Senda inn spurningu
Sólin Sólin Rís 05:26 • sest 21:28 í Reykjavík
Tunglið Tunglið Rís 21:24 • Sest 05:22 í Reykjavík
Flóð Flóð Árdegis: 06:10 • Síðdegis: 18:30 í Reykjavík
Fjaran Fjara Árdegis: 00:11 • Síðdegis: 12:20 í Reykjavík
Visit the English version

Flokkun:

Náttúruvísindi og verkfræði Eðlisfræði: fræðileg

Væri hlutur látinn detta um holu sem næði gegnum jörðina, gæti hann komið upp hinum megin? Hvaða massa þyrfti hluturinn að hafa til þess?

Þorsteinn Vilhjálmsson og Ögmundur Jónsson

Svarið er já: Hlutur sem fellur án núnings niður í ímyndaða holu sem nær gegnum miðju jarðar og upp hinum megin kemur upp þar, snýr síðan við og heldur áfram í einfaldri hreinni sveiflu. Massi hlutarins skiptir ekki máli í þessu.

Fyrst skulum við hafa alveg á hreinu að með þeirri tækni sem við búum yfir núna er ekki unnt að bora gat í gegnum jörðina sem hægt væri að láta hluti detta í. Hins vegar getur engu að síður verið forvitnilegt að skoða hreyfinguna sem mundi koma fram. Það er til dæmis oft gert í kennslubókum í eðlisfræði á fyrsta ári í háskóla. Þá sjáum við að þetta er sams konar hreyfing og þegar við hengjum lóð í gorm og látum það sveiflast. Þess konar hreyfing nefnist einföld, hrein sveifla (EHS).

Þrjú skilyrði eru fyrir einfaldri, hreinni sveifluhreyfingu:
  1. Jafnvægisástand, sem hluturinn getur sveiflast um, verður að vera fyrir hendi.

  2. Engin orka má tapast úr kerfinu, til dæmis með núningi.

  3. Krafturinn eða hröðunin verður að vera í réttu hlutfalli við fjarlægðina frá jafnvægisstöðu og með gagnstæða stefnu.
Síðasta liðinn má líka orða þannig að kraftinn megi skrifa á forminu

\[F = -kx,\]

þar sem $F$ er krafturinn, $k$ er jákvæður fasti og $x$ er fjarlægð frá jafnvægisstöðu.

Nú þarf að sýna að þyngdarkrafturinn inni í jörðinni fullnægi þessum skilyrðum. Jafnvægisstaðan fæst í miðju jarðar þar sem jafnsterkur kraftur togar á hlutinn í allar áttir og heildarkrafturinn er því enginn. Við verðum að gera ráð fyrir að engin, eða hverfandi lítil, orka tapist. Þriðja skilyrðið þarf svolítið lengra mál.

Þyngdarkraftur er annars vegar í beinu hlutfalli við massann sem veldur honum og hins vegar í öfugu hlutfalli við fjarlægðina. Þegar við erum utan við samhverfa kúlu, það er að segja kúlu sem lítur eins út öllum megin frá, þá er þyngdarkrafturinn nákvæmlega eins og allur massi kúlunna væri saman kominn í miðju hennar. Ef við erum hins vegar inni í samhverfri kúluskel þá er heildarkrafturinn frá henni núll, hvort sem við erum nálægt miðjunni eða utarlega.

Við skoðum nú hlut sem staddur er inni í jörðinni í fjarlægðinni $r$ frá jarðarmiðju. Við hugsum okkur kúluskel $K$ með miðju í jarðarmiðju og geislann $r$, þannig að hluturinn situr á henni. Það sem sagt var hér á undan þýðir þá að hluturinn verður fyrir þyngdarkrafti frá massanum sem er inni í $K$ en ekki frá þeim massa í jörðinni sem er fyrir utan. Þyngdarkrafturinn frá massanum í $K$ er sem fyrr segir í hlutfalli við hann. Við gerum ráð fyrir að massi jarðar sé jafndreifður inni í henni. Þá er massinn í $K$ í hlutfalli við rúmmálið og þar með geislann í þriðja veldi. Krafturinn er auk þess í öfugu hlutfalli við geislann í öðru veldi. Þegar þetta er margfaldað saman kemur út að krafturinn er einmitt í beinu hlutfalli við geislann $r$ eins og hann þarf að vera til að einföld hrein sveifla komi fram.

Í þriðja lagi er þyngdarkrafturinn á hlutinn í hlutfalli við massa hans sjálfs en hröðunin, það er að segja hraðabreytingin sem ræður hreyfingunni, er í öfugu hlutfalli við þennan sama massa þannig að hann styttist út. Það er ástæðan til þess að massi hlutarins skiptir ekki máli í hreyfingunni.

Hér á eftir verður þetta sett fram með algebru handa þeim lesendum sem kunna að skilja þetta betur með þeirri aðferð.

Ef eðlismassi jarðarinnar er $\rho$ verður massinn inni í kúluskelinni $K$:

\[M(r) = \rho V = \rho \frac{4}{3}\pi^3\]

Samkvæmt þyngdarlögmálinu og því sem áður var sagt um kúlurnar er krafturinn

\[F = -GM(r)m/r^2\] \[= -(4/3)G\pi\rho r^3m/r^2 = -(4/3)G\pi\rho mr\] \[= -kr\]

Þetta leiðir síðan til einfaldrar hreinnar sveiflu eins og áður var sagt.

Heimild: Benson, Harris, University Physics

Höfundar

Þorsteinn Vilhjálmsson

Þorsteinn Vilhjálmsson

prófessor emeritus, ritstjóri Vísindavefsins 2000-2010 og ritstjóri Evrópuvefsins 2011

Ögmundur Jónsson

heimspekinemi við HÍ

Útgáfudagur

29.11.2000

Spyrjandi

Davíð G. Sverrisson

Efnisorð

Tilvísun

Þorsteinn Vilhjálmsson og Ögmundur Jónsson. „Væri hlutur látinn detta um holu sem næði gegnum jörðina, gæti hann komið upp hinum megin? Hvaða massa þyrfti hluturinn að hafa til þess?“ Vísindavefurinn, 29. nóvember 2000. Sótt 23. apríl 2024. http://visindavefur.is/svar.php?id=1198.

Þorsteinn Vilhjálmsson og Ögmundur Jónsson. (2000, 29. nóvember). Væri hlutur látinn detta um holu sem næði gegnum jörðina, gæti hann komið upp hinum megin? Hvaða massa þyrfti hluturinn að hafa til þess? Vísindavefurinn. Sótt af http://visindavefur.is/svar.php?id=1198

Þorsteinn Vilhjálmsson og Ögmundur Jónsson. „Væri hlutur látinn detta um holu sem næði gegnum jörðina, gæti hann komið upp hinum megin? Hvaða massa þyrfti hluturinn að hafa til þess?“ Vísindavefurinn. 29. nóv. 2000. Vefsíða. 23. apr. 2024. <http://visindavefur.is/svar.php?id=1198>.

Chicago | APA | MLA

Þessi síða notar vafrakökur Nánari upplýsingar

Ég samþykki
Spyrja

Sendu inn spurningu LeiðbeiningarTil baka

Hér getur þú sent okkur nýjar spurningar um vísindaleg efni.

Hafðu spurninguna stutta og hnitmiðaða og sendu aðeins eina í einu. Einlægar og vandaðar spurningar um mikilvæg efni eru líklegastar til að kalla fram vönduð og greið svör. Ekki er víst að tími vinnist til að svara öllum spurningum.

Persónulegar upplýsingar um spyrjendur eru eingöngu notaðar í starfsemi vefsins, til dæmis til að svör verði við hæfi spyrjenda. Spurningum er ekki sinnt ef spyrjandi villir á sér heimildir eða segir ekki nægileg deili á sér.

Spurningum sem eru ekki á verksviði vefsins er eytt.

Að öðru leyti er hægt að spyrja Vísindavefinn um allt milli himins og jarðar!

=

Senda grein til vinar

=

Væri hlutur látinn detta um holu sem næði gegnum jörðina, gæti hann komið upp hinum megin? Hvaða massa þyrfti hluturinn að hafa til þess?
Svarið er já: Hlutur sem fellur án núnings niður í ímyndaða holu sem nær gegnum miðju jarðar og upp hinum megin kemur upp þar, snýr síðan við og heldur áfram í einfaldri hreinni sveiflu. Massi hlutarins skiptir ekki máli í þessu.

Fyrst skulum við hafa alveg á hreinu að með þeirri tækni sem við búum yfir núna er ekki unnt að bora gat í gegnum jörðina sem hægt væri að láta hluti detta í. Hins vegar getur engu að síður verið forvitnilegt að skoða hreyfinguna sem mundi koma fram. Það er til dæmis oft gert í kennslubókum í eðlisfræði á fyrsta ári í háskóla. Þá sjáum við að þetta er sams konar hreyfing og þegar við hengjum lóð í gorm og látum það sveiflast. Þess konar hreyfing nefnist einföld, hrein sveifla (EHS).

Þrjú skilyrði eru fyrir einfaldri, hreinni sveifluhreyfingu:
  1. Jafnvægisástand, sem hluturinn getur sveiflast um, verður að vera fyrir hendi.

  2. Engin orka má tapast úr kerfinu, til dæmis með núningi.

  3. Krafturinn eða hröðunin verður að vera í réttu hlutfalli við fjarlægðina frá jafnvægisstöðu og með gagnstæða stefnu.
Síðasta liðinn má líka orða þannig að kraftinn megi skrifa á forminu

\[F = -kx,\]

þar sem $F$ er krafturinn, $k$ er jákvæður fasti og $x$ er fjarlægð frá jafnvægisstöðu.

Nú þarf að sýna að þyngdarkrafturinn inni í jörðinni fullnægi þessum skilyrðum. Jafnvægisstaðan fæst í miðju jarðar þar sem jafnsterkur kraftur togar á hlutinn í allar áttir og heildarkrafturinn er því enginn. Við verðum að gera ráð fyrir að engin, eða hverfandi lítil, orka tapist. Þriðja skilyrðið þarf svolítið lengra mál.

Þyngdarkraftur er annars vegar í beinu hlutfalli við massann sem veldur honum og hins vegar í öfugu hlutfalli við fjarlægðina. Þegar við erum utan við samhverfa kúlu, það er að segja kúlu sem lítur eins út öllum megin frá, þá er þyngdarkrafturinn nákvæmlega eins og allur massi kúlunna væri saman kominn í miðju hennar. Ef við erum hins vegar inni í samhverfri kúluskel þá er heildarkrafturinn frá henni núll, hvort sem við erum nálægt miðjunni eða utarlega.

Við skoðum nú hlut sem staddur er inni í jörðinni í fjarlægðinni $r$ frá jarðarmiðju. Við hugsum okkur kúluskel $K$ með miðju í jarðarmiðju og geislann $r$, þannig að hluturinn situr á henni. Það sem sagt var hér á undan þýðir þá að hluturinn verður fyrir þyngdarkrafti frá massanum sem er inni í $K$ en ekki frá þeim massa í jörðinni sem er fyrir utan. Þyngdarkrafturinn frá massanum í $K$ er sem fyrr segir í hlutfalli við hann. Við gerum ráð fyrir að massi jarðar sé jafndreifður inni í henni. Þá er massinn í $K$ í hlutfalli við rúmmálið og þar með geislann í þriðja veldi. Krafturinn er auk þess í öfugu hlutfalli við geislann í öðru veldi. Þegar þetta er margfaldað saman kemur út að krafturinn er einmitt í beinu hlutfalli við geislann $r$ eins og hann þarf að vera til að einföld hrein sveifla komi fram.

Í þriðja lagi er þyngdarkrafturinn á hlutinn í hlutfalli við massa hans sjálfs en hröðunin, það er að segja hraðabreytingin sem ræður hreyfingunni, er í öfugu hlutfalli við þennan sama massa þannig að hann styttist út. Það er ástæðan til þess að massi hlutarins skiptir ekki máli í hreyfingunni.

Hér á eftir verður þetta sett fram með algebru handa þeim lesendum sem kunna að skilja þetta betur með þeirri aðferð.

Ef eðlismassi jarðarinnar er $\rho$ verður massinn inni í kúluskelinni $K$:

\[M(r) = \rho V = \rho \frac{4}{3}\pi^3\]

Samkvæmt þyngdarlögmálinu og því sem áður var sagt um kúlurnar er krafturinn

\[F = -GM(r)m/r^2\] \[= -(4/3)G\pi\rho r^3m/r^2 = -(4/3)G\pi\rho mr\] \[= -kr\]

Þetta leiðir síðan til einfaldrar hreinnar sveiflu eins og áður var sagt.

Heimild: Benson, Harris, University Physics

...