Senda inn spurningu
Sólin Sólin Rís 05:15 • sest 21:38 í Reykjavík
Tunglið Tunglið Rís 01:18 • Sest 04:30 í Reykjavík
Flóð Flóð Árdegis: 07:36 • Síðdegis: 19:53 í Reykjavík
Fjaran Fjara Árdegis: 01:39 • Síðdegis: 13:42 í Reykjavík
Visit the English version

Flokkun:

Náttúruvísindi og verkfræði Stærðfræði

Hvað er hægt að raða tíu kúlum í tíu glös á marga mismunandi vegu?

Gunnar Þór Magnússon

Hér höfum við ákveðinn fjölda hluta, sem við ætlum að raða í sama fjölda sæta. Vandamál af þessu tagi koma oft upp í strjálli stærðfræði eða tölvunarfræði, þar sem röð hluta skiptir máli. Í staðinn fyrir að leysa upphaflega vandamálið, sem er tiltölulega afmarkað, þá getum við skoðað aðeins almennari spurningu: Segjum að við höfum k hluti sem við ætlum að raða í n sæti, og gerum ráð fyrir að við höfum ekki fleiri hluti en sæti, eða að \(k\leq n\).

Í staðinn fyrir að raða kúlum getum við raðað spilum.

Við göngum nú á hlutina okkar; þann fyrsta getum við sett í hvert sem er af þeim n sætum sem eru í boði, svo fjöldi möguleika á staðsetningu þess fyrsta er n. Hlut númer tvö getum við sett í hvaða sæti sem er, nema það sem fyrsti hluturinn er í, svo fjöldi möguleika á staðsetningu annars hlutarins er n-1. Heildarfjöldi uppraðana á fyrstu tveim hlutunum er því n∙(n-1). Svona gerum við fyrir hvern hlutinn á fætur öðrum. Þegar við veljum k-ta hlutnum sæti höfum við úr n-k+1 möguleikum að velja, og fjöldi mismunandi uppraðana á hlutunum er því

\[n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot ...\cdot (n-k+1)=\frac{n!}{(n-k)!}\]

Talan n! er lesin „n hrópmerkt“ og er skilgreind þannig að

\[n!=n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot ...\cdot 2\cdot 1\]

fyrir n > 0, og við setjum einnig 0! = 1.

Í upphaflegu spurningunni er fjöldi sæta jafn fjölda hluta, það er n = k. Af formúlunni okkar sjáum við að fjöldi leiða til að raða n hlutum í n sæti er jafn n!/0!, eða n!. Í spurningunni eru n og k = 10 en Vísindavefurinn hefur einnig fengið spurningu um á hversu marga vegu hægt er að raða tölunum frá 1 og upp í 9. Við skulum byrja á því að skoða það dæmi. Hægt er að raða tölunum frá 1 og upp í 9 niður á

9! = 9 ∙ 8 ∙ ... ∙ 2 ∙ 1 = 362880

vegu. Athyglisvert er að þetta er fjöldi mismunandi níu stafna talna þar sem sérhver tölustafur frá 1 og upp í 9 kemur nákvæmlega einu sinni fyrir. Eins er fjöldi leiða til að raða 10 kúlum í 10 sæti jafn 10!, en vegna þess að 10! = 10 ∙ 9! er fljótlegt að reikna þá tölu út frá því sem við höfum þegar gert.

Spyrjendur höfðu líka áhuga á að vita fjölda mismunandi uppraðana á spilum í spilastokki. Sá fjöldi fæst á sama hátt og tölurnar hér að ofan, en hann er 52!, sem jafngildir um 8,1x1067 mismunandi uppröðunum. Það er mjög stór tala; 81 milljón billjón billjón billjón billjón billjónir.

Tengt efni á Vísindavefnum:

Upphaflega hljóðaði spurningin svona:

Hér er smá stærðfræðigáta sem ég hef lengi pælt í en finn ekki svarið við og hún hljóðar svo: Ef ég er með 10 glös fyrir framan mig og 10 kúlur í hendinni og fer síðan að henda kúlunum tilviljanakennt í glösinn þangað til að mínar 10 kúlur eru búnar, þá enda ég með tilviljanakennda uppröðun í glösunum, en spurningin er svohljóðandi: Hversu margar mismunandi uppraðanir get ég hugsanlega fengið út úr þessu?

Hér var einnig svarað spurningunni:

,,Hvað er hægt að raða tölunum 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 og 9 á marga vegu?'' og ,,Hvað geta komið margar mismunandi uppraðanir í spilastokk?''

Höfundur

Gunnar Þór Magnússon

Gunnar Þór Magnússon

stærðfræðingur

Útgáfudagur

15.8.2008

Spyrjandi

Jóhann Sveinsson
Magnús Víðisson
Sigurjón Friðriksson

Efnisorð

Tilvísun

Gunnar Þór Magnússon. „Hvað er hægt að raða tíu kúlum í tíu glös á marga mismunandi vegu?“ Vísindavefurinn, 15. ágúst 2008. Sótt 26. apríl 2024. http://visindavefur.is/svar.php?id=29230.

Gunnar Þór Magnússon. (2008, 15. ágúst). Hvað er hægt að raða tíu kúlum í tíu glös á marga mismunandi vegu? Vísindavefurinn. Sótt af http://visindavefur.is/svar.php?id=29230

Gunnar Þór Magnússon. „Hvað er hægt að raða tíu kúlum í tíu glös á marga mismunandi vegu?“ Vísindavefurinn. 15. ágú. 2008. Vefsíða. 26. apr. 2024. <http://visindavefur.is/svar.php?id=29230>.

Chicago | APA | MLA

Þessi síða notar vafrakökur Nánari upplýsingar

Ég samþykki
Spyrja

Sendu inn spurningu LeiðbeiningarTil baka

Hér getur þú sent okkur nýjar spurningar um vísindaleg efni.

Hafðu spurninguna stutta og hnitmiðaða og sendu aðeins eina í einu. Einlægar og vandaðar spurningar um mikilvæg efni eru líklegastar til að kalla fram vönduð og greið svör. Ekki er víst að tími vinnist til að svara öllum spurningum.

Persónulegar upplýsingar um spyrjendur eru eingöngu notaðar í starfsemi vefsins, til dæmis til að svör verði við hæfi spyrjenda. Spurningum er ekki sinnt ef spyrjandi villir á sér heimildir eða segir ekki nægileg deili á sér.

Spurningum sem eru ekki á verksviði vefsins er eytt.

Að öðru leyti er hægt að spyrja Vísindavefinn um allt milli himins og jarðar!

=

Senda grein til vinar

=

Hvað er hægt að raða tíu kúlum í tíu glös á marga mismunandi vegu?
Hér höfum við ákveðinn fjölda hluta, sem við ætlum að raða í sama fjölda sæta. Vandamál af þessu tagi koma oft upp í strjálli stærðfræði eða tölvunarfræði, þar sem röð hluta skiptir máli. Í staðinn fyrir að leysa upphaflega vandamálið, sem er tiltölulega afmarkað, þá getum við skoðað aðeins almennari spurningu: Segjum að við höfum k hluti sem við ætlum að raða í n sæti, og gerum ráð fyrir að við höfum ekki fleiri hluti en sæti, eða að \(k\leq n\).

Í staðinn fyrir að raða kúlum getum við raðað spilum.

Við göngum nú á hlutina okkar; þann fyrsta getum við sett í hvert sem er af þeim n sætum sem eru í boði, svo fjöldi möguleika á staðsetningu þess fyrsta er n. Hlut númer tvö getum við sett í hvaða sæti sem er, nema það sem fyrsti hluturinn er í, svo fjöldi möguleika á staðsetningu annars hlutarins er n-1. Heildarfjöldi uppraðana á fyrstu tveim hlutunum er því n∙(n-1). Svona gerum við fyrir hvern hlutinn á fætur öðrum. Þegar við veljum k-ta hlutnum sæti höfum við úr n-k+1 möguleikum að velja, og fjöldi mismunandi uppraðana á hlutunum er því

\[n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot ...\cdot (n-k+1)=\frac{n!}{(n-k)!}\]

Talan n! er lesin „n hrópmerkt“ og er skilgreind þannig að

\[n!=n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot ...\cdot 2\cdot 1\]

fyrir n > 0, og við setjum einnig 0! = 1.

Í upphaflegu spurningunni er fjöldi sæta jafn fjölda hluta, það er n = k. Af formúlunni okkar sjáum við að fjöldi leiða til að raða n hlutum í n sæti er jafn n!/0!, eða n!. Í spurningunni eru n og k = 10 en Vísindavefurinn hefur einnig fengið spurningu um á hversu marga vegu hægt er að raða tölunum frá 1 og upp í 9. Við skulum byrja á því að skoða það dæmi. Hægt er að raða tölunum frá 1 og upp í 9 niður á

9! = 9 ∙ 8 ∙ ... ∙ 2 ∙ 1 = 362880

vegu. Athyglisvert er að þetta er fjöldi mismunandi níu stafna talna þar sem sérhver tölustafur frá 1 og upp í 9 kemur nákvæmlega einu sinni fyrir. Eins er fjöldi leiða til að raða 10 kúlum í 10 sæti jafn 10!, en vegna þess að 10! = 10 ∙ 9! er fljótlegt að reikna þá tölu út frá því sem við höfum þegar gert.

Spyrjendur höfðu líka áhuga á að vita fjölda mismunandi uppraðana á spilum í spilastokki. Sá fjöldi fæst á sama hátt og tölurnar hér að ofan, en hann er 52!, sem jafngildir um 8,1x1067 mismunandi uppröðunum. Það er mjög stór tala; 81 milljón billjón billjón billjón billjón billjónir.

Tengt efni á Vísindavefnum:

Upphaflega hljóðaði spurningin svona:

Hér er smá stærðfræðigáta sem ég hef lengi pælt í en finn ekki svarið við og hún hljóðar svo: Ef ég er með 10 glös fyrir framan mig og 10 kúlur í hendinni og fer síðan að henda kúlunum tilviljanakennt í glösinn þangað til að mínar 10 kúlur eru búnar, þá enda ég með tilviljanakennda uppröðun í glösunum, en spurningin er svohljóðandi: Hversu margar mismunandi uppraðanir get ég hugsanlega fengið út úr þessu?

Hér var einnig svarað spurningunni:

,,Hvað er hægt að raða tölunum 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 og 9 á marga vegu?'' og ,,Hvað geta komið margar mismunandi uppraðanir í spilastokk?''
...