Senda inn spurningu
Sólin Sólin Rís 05:19 • sest 21:35 í Reykjavík
Tunglið Tunglið Rís 25:18 • Sest 04:56 í Reykjavík
Flóð Flóð Árdegis: 07:07 • Síðdegis: 19:24 í Reykjavík
Fjaran Fjara Árdegis: 01:08 • Síðdegis: 13:14 í Reykjavík
Visit the English version

Flokkun:

Vísindavefur Dagatal vísindamanna
Náttúruvísindi og verkfræði Stærðfræði

Hver var Évariste Galois og hvert var framlag hans til stærðfræðinnar?

Gunnar Þór Magnússon

Sannleikurinn er stundum ótrúlegri en nokkur skáldskapur. Kannski er það ástæðan fyrir því að enginn hefur enn gert kvikmynd um líf franska stærðfræðingsins Évariste Galois (1811-1832); ótti við að fólk trúi sögunni einfaldlega ekki.

Galois er einn af frumlegri stærðfræðingum sögunnar. Hann gjörbylti algebru með uppgötvunum sínum, sem afgreiddu mörg hundruð ára gamalt vandamál sem sértilvik af almennari fræðum og eru enn í dag í stöðugri þróun. Þetta gerði Galois áður en hann varð tvítugur, þrátt fyrir stöðugt mótlæti og króníska, einfaldlega lygilega, óheppni. Svo dó hann, tvítugur, á skítugum spítala í París, af skotsári sem hann hlaut í einvígi. Það var hugsanlega háð vegna óendurgoldinnar ástar. Andlátsorðin mælti hann við bróður sinn Alfreð á spítalanum:
Gráttu ekki, Alfreð! Ég þarf á öllu hugrekki mínu að halda til að deyja tvítugur.

Évariste Galois (1811-1832).

Galois var grafinn í ómerktri gröf í Montparnasse-kirkjugarði sem enginn veit lengur hvar er. Þegar hann dó voru verk hans, sem töldu saman aðeins 60 blaðsíður, ekki enn viðurkennd. Einu eintökin af sumum þeirra lágu týnd á skrifstofum þekktra stærðfræðinga og fundust ekki fyrr en mörgum árum síðar. Galois dó í þeirri trú að líf hans hafði verið einskis virði.

Er líklegt að einhver trúi þessu?

Í þessu svari er ætlunin að setja verk Galois í samhengi við það sem samtímamenn hans þekktu en ekki að tala frekar um líf hans, eins dramtískt og harmlegt og það væri þó. Í lok svarsins bendum við lesendum á ítarlegri heimildir um líf Galois, sem áhugasamir geta nálgast og lesið sér til gagns.

Hvað gerði Galois sem var svona merkilegt? Að útskýra framlag hans til þekkingar okkar tekur talsverðan tíma, svo við skulum sætta okkur við að lýsa vandamálinu sem Galois leysti. Sú lýsing gefur vonandi einhverja hugmynd um verk hans.

Lesendur muna kannski eftir að hafa leyst jöfnur fyrir $x$ í grunn- og framhaldsskóla. Jöfnurnar sem um ræðir eru af fyrsta og öðru stigi og líta svona út:

$$ ax + b = 0 \quad\hbox{og}\quad ax^2 + bx + c = 0. $$

Fyrri jafnan er af fyrsta stigi, því stærsta veldið af $x$ í henni er 1, og seinni jafnan af öðru stigi, því í henni birtist $x^2$. Eins má ímynda sér jöfnur af þriðja og fjórða stigi og svo framvegis.

MYND 1. Gröf fyrsta (græn) og annars (rauð) stigs jöfnu.

Venjulega er nemendum kennt að leysa svona jöfnur með ofbeldi í stað skilnings. Nemendur læra reglur fyrir lausnum þeirra en ekki rúmfræðilega merkingu lausnanna. Fyrri jafnan hefur eina lausn, sem við ætlum að leyfa lesendum að skemmta sér við að finna. Seinni jafnan hefur tvær lausnir, sem eru gefnar með formúlu sem nemendur og kennarar hafa gefið fjöldamörg nöfn:

$$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}. $$

Hér vekur athygli okkar að lausnirnar $x$ (í fleirtölu, því ein fæst með að velja $+$ og önnur með að velja $-$ í stað $\pm$) ákvarðast af stuðlunum $a$, $b$ og $c$ í jöfnunni. Að stuðlunum gefnum fást lausnirnar líka með að beita aðeins einföldustu reikniaðgerðum; samlagningi, frádrætti, margföldun, deilingu og að taka rætur. Allt eru þetta aðgerðir sem er auðvelt að reikna út, til dæmis ef við stundum tölulega greiningu eða notum tölvu til að finna lausnirnar. Það er aldeilis heppilegt, því lausnirnar hefðu allt eins geta verið gefnar með falli sem engin leið væri að reikna með einhverri nákvæmni, og ef svo væri hefðum við engin not fyrir formúluna að ofan.

Þó að við getum nálgað lausn jöfnu af hvaða stigi sem er tölulega með mikilli nákvæmni, til dæmis með aðferð Newtons, þá er hentugt að geta fengið nákvæmar lausnir með formúlum. Slíkar formúlur fyrir lausnum jafna af þriðja og fjórða stigi, það er jöfnum af gerðinni

$$ ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \quad\hbox{og}\quad ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0 $$

hafa verið þekktar frá 16. öld. Ein lausn þriðja-stigs jöfnunnar er til dæmis

$$ x = \sqrt[3]{\frac{b}{2} + \sqrt{ \frac{b^2}{4} + \frac{a^2}{27}}} + \sqrt[3]{\frac{b}{2} - \sqrt{ \frac{b^2}{4} + \frac{a^2}{27}}}. $$

Þessar formúlur nota sömu grunnreikniaðgerðirnar og formúlan fyrir lausnum annars-stigs margliðu en taka þar að auki þriðju rætur (og fjórðu í tilfelli fjórða-stigs jöfnunnar). Formúlan fyrir lausnum þriðja-stigs margliðu er flókin en enn nothæf til handreikninga, en lausnir fjórða-stigs margliðu eru gefnar með svo flókinni formúlu að hún verður seint til nokkurs gagns.

MYND 2. Gröf þriðja (rauð) og fjórða (græn) stigs jöfnu.

Stærðfræðingar leituðu lengi að svipaðri formúlu fyrir lausnum fimmta-stigs jöfnu á borð við

$$ ax^5 + bx^4 + cx^3 + dx^2 + ex + f = 0. $$

Vonin var að lausnir hennar yrðu aftur gefnar með formúlu sem notaði aðeins einföldustu reikniaðgerðirnar auk þess að taka kvaðrat-, þriðju-, fjórðu- og fimmtu rætur. Árið 1799 gerði stærðfræðingurinn Paolo Ruffini (1765-1822) ófullkomna tilraun til að sýna að engin slík lausn væri til, og árið 1823 tókst Niels Henrik Abel (1802-1829) að taka allan vafa af tilvist slíkrar formúlu. Sönnun Abels á að engin slík formúla sé til er stutt og frumleg en torskilin; hugmyndirnar á bakvið hana eru algebrulegar en Abel beitir miklum útreikningum með margliðum og ræðum föllum til að fá niðurstöðu sína. Erfitt er að sjá nákvæmlega hvað kemur í veg fyrir tilvist formúlunnar góðu og þaðan síður augljóst hvernig mætti alhæfa niðurstöðuna fyrir jöfnur af sjötta, sjöunda eða áttunda stigi og þar framan af.

Það sem Abel sárvantaði var rétta tungumálið til að tjá þær hugmyndir sem hann vann með. Framlag Galois var nákvæmlega að finna upp slíkt tungumál. Galois vann fyrstur manna með grúpur, sem eru einföld algebruleg fyrirbæri sem koma víða fyrir. Hann fann líka leið til að úthluta sérhverri jöfnu sinni grúpu, sem tjáði tengsl á milli lausna jöfnunnar, og sýndi að til er einföld formúla sem gefur lausnir jöfnunnar ef og aðeins ef grúpan sem þeim tilsvarar uppfyllir ákveðinn algebrulegan eiginleika.

Þetta virðist kannski ekki svo merkilegt, en er í raun stórkostleg framför því hún útskýrir nákvæmlega af hverju til eru formúlur fyrir lausnum jafna af stigi 1, 2, 3 og 4 en ekki fimmta stigi og hærra: grúpurnar sem jöfnur af lágu stigi vísa til eru litlar og tiltölulega einfaldar, en grúpur jafna af hærra stigi búa yfir ríkum algebrulegum arkitektúr og eru of flóknar til að eiginleiki Galois sé alltaf til staðar.

Þessi umræða er dálítið innihaldslítil af illri nauðsyn; hugmyndir Galois eru mjög abstrakt og þó að menntaskólanemar ættu ekki í neinum vandræðum með að skilja þær þarf engu að síður nokkurn undirbúning til, meiri en hægt er að gera góð skil í stuttu svari eins og þessu. Til að færa okkur aðeins nær jörðinni í lokin getum við skoðað fimmta stigs jöfnuna $x^5 - x + 1 = 0$.

MYND 3. Hluti af grafi $x^5 - x + 1$; jafnan $x^5 - x + 1 = 0$ hefur lausn þar sem rauða graf jöfnunnar sker grænu línuna.

Eins og við sjáum af mynd 3 þá hefur þessi jafna lausn einhversstaðar á milli $x = -1.5$ og $x = -1$. Grúpan sem Galois kenndi okkur að úthluta þessari jöfnu er stór, hún hefur 120 stök, og uppfyllir einmitt ekki þann algebrulega eiginleika sem þarf að vera til staðar svo að til sé hentug formúla fyrir lausnum jöfnunnar. Lausnina sem við sjáum á grafinu, sem hefur óendanlega marga aukastafi en byrjar $-1.1673\ldots$, má því ekki skrifa með að beita samlagningu, frádrætti, margöldun, deilingu og rótardrögum á stuðla jöfnunnar.

Galois kenndi okkur ekki bara að það sem við vildum var ekki hægt, heldur sýndi og útskýrði nákvæmlega af hverju það var ekki hægt. Hann gaf okkur ný verkfæri til að skoða heiminn og orðin og tungumálið sem þurfti til að tala um ný vandamál. Að geta talað um hlutina er fyrsta skrefið til að rannsaka þá nánar og frá dauða Galoisar hafa stærðfræðingar beitt tólum hans nær sinnulaust til að átta sig á heiminum. Fyrir þessar gjafir er Galois talinn einn merkasti stærðfræðingur sögunnar.

Heimildir og ítarefni:

Líf Galois:

Galois-fræði:

Lausn Abels rædd:

Formúla fyrir lausnum þriðja stigs jöfnu:

Formúla fyrir lausnum fjórða stigs jöfnu:

Ein lausn fjórða stigs jöfnu:

Myndir:

Höfundur

Gunnar Þór Magnússon

Gunnar Þór Magnússon

stærðfræðingur

Útgáfudagur

13.12.2013

Spyrjandi

Ritstjórn

Efnisorð

Tilvísun

Gunnar Þór Magnússon. „Hver var Évariste Galois og hvert var framlag hans til stærðfræðinnar?“ Vísindavefurinn, 13. desember 2013. Sótt 25. apríl 2024. http://visindavefur.is/svar.php?id=66177.

Gunnar Þór Magnússon. (2013, 13. desember). Hver var Évariste Galois og hvert var framlag hans til stærðfræðinnar? Vísindavefurinn. Sótt af http://visindavefur.is/svar.php?id=66177

Gunnar Þór Magnússon. „Hver var Évariste Galois og hvert var framlag hans til stærðfræðinnar?“ Vísindavefurinn. 13. des. 2013. Vefsíða. 25. apr. 2024. <http://visindavefur.is/svar.php?id=66177>.

Chicago | APA | MLA

Tengd svör

Þessi síða notar vafrakökur Nánari upplýsingar

Ég samþykki
Spyrja

Sendu inn spurningu LeiðbeiningarTil baka

Hér getur þú sent okkur nýjar spurningar um vísindaleg efni.

Hafðu spurninguna stutta og hnitmiðaða og sendu aðeins eina í einu. Einlægar og vandaðar spurningar um mikilvæg efni eru líklegastar til að kalla fram vönduð og greið svör. Ekki er víst að tími vinnist til að svara öllum spurningum.

Persónulegar upplýsingar um spyrjendur eru eingöngu notaðar í starfsemi vefsins, til dæmis til að svör verði við hæfi spyrjenda. Spurningum er ekki sinnt ef spyrjandi villir á sér heimildir eða segir ekki nægileg deili á sér.

Spurningum sem eru ekki á verksviði vefsins er eytt.

Að öðru leyti er hægt að spyrja Vísindavefinn um allt milli himins og jarðar!

=

Senda grein til vinar

=

Hver var Évariste Galois og hvert var framlag hans til stærðfræðinnar?
Sannleikurinn er stundum ótrúlegri en nokkur skáldskapur. Kannski er það ástæðan fyrir því að enginn hefur enn gert kvikmynd um líf franska stærðfræðingsins Évariste Galois (1811-1832); ótti við að fólk trúi sögunni einfaldlega ekki.

Galois er einn af frumlegri stærðfræðingum sögunnar. Hann gjörbylti algebru með uppgötvunum sínum, sem afgreiddu mörg hundruð ára gamalt vandamál sem sértilvik af almennari fræðum og eru enn í dag í stöðugri þróun. Þetta gerði Galois áður en hann varð tvítugur, þrátt fyrir stöðugt mótlæti og króníska, einfaldlega lygilega, óheppni. Svo dó hann, tvítugur, á skítugum spítala í París, af skotsári sem hann hlaut í einvígi. Það var hugsanlega háð vegna óendurgoldinnar ástar. Andlátsorðin mælti hann við bróður sinn Alfreð á spítalanum:
Gráttu ekki, Alfreð! Ég þarf á öllu hugrekki mínu að halda til að deyja tvítugur.

Évariste Galois (1811-1832).

Galois var grafinn í ómerktri gröf í Montparnasse-kirkjugarði sem enginn veit lengur hvar er. Þegar hann dó voru verk hans, sem töldu saman aðeins 60 blaðsíður, ekki enn viðurkennd. Einu eintökin af sumum þeirra lágu týnd á skrifstofum þekktra stærðfræðinga og fundust ekki fyrr en mörgum árum síðar. Galois dó í þeirri trú að líf hans hafði verið einskis virði.

Er líklegt að einhver trúi þessu?

Í þessu svari er ætlunin að setja verk Galois í samhengi við það sem samtímamenn hans þekktu en ekki að tala frekar um líf hans, eins dramtískt og harmlegt og það væri þó. Í lok svarsins bendum við lesendum á ítarlegri heimildir um líf Galois, sem áhugasamir geta nálgast og lesið sér til gagns.

Hvað gerði Galois sem var svona merkilegt? Að útskýra framlag hans til þekkingar okkar tekur talsverðan tíma, svo við skulum sætta okkur við að lýsa vandamálinu sem Galois leysti. Sú lýsing gefur vonandi einhverja hugmynd um verk hans.

Lesendur muna kannski eftir að hafa leyst jöfnur fyrir $x$ í grunn- og framhaldsskóla. Jöfnurnar sem um ræðir eru af fyrsta og öðru stigi og líta svona út:

$$ ax + b = 0 \quad\hbox{og}\quad ax^2 + bx + c = 0. $$

Fyrri jafnan er af fyrsta stigi, því stærsta veldið af $x$ í henni er 1, og seinni jafnan af öðru stigi, því í henni birtist $x^2$. Eins má ímynda sér jöfnur af þriðja og fjórða stigi og svo framvegis.

MYND 1. Gröf fyrsta (græn) og annars (rauð) stigs jöfnu.

Venjulega er nemendum kennt að leysa svona jöfnur með ofbeldi í stað skilnings. Nemendur læra reglur fyrir lausnum þeirra en ekki rúmfræðilega merkingu lausnanna. Fyrri jafnan hefur eina lausn, sem við ætlum að leyfa lesendum að skemmta sér við að finna. Seinni jafnan hefur tvær lausnir, sem eru gefnar með formúlu sem nemendur og kennarar hafa gefið fjöldamörg nöfn:

$$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}. $$

Hér vekur athygli okkar að lausnirnar $x$ (í fleirtölu, því ein fæst með að velja $+$ og önnur með að velja $-$ í stað $\pm$) ákvarðast af stuðlunum $a$, $b$ og $c$ í jöfnunni. Að stuðlunum gefnum fást lausnirnar líka með að beita aðeins einföldustu reikniaðgerðum; samlagningi, frádrætti, margföldun, deilingu og að taka rætur. Allt eru þetta aðgerðir sem er auðvelt að reikna út, til dæmis ef við stundum tölulega greiningu eða notum tölvu til að finna lausnirnar. Það er aldeilis heppilegt, því lausnirnar hefðu allt eins geta verið gefnar með falli sem engin leið væri að reikna með einhverri nákvæmni, og ef svo væri hefðum við engin not fyrir formúluna að ofan.

Þó að við getum nálgað lausn jöfnu af hvaða stigi sem er tölulega með mikilli nákvæmni, til dæmis með aðferð Newtons, þá er hentugt að geta fengið nákvæmar lausnir með formúlum. Slíkar formúlur fyrir lausnum jafna af þriðja og fjórða stigi, það er jöfnum af gerðinni

$$ ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \quad\hbox{og}\quad ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0 $$

hafa verið þekktar frá 16. öld. Ein lausn þriðja-stigs jöfnunnar er til dæmis

$$ x = \sqrt[3]{\frac{b}{2} + \sqrt{ \frac{b^2}{4} + \frac{a^2}{27}}} + \sqrt[3]{\frac{b}{2} - \sqrt{ \frac{b^2}{4} + \frac{a^2}{27}}}. $$

Þessar formúlur nota sömu grunnreikniaðgerðirnar og formúlan fyrir lausnum annars-stigs margliðu en taka þar að auki þriðju rætur (og fjórðu í tilfelli fjórða-stigs jöfnunnar). Formúlan fyrir lausnum þriðja-stigs margliðu er flókin en enn nothæf til handreikninga, en lausnir fjórða-stigs margliðu eru gefnar með svo flókinni formúlu að hún verður seint til nokkurs gagns.

MYND 2. Gröf þriðja (rauð) og fjórða (græn) stigs jöfnu.

Stærðfræðingar leituðu lengi að svipaðri formúlu fyrir lausnum fimmta-stigs jöfnu á borð við

$$ ax^5 + bx^4 + cx^3 + dx^2 + ex + f = 0. $$

Vonin var að lausnir hennar yrðu aftur gefnar með formúlu sem notaði aðeins einföldustu reikniaðgerðirnar auk þess að taka kvaðrat-, þriðju-, fjórðu- og fimmtu rætur. Árið 1799 gerði stærðfræðingurinn Paolo Ruffini (1765-1822) ófullkomna tilraun til að sýna að engin slík lausn væri til, og árið 1823 tókst Niels Henrik Abel (1802-1829) að taka allan vafa af tilvist slíkrar formúlu. Sönnun Abels á að engin slík formúla sé til er stutt og frumleg en torskilin; hugmyndirnar á bakvið hana eru algebrulegar en Abel beitir miklum útreikningum með margliðum og ræðum föllum til að fá niðurstöðu sína. Erfitt er að sjá nákvæmlega hvað kemur í veg fyrir tilvist formúlunnar góðu og þaðan síður augljóst hvernig mætti alhæfa niðurstöðuna fyrir jöfnur af sjötta, sjöunda eða áttunda stigi og þar framan af.

Það sem Abel sárvantaði var rétta tungumálið til að tjá þær hugmyndir sem hann vann með. Framlag Galois var nákvæmlega að finna upp slíkt tungumál. Galois vann fyrstur manna með grúpur, sem eru einföld algebruleg fyrirbæri sem koma víða fyrir. Hann fann líka leið til að úthluta sérhverri jöfnu sinni grúpu, sem tjáði tengsl á milli lausna jöfnunnar, og sýndi að til er einföld formúla sem gefur lausnir jöfnunnar ef og aðeins ef grúpan sem þeim tilsvarar uppfyllir ákveðinn algebrulegan eiginleika.

Þetta virðist kannski ekki svo merkilegt, en er í raun stórkostleg framför því hún útskýrir nákvæmlega af hverju til eru formúlur fyrir lausnum jafna af stigi 1, 2, 3 og 4 en ekki fimmta stigi og hærra: grúpurnar sem jöfnur af lágu stigi vísa til eru litlar og tiltölulega einfaldar, en grúpur jafna af hærra stigi búa yfir ríkum algebrulegum arkitektúr og eru of flóknar til að eiginleiki Galois sé alltaf til staðar.

Þessi umræða er dálítið innihaldslítil af illri nauðsyn; hugmyndir Galois eru mjög abstrakt og þó að menntaskólanemar ættu ekki í neinum vandræðum með að skilja þær þarf engu að síður nokkurn undirbúning til, meiri en hægt er að gera góð skil í stuttu svari eins og þessu. Til að færa okkur aðeins nær jörðinni í lokin getum við skoðað fimmta stigs jöfnuna $x^5 - x + 1 = 0$.

MYND 3. Hluti af grafi $x^5 - x + 1$; jafnan $x^5 - x + 1 = 0$ hefur lausn þar sem rauða graf jöfnunnar sker grænu línuna.

Eins og við sjáum af mynd 3 þá hefur þessi jafna lausn einhversstaðar á milli $x = -1.5$ og $x = -1$. Grúpan sem Galois kenndi okkur að úthluta þessari jöfnu er stór, hún hefur 120 stök, og uppfyllir einmitt ekki þann algebrulega eiginleika sem þarf að vera til staðar svo að til sé hentug formúla fyrir lausnum jöfnunnar. Lausnina sem við sjáum á grafinu, sem hefur óendanlega marga aukastafi en byrjar $-1.1673\ldots$, má því ekki skrifa með að beita samlagningu, frádrætti, margöldun, deilingu og rótardrögum á stuðla jöfnunnar.

Galois kenndi okkur ekki bara að það sem við vildum var ekki hægt, heldur sýndi og útskýrði nákvæmlega af hverju það var ekki hægt. Hann gaf okkur ný verkfæri til að skoða heiminn og orðin og tungumálið sem þurfti til að tala um ný vandamál. Að geta talað um hlutina er fyrsta skrefið til að rannsaka þá nánar og frá dauða Galoisar hafa stærðfræðingar beitt tólum hans nær sinnulaust til að átta sig á heiminum. Fyrir þessar gjafir er Galois talinn einn merkasti stærðfræðingur sögunnar.

Heimildir og ítarefni:

Líf Galois:

Galois-fræði:

Lausn Abels rædd:

Formúla fyrir lausnum þriðja stigs jöfnu:

Formúla fyrir lausnum fjórða stigs jöfnu:

Ein lausn fjórða stigs jöfnu:

Myndir:

...