Hvernig eru veldi reiknuð í algebru?

Nafn þitt

Netfang þitt

Netfang móttakanda

Ruslpóstvörn =

Svar

Hvernig eru veldi reiknuð í algebru?
Hér er einnig svarað eftirfarandi spurningu:

Hvað er 1.000.000.000.000.000 í öðru veldi?

Stundum er talað um reikniaðgerðina margföldun sem „endurtekna samlagningu“. Það er vegna þess að í sinni einföldustu mynd er margföldun notuð til að einfalda rithátt þegar sama talan er lögð við sjálfa sig aftur og aftur. Í stað þess að skrifa til dæmis

\[\underbrace{8+8+8+8+8}_{\text{5 sinnum}}\] er skrifað

\[5 \cdot 8.\] Á sama hátt mætti segja að svokölluð veldi séu „endurtekin margföldun“. Þau eru sem sagt notuð til að einfalda rithátt þegar sama talan er margfölduð við sjálfa sig aftur og aftur. Í stað þess að skrifa til dæmis

\[\underbrace{7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7}_{\text{4 sinnum}}\] er skrifað

\[7^4,\] og þessi tala kallast „sjö í fjórða veldi“. Í stað þess að skrifa

\[\underbrace{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}_{\text{6 sinnum}}\] er á sama hátt skrifað

\[2^6,\] og þessi tala kallast „tveir í sjötta veldi“.

Ef $x$ er einhver tala (rauntala) og $n$ er einhver jákvæð heiltala, þá er almennt hægt að skilgreina veldið $x^n$ svona: \[x^n = \underbrace{x \cdot x \cdot x \cdot \ldots \cdot x}_{\text{$n$ sinnum}}.\] Með þessu er átt við að talan $x^n$ fæst með því að margfalda töluna $x$ við sjálfa sig $n$ sinnum, eða með því að margfalda saman $n$ eintök af tölunni $x$.

Hægt er að útvíkka skilgreiningu veldisins $x^n$ þannig að talan $n$ geti líka verið $0$ eða neikvæð heiltala. Áður en það er gert skulum við líta á eftirfarandi töflu:

Vert er að veita því athygli að til að fá næstu tölu fyrir ofan í töflunni þarf að margfalda með $2$, en til að fá næstu tölu fyrir neðan þarf að deila með $2$.

Ef byrjað er efst í töflunni, þá fæst næsta veldi fyrir neðan alltaf með því að deila með $2$. Með því að fylgja þessari reglu sjáum við hvernig eðlilegt er að bæta $2^0$, $2^{-1}$, $2^{-2}$, og svo framvegis, inn í töfluna:

Með þessari hugsun fæst að $2^0=1$. Ef bornar eru saman efsta og neðsta línan, næstefsta og næstneðsta línan, og svo framvegis, sést jafnframt að

$$\begin{align*} &2^{-4} = \frac1{16} = \frac1{2^4}, \quad\quad 2^{-3}=\frac18=\frac1{2^3}, \quad\quad \text{o.s.frv.} \end{align*}$$ Með öðrum orðum gildir fyrir sérhverja neikvæða heiltölu $-n$ að

\[2^{-n} = \frac1{2^n}.\] Ef prófað er að setja aðra tölu í stað $2$ í töflunni að ofan fæst nákvæmlega sama mynstrið. Þess vegna er eðlilegt að skilgreina almennt

\[x^0 = 1 \quad\text{og}\quad x^{-n} = \frac1{x^n},\] þar sem $x$ getur verið hvaða tala sem er önnur en $0$. Ástæðan fyrir því að $x$ getur ekki verið $0$ er að ef $0$ er notað í stað $2$ í töflunni að ofan, þá þarf alltaf að deila með $0$ til að fá næstu tölu fyrir neðan, sem er ekki skilgreind aðgerð í stærðfræði.

Um veldi gilda eftirfarandi fimm reiknireglur, sem oft eru kallaðar veldareglurnar:

1. $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$.
2. $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$ ef $x \neq 0$.
3. $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$.
4. $(x \cdot y)^m = x^m \cdot y^m$.
5. $(\frac{x}y)^m = \frac{x^m}{y^m}$ ef $y \neq 0$.

Auðvelt er að sannfæra sig um að þessar reglur séu réttar með því að skoða tiltekin dæmi. Samkvæmt skilgreiningu veldis er til dæmis

$$\begin{align*} x^3 \cdot x^5 &= \underbrace{x \cdot x \cdot x}_{\text{3 sinnum}} \cdot \underbrace{x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x}_{\text{5 sinnum}} \\ & \\ & \\ &= \underbrace{x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x}_{\text{8 sinnum}} \\ &= x^8. \end{align*}$$ Hér er hægt að spara sér reikninga með því að taka eftir því að $x^3$ þýðir að talan $x$ sé margfölduð við sjálfa sig þrisvar, og $x^5$ þýðir að $x$ sé margfölduð við sjálfa sig fimm sinnum. Ef tölurnar $x^3$ og $x^5$ eru margfaldaðar saman þarf þess vegna að margfalda töluna $x$ við sjálfa sig alls $3+5=8$ sinnum. Með öðrum orðum má fá strax að

\[x^3 \cdot x^5 = x^{3+5} = x^8.\] Þetta er einmitt það sem fyrsta veldareglan segir. Með því að skoða svipuð dæmi má ganga úr skugga um að hinar reglurnar séu líka réttar.

Snúum okkur loks að hinni spurningunni sem lögð var fram:

Hvað er 1.000.000.000.000.000 í öðru veldi?

Til að svara henni er einfaldast að taka eftir því að talan 1.000.000.000.000.000 er ekkert annað en $10^{15}$, því hún hefur fimmtán núll. Þá er hægur vandi að hefja töluna í annað veldi með því að nota þriðju veldaregluna að ofan:

\[(10^{15})^2 = 10^{15 \cdot 2} = 10^{30}.\] Ef talan $10^{30}$ er skrifuð á hefðbundnu formi byrjar hún á einum og þar á eftir fylgja þrjátíu núll, sem sagt

\[1.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.\] Þetta er gríðarstór tala; til dæmis er hún hálfur massi sólarinnar í kílóum talið.

---

Þetta svar var upprunalega skrifað árið 2011, þegar höfundur var starfsmaður Vísindavefsins....