Af hverju er margföldun framkvæmd á undan samlagningu?

Nafn þitt

Netfang þitt

Netfang móttakanda

Ruslpóstvörn =

Svar

Af hverju er margföldun framkvæmd á undan samlagningu?
Þetta er afar góð spurning og svarið við henni er ekki einhlítt.

Mörgum er röð reikningsaðgerða svo eiginleg að óhugsandi gæti virst að hún gerist á annan hátt, sérstaklega eftir að hafa setið undir þrástagli í grunnskóla um mikilvægi þessara hluta. Hvorki er þó fræðilega né tæknilega því nokkuð til fyrirstöðu að haga hlutunum einmitt öfugt. Til dæmis mundi þá dreifireglan um samband margföldunar og samlagningar skrifast svona:

$$ a\times b+c=(a\times b)+(a\times c). $$(Rétt er að ítreka að þessi formúla er almennt röng samkvæmt viðteknum venjum um röð aðgerða.)

Engu að síður virðist þessi venja, að margföldun sé framkvæmd á undan samlagningu, hafa tíðkast allt frá upphafi sértæks reikningsritháttar, sem fór að taka á sig mynd á 17. öld. Því er helst að sjá að þessi ritháttarvenja sé á einhvern hátt eðlilegri eða að minnsta kosti hentugri mönnum en til dæmis að samlagning sé framkvæmd á undan margföldun. Þótt ekki sé hægt að sýna að þessi röð verði að gilda má ef til vill skýra tilurð hennar með óformlegum hætti og líta þá til fortíðar.

Það verður að teljast ósennilegt að bóndi sem ætlaði að telja saman fé sitt hafi séð ástæðu til að telja kýr, ær og hænur allar saman til að fá út stærð á borð við $10\times (\text{kýr, ær og hænur})$. Líklegra væri að hann teldi hverja tegund fyrir sig og skráði svo niður á viðeigandi hátt, til dæmis „5 kýr, 10 ær og 20 hænur.“ Ef konungur vildi telja dýr bónda til skatts gæti hann svo nýtt skiptagildi þess tíma og fengið út að dýr hans væru ígildi $5\times 120+10\times 20+20\times 5$ (það er $900$) álna vaðmáls.

Hvorki miðaldakonungar né þeirra bændur hefðu notað svo nútímalegan rithátt en þetta lýsir áherslum sem gætu hafa verið til staðar þegar talnakerfið og reikningsritun voru í fæðingu. Í nútímalegri stærðfræði má komast að líkri niðurstöðu. Þar koma afar oft fyrir svokallaðar margliður. Í þeim eru lagðir saman margir ólíkir liðir, hver með sinn margföldunarstuðul:

$$ p(x,y)=2x^2+3xy+2. $$Varðandi frádrátt og deilingu er rétt að nefna algengt sjónarmið í stærðfræði, að frádráttur sé aðeins afbrigði samlagningar og deiling afbrigði margföldunar. Þannig er í stað þess að draga $3$ frá $4$ hægt að leggja $-3$ við $4$ og í stað þess að deila í $4$ með $3$ má margfalda $4$ með $\frac{1}{3}$. Því væri óeðlilegt annað en að láta fylgjast að margföldun og deilingu annars vegar og samlagningu og frádrátt hins vegar. Þá er samband veldishafningar og margföldunar hliðstætt sambandi margföldunar og samlagningar svo eðlilegast er að láta sams konar forgangsröð gilda þar á milli.

Rugling mætti að vísu forðast með því að hafa svigapar um hverja aðgerð en með því að sættast á þessar reglur spörum við pennastrikin og gerum flóknar reikningsstærðir læsilegri.

Heimild:

• History of the Order of Operations - Ask Dr. Math. (Skoðað 3.7.2012).

Upphaflega spurningin hljóðaði svo:

Af hverju er alltaf margfaldað fyrst og síðan lagt saman?

Til dæmis 40+40x0+1 = 41.

...