Senda inn spurningu
Sólin Sólin Rís 05:36 • sest 21:19 í Reykjavík
Tunglið Tunglið Rís 16:44 • Sest 05:50 í Reykjavík
Flóð Flóð Árdegis: 04:37 • Síðdegis: 17:05 í Reykjavík
Fjaran Fjara Árdegis: 10:57 • Síðdegis: 23:09 í Reykjavík
Visit the English version

Flokkun:

Hugvísindi Heimspeki

Er hægt að segja að talan 0 sé eining, öllu heldur sem eitthvað, jafnvel áþreifanlegt?

Erlendur Jónsson

Elstu menningarþjóðirnar, Forn-Egyptar, Majar, Kínverjar og Súmerar, virðast hafa haft hugtakið "núll", en sérstakt tákn var þó ekki notað fyrir það nema stundum til að gefa til kynna eyðu á milli annarra tölustafa. Fyrsta notkun á tölustafnum "0" (það er samsvarandi tákni) á sama hátt og hann er notaður í dag kemur sennilega fram hjá arabíska stærðfræðingnum Múhammeð ibn Músa al-Kúarismí (uppi um 780-850), en orðið "algóriþmi" er reyndar dregið af nafni hans. Þessi notkun á 0-tölustafnum og öðrum arabískum tölustöfum breiddist síðan um Evrópu á 10. öld.

Þetta var smá forspjall um notkun tölustafsins "0". En við megum ekki rugla tölustafnum saman við töluna sjálfa, sem spurt er um. Hvað eru tölur? Þetta er spurning sem ýmsir heimspekingar hafa glímt við, allt frá dögum Platons og Pýþagórasar. Pýþagóras (uppi um 532 fyrir Krist), sem varð fyrir áhrifum frá trúarbrögðum Forn-Egypta, taldi tölur liggja til grundvallar öllu í heiminum. Aristóteles segir um hann: „Pýþagóringar voru hinir fyrstu sem hugsuðu alvarlega um stærðfræði og þróuðu hana. Vegna þekkingar sinnar á þessum vísindum komust þeir á þá skoðun, að grundvöllur stærðfræðinnar sé líka grundvöllur alls sem er“. Tölurnar eru sem sagt heillandi viðfangsefni og samgrónar allri mannlegri hugsun.

Lengi vel voru þó engar heildstæðar kenningar settar fram um það hvað tölur eru. Það var ekki fyrr en á 19. öld, að þýski heimspekingurinn Gottlob Frege (1848-1925) setti fram þá kenningu, að tölur séu ekkert annað en mengi af ákveðnu tæi. Hann komst að þeirri niðurstöðu, að þegar við segjum til dæmis að Norðurlöndin séu fimm, þá erum við ekki að segja neitt um Norðurlöndin hvert fyrir sig, heldur um annan hlut, nefnilega mengi Norðurlandanna: við erum að segja að þetta mengi hafi ákveðinn fjölda staka. En hvaða fjölda staka? Auðvitað 5! En erum við þá ekki að nota töluhugtakið aftur?

Til að komast hjá þessum vanda notfærði Frege sér hugtakið “gagntæk vörpun" (á ensku one to one correspondence). Sagt er að til sé gagntæk vörpun á milli tveggja mengja, M og N, ef til sérhvers staks í M svarar nákvæmlega eitt stak í N, og þetta stak í N er ekki svörun neins annars staks í M, og öfugt. Þegar gagntæk vörpun er til á milli M og N er sagt að þau hafi jafnmörg stök eða hafi sömu fjöldatölu. Þannig er til gagntæk vörpun á milli mengis fingra vinstri handar og mengis fingra hægri handar, þar sem bæði hafa fimm stök, fjöldatöluna fimm (meira um gagntæka vörpun í þessu svari um fjölda jákvæðra og neikvæðra talna).

Ef við tökum nú öll mengi, sem hafa fimm stök, það er öll mengi sem unnt er að setja í gagntæka svörun t.d. við mengið {Ísland, Danmörk, Noregur, Svíþjóð, Finnland}, mynda þau eitt stórt mengi, nefnilega mengi allra þeirra mengja, sem eru í gagntækri svörun við framangreint mengi, það er mengi allra þeirra mengja sem hafa fimm stök. Þetta stóra mengi segir Frege vera töluna fimm, og hann skilgreindi allar náttúrulegar tölur, þ.e. 0, 1, 2, 3, 4,..., á hliðstæðan hátt sem mengi mengja. Skv. þessu er talan 0 mengi allra þeirra mengja, sem hafa ekkert stak. Reyndar er aðeins til eitt mengi, sem hefur ekkert stak, nefnilega tómamengið, sem er oft táknað með Ø, þannig að 0 er skilgreint sem mengið sem hefur tómamengið sem eina stakið, sem mengið {Ø}.

Nú eru mengi sértækir (abstrakt) hlutir, það er þau eru ekki áþreifanleg, eitthvað sem við getum séð eða skynjað í raunheiminum, heldur sköpuð af mannshuganum, hugtök sem við notum til að skipuleggja og skilja veruleikann, og því væri skv. kenningu Freges talan 0 ekki áþreifanleg. En þar með er ekki sagt að hún sé ekki "eitthvað", Frege var einmitt mjög í mun að sýna að tölur séu "hlutir". En hlutir geta að sjálfsögðu verið óefniskenndir, eitthvað getur auðvitað verið hlutur án þess að við getum þreifað á því.

Það sem átt er við með því að segja að eitthvað sé hlutur er einkum tvennt: a) unnt verður að vera að segja hvort það sé samt einhverju öðru eða ekki, og b) það verður að vera unnt að nota orð sem vísar til þess, til dæmis N, og segja eitthvað um hlutinn, það er setja fram fullyrðingar á forminu "N er ....". Þetta gildir einmitt um 0 (hér er ég að tala um hlutinn 0, ekki tölustafinn "0"): ég get til dæmis sagt "0 er ekki sama tala og 1", og "0 er minni en 2". Því eru náttúrulegar tölur hlutir, það er sértækir hlutir, samkvæmt Frege.

Síðari tíma heimspekingar hafa sett fram aðrar kenningar um tölur en Frege, en þær taka flestar mið af kenningum hans og viðurkenna, að hann hafi hitt naglann á höfuðið, að minnsta kosti í grundvallaratriðum, varðandi eðli talna.

Ábendingar um lesefni:

Gottlob Frege, Undirstöður reikningslistarinnar (Lærdómsrit Bókmenntafélagsins, 1989).

Bertrand Russell, Introduction to Mathematical Philosophy (fyrsta útg. 1919).

P. Edwards, Encyclopedia of Philosophy (1967).

Fyrir þá sem enn frekari áhuga hafa má benda á Michael Dummett, Frege, Philosophy of Mathematics (Duckworth, 1991).

Mynd 1: Gottlob Frege

Mynd 2: HB

Höfundur

Erlendur Jónsson

prófessor í heimspeki við Háskóla Íslands

Útgáfudagur

9.11.2000

Spyrjandi

Garðar Valur

Efnisorð

Tilvísun

Erlendur Jónsson. „Er hægt að segja að talan 0 sé eining, öllu heldur sem eitthvað, jafnvel áþreifanlegt?“ Vísindavefurinn, 9. nóvember 2000. Sótt 20. apríl 2024. http://visindavefur.is/svar.php?id=1117.

Erlendur Jónsson. (2000, 9. nóvember). Er hægt að segja að talan 0 sé eining, öllu heldur sem eitthvað, jafnvel áþreifanlegt? Vísindavefurinn. Sótt af http://visindavefur.is/svar.php?id=1117

Erlendur Jónsson. „Er hægt að segja að talan 0 sé eining, öllu heldur sem eitthvað, jafnvel áþreifanlegt?“ Vísindavefurinn. 9. nóv. 2000. Vefsíða. 20. apr. 2024. <http://visindavefur.is/svar.php?id=1117>.

Chicago | APA | MLA

Þessi síða notar vafrakökur Nánari upplýsingar

Ég samþykki
Spyrja

Sendu inn spurningu LeiðbeiningarTil baka

Hér getur þú sent okkur nýjar spurningar um vísindaleg efni.

Hafðu spurninguna stutta og hnitmiðaða og sendu aðeins eina í einu. Einlægar og vandaðar spurningar um mikilvæg efni eru líklegastar til að kalla fram vönduð og greið svör. Ekki er víst að tími vinnist til að svara öllum spurningum.

Persónulegar upplýsingar um spyrjendur eru eingöngu notaðar í starfsemi vefsins, til dæmis til að svör verði við hæfi spyrjenda. Spurningum er ekki sinnt ef spyrjandi villir á sér heimildir eða segir ekki nægileg deili á sér.

Spurningum sem eru ekki á verksviði vefsins er eytt.

Að öðru leyti er hægt að spyrja Vísindavefinn um allt milli himins og jarðar!

=

Senda grein til vinar

=

Er hægt að segja að talan 0 sé eining, öllu heldur sem eitthvað, jafnvel áþreifanlegt?
Elstu menningarþjóðirnar, Forn-Egyptar, Majar, Kínverjar og Súmerar, virðast hafa haft hugtakið "núll", en sérstakt tákn var þó ekki notað fyrir það nema stundum til að gefa til kynna eyðu á milli annarra tölustafa. Fyrsta notkun á tölustafnum "0" (það er samsvarandi tákni) á sama hátt og hann er notaður í dag kemur sennilega fram hjá arabíska stærðfræðingnum Múhammeð ibn Músa al-Kúarismí (uppi um 780-850), en orðið "algóriþmi" er reyndar dregið af nafni hans. Þessi notkun á 0-tölustafnum og öðrum arabískum tölustöfum breiddist síðan um Evrópu á 10. öld.

Þetta var smá forspjall um notkun tölustafsins "0". En við megum ekki rugla tölustafnum saman við töluna sjálfa, sem spurt er um. Hvað eru tölur? Þetta er spurning sem ýmsir heimspekingar hafa glímt við, allt frá dögum Platons og Pýþagórasar. Pýþagóras (uppi um 532 fyrir Krist), sem varð fyrir áhrifum frá trúarbrögðum Forn-Egypta, taldi tölur liggja til grundvallar öllu í heiminum. Aristóteles segir um hann: „Pýþagóringar voru hinir fyrstu sem hugsuðu alvarlega um stærðfræði og þróuðu hana. Vegna þekkingar sinnar á þessum vísindum komust þeir á þá skoðun, að grundvöllur stærðfræðinnar sé líka grundvöllur alls sem er“. Tölurnar eru sem sagt heillandi viðfangsefni og samgrónar allri mannlegri hugsun.

Lengi vel voru þó engar heildstæðar kenningar settar fram um það hvað tölur eru. Það var ekki fyrr en á 19. öld, að þýski heimspekingurinn Gottlob Frege (1848-1925) setti fram þá kenningu, að tölur séu ekkert annað en mengi af ákveðnu tæi. Hann komst að þeirri niðurstöðu, að þegar við segjum til dæmis að Norðurlöndin séu fimm, þá erum við ekki að segja neitt um Norðurlöndin hvert fyrir sig, heldur um annan hlut, nefnilega mengi Norðurlandanna: við erum að segja að þetta mengi hafi ákveðinn fjölda staka. En hvaða fjölda staka? Auðvitað 5! En erum við þá ekki að nota töluhugtakið aftur?

Til að komast hjá þessum vanda notfærði Frege sér hugtakið “gagntæk vörpun" (á ensku one to one correspondence). Sagt er að til sé gagntæk vörpun á milli tveggja mengja, M og N, ef til sérhvers staks í M svarar nákvæmlega eitt stak í N, og þetta stak í N er ekki svörun neins annars staks í M, og öfugt. Þegar gagntæk vörpun er til á milli M og N er sagt að þau hafi jafnmörg stök eða hafi sömu fjöldatölu. Þannig er til gagntæk vörpun á milli mengis fingra vinstri handar og mengis fingra hægri handar, þar sem bæði hafa fimm stök, fjöldatöluna fimm (meira um gagntæka vörpun í þessu svari um fjölda jákvæðra og neikvæðra talna).

Ef við tökum nú öll mengi, sem hafa fimm stök, það er öll mengi sem unnt er að setja í gagntæka svörun t.d. við mengið {Ísland, Danmörk, Noregur, Svíþjóð, Finnland}, mynda þau eitt stórt mengi, nefnilega mengi allra þeirra mengja, sem eru í gagntækri svörun við framangreint mengi, það er mengi allra þeirra mengja sem hafa fimm stök. Þetta stóra mengi segir Frege vera töluna fimm, og hann skilgreindi allar náttúrulegar tölur, þ.e. 0, 1, 2, 3, 4,..., á hliðstæðan hátt sem mengi mengja. Skv. þessu er talan 0 mengi allra þeirra mengja, sem hafa ekkert stak. Reyndar er aðeins til eitt mengi, sem hefur ekkert stak, nefnilega tómamengið, sem er oft táknað með Ø, þannig að 0 er skilgreint sem mengið sem hefur tómamengið sem eina stakið, sem mengið {Ø}.

Nú eru mengi sértækir (abstrakt) hlutir, það er þau eru ekki áþreifanleg, eitthvað sem við getum séð eða skynjað í raunheiminum, heldur sköpuð af mannshuganum, hugtök sem við notum til að skipuleggja og skilja veruleikann, og því væri skv. kenningu Freges talan 0 ekki áþreifanleg. En þar með er ekki sagt að hún sé ekki "eitthvað", Frege var einmitt mjög í mun að sýna að tölur séu "hlutir". En hlutir geta að sjálfsögðu verið óefniskenndir, eitthvað getur auðvitað verið hlutur án þess að við getum þreifað á því.

Það sem átt er við með því að segja að eitthvað sé hlutur er einkum tvennt: a) unnt verður að vera að segja hvort það sé samt einhverju öðru eða ekki, og b) það verður að vera unnt að nota orð sem vísar til þess, til dæmis N, og segja eitthvað um hlutinn, það er setja fram fullyrðingar á forminu "N er ....". Þetta gildir einmitt um 0 (hér er ég að tala um hlutinn 0, ekki tölustafinn "0"): ég get til dæmis sagt "0 er ekki sama tala og 1", og "0 er minni en 2". Því eru náttúrulegar tölur hlutir, það er sértækir hlutir, samkvæmt Frege.

Síðari tíma heimspekingar hafa sett fram aðrar kenningar um tölur en Frege, en þær taka flestar mið af kenningum hans og viðurkenna, að hann hafi hitt naglann á höfuðið, að minnsta kosti í grundvallaratriðum, varðandi eðli talna.

Ábendingar um lesefni:

Gottlob Frege, Undirstöður reikningslistarinnar (Lærdómsrit Bókmenntafélagsins, 1989).

Bertrand Russell, Introduction to Mathematical Philosophy (fyrsta útg. 1919).

P. Edwards, Encyclopedia of Philosophy (1967).

Fyrir þá sem enn frekari áhuga hafa má benda á Michael Dummett, Frege, Philosophy of Mathematics (Duckworth, 1991).

Mynd 1: Gottlob Frege

Mynd 2: HB...