Hvað er tvíundakerfi og hver fann það upp?

Nafn þitt

Netfang þitt

Netfang móttakanda

Ruslpóstvörn =

Svar

Hvað er tvíundakerfi og hver fann það upp?
Daníel Arnar spurði:

Hvernig er reiknað í tvíundakerfi?

og Ólafur Jón vildi fá að vita hvort erfitt væri að læra á tvíundakerfið í tölvum.

Tvíundakerfið (e. binary numeral system) er talnakerfi eða sætiskerfi með grunntöluna 2. Þegar tala er rituð í tvíundakerfinu svarar hvert sæti til veldis af tveimur og getur aðeins innihaldið tölustafinn 0 eða 1. Talnakerfið sem við þekkjum best er tugakerfið, sætiskerfi með grunntöluna 10. Þar getur hvert sæti innihaldið tíu möguleg tákn, tölustafina 0 til 9.

Við finnum gildi tölu með því að margfalda töluna í hverju sæti hennar með því veldi af grunntölunni sem sætið segir til um, og leggja saman við samsvarandi margfeldi fyrir hin sætin. Skoðum til dæmis töluna 2187 í tugakerfinu. Þar sem talan 7 er í aftasta eða „núllta“ sæti er hún margfölduð með 1 (\(10^0 = 1\)), þar sem talan 8 er í næstaftasta eða „fyrsta“ sæti er hún margfölduð með 10 (\(10^1 = 10\)) og svo framvegis, og við fáum að

\[2187_{tug} = 2 \cdot 10^3 + 1\cdot 10^2 + 8\cdot 10^1 + 7\cdot 10^0 = 2000 + 100 + 80 + 7\]

Gildi talna í tvíundakerfinu er fundið með sama hætti en þá er margfaldað með veldi af tveimur í staðinn fyrir veldi af tíu. Ef við skoðum til dæmis töluna 1001 í tvíundakerfinu fáum við

\[1001_{tví} = 1\cdot 2^3 + 0\cdot 2^2 + 0\cdot 2^1 + 1\cdot 2^0 = 8 + 0 + 0 + 1 = 9_{tug}\]

Með þessum hætti er einfalt að umrita tölu ritaða í tvíundakerfinu yfir í tugakerfið.

Tölur ritaðar í tvíundakerfi eru flestu fólki torlæsilegar auk þess að taka nokkuð mikið pláss miðað við sömu tölur ritaðar í tugakerfinu. Hins vegar hentar tvíundakerfið tölvum einstaklega vel, en nánast allar tölvur nú til dags byggjast á tvíundakerfinu vegna þess að það býður upp á einfalda og trausta tæknilega útfærslu. Auðvelt er að greina hvort straumur sé á tiltekinni straumrás í tölvu eða ekki, og með því að láta straum tákna 1 og engan straum tákna 0 er þannig hægt að tákna tölur í tvíundakerfinu með straumrásum. Tölurnar geta svo táknað fleira en bara tölur, til dæmis bókstafi eða skipanir fyrir tölvuna.

Tvíundakerfið eins og við þekkjum það í dag var fundið upp árið 1679 af þýska stærðfræðingnum Gottfried Leibniz, en ýmiss konar tvíundakerfi höfðu þó verið notuð fyrir þann tíma, meðal annars hjá fornum samfélögum í Egyptalandi, Kína og Indlandi. Forn-Egyptar notuðust við eins konar tvíundabrot til að skrásetja mælingar og er fyrsta heimildin um það frá því í kringum 2400 f.Kr. Hið forna kínverska spádómskerfi breytinganna (Yijing eða I Ching 易經) notast við tvíundakerfi í framsetningu tákna sinna, sem veitti Leibniz innblástur við þróunina á tvíundakerfi sínu.

Árið 1854 fann breski stærðfræðingurinn George Boole upp Boole-algebru, rökfræðilega algebru þar sem unnið er með breyturnar „satt“ og „ósatt“ (sem stundum eru táknaðar með 1 og 0). Tæpri öld síðar áttaði bandaríski háskólaneminn Claude Shannon sig á tengslunum milli Boole-algebru og rafrænna straumrása og sýndi í mastersritgerð sinni árið 1937 hvernig útfæra mætti aðgerðir Boole-algebru með slíkum rásum. Uppgötvanir hans lögðu grunninn að hagnýtingu tvíundakerfisins í gerð tölva og annarra rafeindatækja.

Heimildir:

• Af hverju byggjast tölvur upp á 1 og 0? eftir Hjálmtý Hafsteinsson. (Skoðað 6. 7. 2016).
• Hvers vegna notum við sætiskerfi og hvaða kosti hefur það umfram önnur talnakerfi? eftir Kristínu Bjarnadóttur. (Skoðað 6. 7. 2016).
• Binary number - Wikipedia, the free encyclopedia. (Skoðað 6. 7. 2016).

Myndir:

• Binario - Wikimedia Commons. (Sótt 6. 7. 2016).
• Diagram of I Ching hexagrams owned by Gottfried Wilhelm Leibniz - Wikimedia Commons. (Sótt 6. 7. 2016).

---

Þetta svar er eftir nemendur í Háskóla unga fólksins, námskeiðum á vegum HÍ fyrir 12-16 ára ungmenni í júnímánuði 2016.

...