára gamall. Þetta sést glöggt á ýmsum myndum af Euler, til dæmis á myndinni sem er fremst í þessari umfjöllun. Þrátt fyrir það hélt Euler ótrauður áfram að iðka stærðfræði og raunar á hann að hafa sagt að nú yrði hann fyrir minni truflunum en áður. Árið 1766, þegar Euler var nýkominn aftur til Rússlands frá Berlín, tók að myndast ský á vinstra auga hans og nokkrum vikum síðar missti hann sjónina algjörlega. Á einhvern ótrúlegan hátt tókst honum hins vegar að framleiða um helming æviverka sinna eftir að hann varð blindur og er það aftur til merkis um frábært minni og gífurlega hæfileika til hugarreiknings.

Þann 18. september 1783 lék Euler sér að því að reikna út ris loftbelgja og einnig gerði hann uppdrátt að útreikningum á braut Úranusar um sólu, en William Herschel hafði nýlega uppgötvað hann. Síðdegis, þegar Euler sat að leik við barnabarn sitt og drakk te, fékk hann skyndilega heilablæðingu og með orðunum „ég er að deyja“ missti hann meðvitund og lést.

Heimildir:

• Bell, E.T. (1953). Men of Mathematics. Middlesex: Penguin Books.
• Dunham, W. (1999). Euler: The Master of Us All. Washington: The Matematical Association of America.
• Euler Archive. Sótt 20. ágúst 2011.
• Merzbach, U.C. og Boyer, C.B. (2011). A History of Mathematics (3. útg.). New Jersey: John Wiley & Sons.
• O'Connor, J.J. & Robertson, E.F. (1998): Leonhard Euler. Sótt 20. ágúst 2011.
• Singh, S. (2006). Síðasta setning Fermats (Kristín Halla Jónsdóttir, þýð.). Reykjavík: Hið íslenska bókmenntafélag.
• Wikipedia: Leonhard Euler. Sótt 20. ágúst 2011.

Myndir:

• Euler: Vefur St. Andrews háskóla um sögu stærðfræðinnar. Sótt 31. ágúst 2011.
• Bernoulli: Vefur St. Andrews háskóla um sögu stærðfræðinnar. Sótt 31. ágúst 2011.
• Fermat: Vefur St. Andrews háskóla um sögu stærðfræðinnar. Sótt 31. ágúst 2011.
• Tunglið: Wikipedia: Lunar Phase. Sótt 31. ágúst 2011.
• Brýrnar í Königsberg: Wikipedia: Bridges of Königsberg. Sótt 31. ágúst 2011.
• Katrín 1.: Wikipedia: Catherine I. Sótt 1. september 2011.
• Katrín mikla: Wikipedia: Catherine the Great. Sótt 1. september 2011.