Senda inn spurningu
Sólin Sólin Rís 05:12 • sest 21:41 í Reykjavík
Tunglið Tunglið Rís 00:00 • Sest 00:00 í Reykjavík
Flóð Flóð Árdegis: 08:09 • Síðdegis: 20:27 í Reykjavík
Fjaran Fjara Árdegis: 02:12 • Síðdegis: 14:14 í Reykjavík
Visit the English version

Flokkun:

Náttúruvísindi og verkfræði Stærðfræði

Hvernig er jafnan um flatarmál hrings sönnuð?

Þorsteinn Vilhjálmsson

Oft er um margar leiðir að velja til að sanna mikilvægar niðurstöður í stærðfræði, og svo er einnig hér. Við veljum eftirfarandi aðferð:

Skiptum hring með geisla (radía) r í geira út frá miðju á sama hátt og þegar hringlaga terta er skorin í tertuboði, utan hvað við höfum geirana mjög litla; látum stærð þeirra stefna á 0 eins og sagt er í stærðfræði nú á dögum. Hver þeirra nálgast þá jafnhliða þríhyrning með hæðinni r og grunnlínu g = rθ þar sem θ er topphorn geirans, það er að segja litla hornið sem hann spannar í miðju hringsins, mælt í radíönum. Flatarmál þríhyrnings er hálfur sinnum grunnlína sinnum hæð (F = gh/2) sem gefur hér r2θ/2.

Til að finna heildarflatarmál hringsins leggjum við saman alla geirana. Við sjáum þá að geislinn r er sá sami fyrir þá alla þannig að hægt er að taka r2/2 út fyrir sviga í samlagningunni. Inni í sviganum er þá eftir summan af hornunum fyrir alla geirana. En af því að við skiptum einmitt öllum hringnum (allri kökunni!), þá verður sú summa jöfn öllu horninu sem hringurinn tekur yfir en það er 2π radíanar. Þessi niðurstaða er óháð því hversu margir geirarnir eru; því fleiri, þeim mun minni er hver þeirra um sig þannig að summan verður föst.

Talan 2 styttist út og við fáum niðurstöðuna um flatarmál hrings:
F = πr2
Lesendur sem kunna örsmæðareikning (diffrun og heildun) geta hæglega yfirfært þessa sönnun á það tungumál sem þar er beitt, það er að segja sett dθ í stað θ og heildun í stað samlagningar.

Höfundur

Þorsteinn Vilhjálmsson

Þorsteinn Vilhjálmsson

prófessor emeritus, ritstjóri Vísindavefsins 2000-2010 og ritstjóri Evrópuvefsins 2011

Útgáfudagur

24.9.2004

Spyrjandi

Erna Auðunsdóttir

Efnisorð

Tilvísun

Þorsteinn Vilhjálmsson. „Hvernig er jafnan um flatarmál hrings sönnuð?“ Vísindavefurinn, 24. september 2004. Sótt 27. apríl 2024. http://visindavefur.is/svar.php?id=4528.

Þorsteinn Vilhjálmsson. (2004, 24. september). Hvernig er jafnan um flatarmál hrings sönnuð? Vísindavefurinn. Sótt af http://visindavefur.is/svar.php?id=4528

Þorsteinn Vilhjálmsson. „Hvernig er jafnan um flatarmál hrings sönnuð?“ Vísindavefurinn. 24. sep. 2004. Vefsíða. 27. apr. 2024. <http://visindavefur.is/svar.php?id=4528>.

Chicago | APA | MLA

Þessi síða notar vafrakökur Nánari upplýsingar

Ég samþykki
Spyrja

Sendu inn spurningu LeiðbeiningarTil baka

Hér getur þú sent okkur nýjar spurningar um vísindaleg efni.

Hafðu spurninguna stutta og hnitmiðaða og sendu aðeins eina í einu. Einlægar og vandaðar spurningar um mikilvæg efni eru líklegastar til að kalla fram vönduð og greið svör. Ekki er víst að tími vinnist til að svara öllum spurningum.

Persónulegar upplýsingar um spyrjendur eru eingöngu notaðar í starfsemi vefsins, til dæmis til að svör verði við hæfi spyrjenda. Spurningum er ekki sinnt ef spyrjandi villir á sér heimildir eða segir ekki nægileg deili á sér.

Spurningum sem eru ekki á verksviði vefsins er eytt.

Að öðru leyti er hægt að spyrja Vísindavefinn um allt milli himins og jarðar!

=

Senda grein til vinar

=

Hvernig er jafnan um flatarmál hrings sönnuð?
Oft er um margar leiðir að velja til að sanna mikilvægar niðurstöður í stærðfræði, og svo er einnig hér. Við veljum eftirfarandi aðferð:

Skiptum hring með geisla (radía) r í geira út frá miðju á sama hátt og þegar hringlaga terta er skorin í tertuboði, utan hvað við höfum geirana mjög litla; látum stærð þeirra stefna á 0 eins og sagt er í stærðfræði nú á dögum. Hver þeirra nálgast þá jafnhliða þríhyrning með hæðinni r og grunnlínu g = rθ þar sem θ er topphorn geirans, það er að segja litla hornið sem hann spannar í miðju hringsins, mælt í radíönum. Flatarmál þríhyrnings er hálfur sinnum grunnlína sinnum hæð (F = gh/2) sem gefur hér r2θ/2.

Til að finna heildarflatarmál hringsins leggjum við saman alla geirana. Við sjáum þá að geislinn r er sá sami fyrir þá alla þannig að hægt er að taka r2/2 út fyrir sviga í samlagningunni. Inni í sviganum er þá eftir summan af hornunum fyrir alla geirana. En af því að við skiptum einmitt öllum hringnum (allri kökunni!), þá verður sú summa jöfn öllu horninu sem hringurinn tekur yfir en það er 2π radíanar. Þessi niðurstaða er óháð því hversu margir geirarnir eru; því fleiri, þeim mun minni er hver þeirra um sig þannig að summan verður föst.

Talan 2 styttist út og við fáum niðurstöðuna um flatarmál hrings:
F = πr2
Lesendur sem kunna örsmæðareikning (diffrun og heildun) geta hæglega yfirfært þessa sönnun á það tungumál sem þar er beitt, það er að segja sett dθ í stað θ og heildun í stað samlagningar....