Hvernig er hægt að sanna stærðfræðilega að 1 + 1 = 2 og 2 + 2 = 4?

Nafn þitt

Netfang þitt

Netfang móttakanda

Ruslpóstvörn =

Svar

Hvernig er hægt að sanna stærðfræðilega að 1 + 1 = 2 og 2 + 2 = 4?
Áður hefur verið fjallað um þetta efni í svari sama höfundar við spurningunni Hvernig vitum við að 1 + 1 = 2 og 2 + 2 = 4? Þar var stuðst við eftirfarandi skilgreiningu á náttúrulegu tölunum $1$, $2$, $3$, og svo framvegis:

Segjum að við höfum tvö söfn af hlutum og að við getum parað hlutina úr fyrra safninu saman við hlutina úr seinna safninu þannig að enginn hlutur gangi af. Þá segjum við að söfnin tvö hafi jafn marga hluti.

Ef hlutir úr tveimur söfnum eru paraðir saman þannig að einn eða fleiri hlutir gangi af úr öðru safninu, þá er það sagt hafa fleiri hluti en hitt safnið, sem er sagt hafa færri hluti.

Skiptum nú öllum mögulegum söfnum af hlutum í hópa þannig að söfnin í sérhverjum hópi hafi jafn marga hluti. Röðum síðan hópunum þannig að alltaf séu fleiri hlutir í næsta hóp á eftir. Við auðkennum nú sérhvern hóp með nákvæmlega einni tölu á eftirfarandi hátt: Fyrsti hópurinn er auðkenndur með tölunni „einn“, næsti með tölunni „tveir“, hópurinn þar á eftir með tölunni „þrír“, og svo framvegis.

Þessi skilgreining nær ágætlega yfir hversdagslegan skilning okkar á náttúrulegu tölunum, enda notum við þær til að lýsa fjölda í daglegu lífi. Frá sjónarhóli stærðfræðinnar er hún hins vegar ónothæf, því hún er algjörlega háð áþreifanlegum hlutum. Stærðfræðin krefst óhlutstæðrar skilgreiningar þar sem grundvallareiginleikar náttúrulegu talnanna eru settir fram á skýran og ótvíræðan hátt.

Ein fyrsta nothæfa skilgreiningin kom frá ítalska stærðfræðingnum Giuseppe Peano (1858-1932) árið 1889. Þegar skilgreiningin er notuð nú til dags er talan $0$ yfirleitt talin til náttúrulegu talnanna og gert er ráð fyrir að þær fullnægi eftirfarandi fimm frumsendum:

1. Til er náttúruleg tala sem táknuð er með $0$.
2. Fyrir sérhverja náttúrulega tölu $n$ er til nákvæmlega ein náttúruleg tala $n^\ast$, sem kallast eftirfari tölunnar $n$.
3. $0$ er ekki eftirfari neinnar náttúrulegrar tölu.
4. Eftirfarar tveggja ólíkra náttúrulegra talna eru ólíkir: Ef $n \neq m$ er $n^\ast \neq m^\ast$.
5. Ef tiltekin fullyrðing um náttúrulegu tölurnar er þannig að
   • hún er sönn fyrir $0$;
   • ef hún er sönn fyrir náttúrulega tölu $n$, þá er hún líka sönn fyrir $n^\ast$;
   þá er fullyrðingin sönn um allar náttúrulegu tölurnar.

Fyrsta frumsendan tryggir tilvist tölunnar $0$ og önnur frumsendan segir í raun að fyrir sérhverja náttúrulega tölu sé alltaf til „næsta tala á eftir“. Með þessar tvær frumsendur að vopni getum við skilgreint tölurnar $1$, $2$, $3$, $4$, og svo framvegis, á eftirfarandi hátt:

\[1 = 0^\ast, \quad 2 = 1^\ast, \quad 3 = 2^\ast, \quad 4 = 3^\ast, \quad \text{og svo framvegis.} \quad (\ast)\] Með öðrum orðum er $1$ næsta talan á eftir $0$, $2$ er næsta talan á eftir $1$ og svo koll af kolli. Þriðja frumsendan segir að engin tala komi á undan $0$ og fjórða frumsendan tryggir að tölurnar $1$, $2$, $3$, $4$, og svo framvegis, séu allar ólíkar. Loks gerir fimmta frumsendan okkur kleift að beita svokallaðri þrepasönnun.

Áður en við getum sannað að $1+1=2$ og $2+2=4$ þarf að skilgreina hvað „+“ merkir. Með því að nota aðeins $0$ og eftirfarahugmyndina getum við skilgreint samlagningu sem þá reikniaðgerð sem fullnægir eftirfarandi skilyrðum:

1. $a+0=a$ fyrir allar náttúrulegar tölur $a$.
2. $a+b^\ast = (a+b)^\ast$ fyrir allar náttúrulegar tölur $a$ og $b$.

Strangt til tekið þarf að sanna að samlagning sé vel skilgreind, sem þýðir í fyrsta lagi að til sé reikniaðgerð sem hefur þessa tvo eiginleika og í öðru lagi að ekki séu til fleiri en ein slík reikniaðgerð. Áhugasamir lesendur geta lesið þessa sönnun í heimildinni sem fylgir svarinu.

Nú erum við í stakk búin til að sanna stærðfræðilega að $1+1=2$. Það er gert í fjórum skrefum sem sjást hér að neðan. Vert er að taka eftir að sérhver skref byggir aðeins á frumsendunum fimm um náttúrulegu tölurnar eða skilgreiningunni á samlagningu.

$$\begin{align*} 1+1 &= 1+0^\ast \quad \text{(skv. $(\ast)$)} \\ &= (1+0)^\ast \quad \text{(skilgreining samlagningar, liður 2)} \\ &= 1^\ast \quad \text{(skilgreining samlagningar, liður 1)} \\ &= 2 \quad \text{(skv. $(\ast)$)}. \end{align*}$$Aðeins meira mál er að sanna að $2+2=4$:

$$\begin{align*} 2+2 &= 1^\ast+1^\ast \quad \text{(skv. $(\ast)$)} \\ &= (1^\ast+1)^\ast \quad \text{(skilgreining samlagningar, liður 2)} \\ &= (1^\ast+0^\ast)^\ast \quad \text{(skv. $(\ast)$)} \\ &= ((1^\ast+0)^\ast)^\ast \quad \text{(skilgreining samlagningar, liður 2)} \\ &= ((1^\ast)^\ast)^\ast \quad \text{(skilgreining samlagningar, liður 1)} \\ &= (2^\ast)^\ast \quad \text{(skv. $(\ast)$)} \\ &= 3^\ast \quad \text{(skv. $(\ast)$)} \\ &= 4. \quad \text{(skv. $(\ast)$)}. \end{align*}$$

Heimild:

• Lemmermeyer, F. (2011). Numbers and Curves. Berlin: Springer-Verlag. (Sótt 16.9.2022).

Upphaflegu spurningarnar voru sem hér segir:

Er 1 + 1 = 2? Er hægt að sanna að 1 + 1 séu ekki 2? (Loftur) Hvað er 1 + 1? (Stefán) Hvernig er hægt að sanna að 2 + 2 = 4 en ekki jafnt og 5? (Valdimar) Er hægt að sanna að 2 + 2 séu í raun og veru 4? (Einar) Rússneski heimspekingurinn Lev Shestof sagði að ef „ósýnileg hönd“ hefði frá örófi alda alltaf bætt ósýnilegum 1 inn í útreikninginn þá myndu stærðfræðingar (og aðrir) halda að 2 + 2 sé alltaf það sama og 5. Hvað er til í þessari skoðun? (Róbert) Af hverju er 1 + 1 + 1 = 3? (N.N.)

---

Þetta svar var upprunalega skrifað árið 2011, þegar höfundur var starfsmaður Vísindavefsins....