Hvernig reiknar maður út hversu miklar líkur séu á því að í hópi vinnufélaga eigi einhverjir tveir sama afmælisdag?

Svarið við þessu fer eftir því hversu margir eru í upprunalega hópnum og hversu líklegt það er að tiltekinn dagur sé afmælisdagur einhverrar manneskju. Við skulum gera ráð fyrir að allir dagar ársins séu jafn líklegir sem afmælisdagar, því annars verður spurningin fljótt of flókin til að hægt sé að svara henni í stuttu máli. Einnig skulum við sleppa því að taka tillit til hlaupára, svo að í árinu okkar eru 365 dagar.

Við skulum segja að í hópnum séu n manns. Nú ætti að vera nokkuð ljóst að ef n er stærri en 365, sem er fjöldi daga í ári og því fjöldi mögulegra mismunandi afmælisdaga, þá deila einhverjir tveir afmælisdegi og líkurnar sem spurt er um eru í þessum tilvikum sama sem 1 eða 100%. Við gerum því hér á eftir ráð fyrir að n sé minni en 365.

Í staðinn fyrir að reikna líkurnar á að einhverjir tveir deili afmælisdegi, þá getum við reiknað líkurnar á að engir tveir eigi afmæli á sama degi, og dregið þá tölu frá einum. Þetta eru einfaldari útreikningar, því við þurfum ekki að taka sérstaklega með í reikninginn tilvik eins og að þrír eða fleiri deili afmælisdegi, eða að til séu pör fólks sem eiga afmæli á sama degi.

Fjöldi leiða til að raða n einstaklingum á 365 daga án endurtekningar er

365 * 364 * 363 * ... * (365 - n + 1),

vegna þess að þegar við höfum valið fyrsta daginn getum við ekki notað hann aftur, svo þá eru 364 dagar í pottinum, og svo framvegis þar til öllum n mönnunum hefur verið raðað.

Heildarfjöldi leiða til að raða fólkinu á dagana í árinu er hins vegar 365ⁿ, því þá er okkur sama um hvort einhverjir dagar eru endurteknir. Fyrir hvern nýjan mann í hópnum eru 365 möguleikar sem eru óháðir röðun hinna og því margfaldast talan með 365 fyrir hvern nýjan í hópnum þannig að niðurstaðan verður 365ⁿ eða talan 365 margfölduð með sjálfum sér n sinnum.

Við sjáum þannig að fyrir n manna hóp eru líkurnar á því að engir tveir eigi afmæli á sama degi jafnar

p(n) = 365 * 364 * ...* (365-n+1) / 365ⁿ

og því eru líkurnar á því að einhverjir tveir deili afmælisdegi jafnar 1 - p(n). Þetta fall af n er sýnt á grafinu hér á eftir.

Graf 1 - p(n)

Af grafinu sést að ef það eru fleiri en 22 í hópnum, þá eru meiri en helmings líkur á að einhverjir tveir eigi afmæli á sama degi. Einnig sést að ef 57 eða fleiri manns eru í hópnum eru yfir 99% líkur á að einhverjir hafi fæðst á sama degi. Þessi niðurstaða er kölluð afmælisþversögnin. Nafnið kemur þó ekki af því að þetta sé raunveruleg þversögn, heldur af því að niðurstaðan kemur þó nokkuð á óvart miðað við fjölda mögulegra afmælisdaga.

Mynd: