Sendu inn spurningu

Hér getur þú sent okkur nýjar spurningar um vísindaleg efni.

Hafðu spurninguna stutta og hnitmiðaða og sendu aðeins eina í einu. Einlægar og vandaðar spurningar um mikilvæg efni eru líklegastar til að kalla fram vönduð og greið svör. Ekki er víst að tími vinnist til að svara öllum spurningum.

Persónulegar upplýsingar um spyrjendur eru eingöngu notaðar í starfsemi vefsins, til dæmis til að svör verði við hæfi spyrjenda. Spurningum er ekki sinnt ef spyrjandi villir á sér heimildir eða segir ekki nægileg deili á sér.

Spurningum sem eru ekki á verksviði vefsins er eytt.

Að öðru leyti er hægt að spyrja Vísindavefinn um allt milli himins og jarðar!

=

A: Setning B er lygi. B: Setning A er sönn. Getur þetta nokkurn tímann gengið upp?

Flestir heimspekingar eru sammála um að þetta geti ekki gengið upp ef það að ganga upp þýðir að báðar setningar hafi ákveðið sanngildi, það er að hvor setning um sig sé annað hvort sönn eða ósönn. En skiptir svona lagað einhverju máli? Er það eitthvert vandamál að setningar eins og
(A) Setning B er lygi

(B) Setning A er sönn
geti ekki haft ákveðið sanngildi? Hér er á ferðinni útgáfa af ævafornri þverstæðu sem kölluð hefur verið þverstæða lygarans og þótt hún skipti litlu máli í daglegu amstri okkar hefur hún verið afdrifarík bæði í heimspeki og stærðfræði.

Vandamálið

Þverstæða lygarans, í sinni einföldustu mynd, er svona:
(S1) Setningin S1 er ósönn.
S1 er einföld fullyrðing; hún segir um tiltekna setningu að hún sé ósönn, og þetta er raunar ósköp hversdagsleg fullyrðing. Við segjum oft að það sem aðrir segja sé ósatt. En er S1 sönn eða ósönn? Ef S1 er sönn, þá hlýtur það sem hún segir að vera satt, en setningin segir einmitt að S1 sé ósönn svo S1 getur ekki verið sönn. En getur hún verið ósönn? Ef hún er ósönn þá hýtur það sem hún segir að vera ósatt, með öðrum orðum það hlýtur að vera ósatt að S1 sé ósönn. En þá getur hún ekki verið ósönn. Hér virðumst við hafa gildar röksemdafærslur fyrir því að S1 sé hvorki sönn né ósönn.

Sagan

Samkvæmt Diogenesi Laertiusi, sem var sagnfræðingur á þriðju öld eftir Krist, er Evbúlídes frá Míletos höfundur þverstæðu lygarans. Evbúlídes var samtímamaður Aristótelesar, en þó fjallaði Aristóteles einungis stuttlega um þessa þverstæðu. Sömu sögu er hins vegar hvorki að segja um einn nemanda Aristótelesar, Þeófrastos sem skrifaði þrjár pappírsrullur um hana né stóuspekinginn Krysippos sem gerði enn betur og skrifaði sex rullur um þverstæðuna. En allt er þetta nú glatað.

Þversögnin er sögð hafa valdið mörgum manninum óbærilegum þjáningum og jafn vel dregið rökfræðinginn Fíletos frá Kos til dauða fyrir aldur fram, en á legstein hans var ritað:
Förumaður, ég er Fíletos frá Kos,

Það var Lygarinn sem olli dauða mínum

og hörmungunum sem hlutust þar af.
Í aldanna rás hafa menn þó ekki alltaf tekið þversögn lygarans jafn alvarlega og Fíletos frá Kos. Miðaldarökfræðingurinn Jón Búrídan notaði hugmynd í ætt við þversögn lygarans til að sanna tilvist Guðs á léttan og skemmtilegan hátt. Hann skrifaði niður tvær setningar eins og þessar:
Guð er til.

Hvorug þessara setninga er sönn.
Sé gert ráð fyrir að setningarnar verði að vera annað hvort sannar eða ósannar verður fyrri setningin að vera sönn og sú síðari ósönn. Og ef fyrri setningin er sönn þá hlýtur Guð að vera til.

„Lausnir” á þverstæðunni

En hugum nú að seinni tíma tilraunum til að leysa þessa þverstæðu. Einfaldasta lausnin, ef lausn skyldi kalla, er að segja að það sé ekkert við það að athuga að fullyrðing sé hvorki sönn né ósönn. Tökum dæmi: Setjum sem svo að ég rekist á mann sem er illa þefjandi. Ég gleymi allri kurteisi um sinn og segi við hann: „Þú ert hættur að baða þig”. En hvað ef maðurinn hefur aldrei nokkurn tímann farið í bað? Þá er tæpast satt að hann hafi hætt að baða sig, og það er ekki ósatt heldur. Það eru reyndar deildar meiningar um það hvernig fara eigi með fullyrðingar eins og þessa, en við þurfum ekki að fara út í þá sálma hér. Ef fullyrðing er ekki sönn og ekki ósönn heldur, þá er hún að minnsta kosti ekki sönn. Og það er allt sem þarf til að úr verði þversögn.
(S2) Setningin S2 er ekki sönn.
Með svipaðri röksemdafærslu og að ofan getum við nú fært að því rök að S2ekki sönn og líka ekki ekki sönn.

Annað viðbragð við þverstæðunni er að skella skuldinni á nafnið „S2”. Kannski er eitthvað bogið við að nafn setningar sé hluti af setningunni sjálfri? En það dugir skammt, því jafnvel þótt við féllumst á það sitjum við upp með setningar eins og (A) og (B):
(A) Setning B er lygi.

(B) Setning A er sönn.
Við getum jafnvel sleppt nöfnunum „A” og „B” og notað lýsingar í staðinn:
Næsta setning hér á eftir er ósönn.

Næsta setning hér á undan er sönn.
Og hvað er nú til ráða? Segja má að það hafi ekki verið fyrr en með nútímarökfræði og verkum pólska stærðfræðingsins og heimspekingsins Alfreds Tarski á fjórða áratugnum að skilningur manna á þversstæðu lygarans tók einhverjum framförum. Tarski sýnid fram á hvernig leysa má vandann fyrir formleg mál eins og mál stærðfræðinnar. Hann hélt því hins vegar fram að sú lausn dygði ekki þegar kæmi að venjulegum tungumálum eins og íslensku.

Tarski byrjar á að skilgreina tvö tungumál, viðfangsmál og framsetningarmál. Viðfangsmálið gæti til dæmis verið svipað íslensku nema hvað umsögnin sönn eða sannur er ekki hluti af orðaforða þess. Framsetningarmálið gæti svo verið svipað viðfangsmálinu nema hvað að í framsetningarmálinu getur maður sagt hvenær setningar í viðfangsmálinu eru sannar eða ósannar. Hins vegar getur maður ekki sagt, í framsetningarmálinu, hvenær setningar í framsetningarmálinu sjálfu eru sannar eða ósannar. Til að segja hvenær setningar í framsetningarmálinu eru sannar eða ósannar þyrfti að skilgreina nýtt mál, og þannig koll af kolli. Ástæða þess að þessi lausn gengur ekki þegar kemur að máli eins og íslensku er að við viljum geta sagt á íslensku hvenær setningar í íslensku eru sannar eða ósannar.

Á áttunda áratugnum komu fram nýjar hugmyndir um hvernig mætti leysa þverstæðu lygarans. Mest áhrif hafði grein eftir bandaríska heimspekinginn Saul Kripke, sem byggðist að verulegu leyti á verkum Tarskis eins og aðrar lausnir á vandanum frá síðari tímum. Hugmynd Kripkes var að skilgreining umsagnarinnar sönn væri opin á þann hátt að sumar setningar féllu örugglega undir umsögnina, til dæmis setningin „snjór er hvítur” aðrar setningar féllu örugglega ekki undir umsögnina, til dæmis setningin „snjór er grænn” en svo væru til setningar sem við gætum kallað ógrundaðar setningar, til dæmis setningarnar „þessi setning er ósönn” og „þessi setning er sönn” sem væru hvorki ákveðið sannar né ákveðið ósannar.

Hugmynd Kripkes var í raun einföld. Hann hugsaði sér að dæmigerðar fullyrðingar séu setningar eins og „snjór er hvítur”, en slíkar setningar fjalla um veruleika sem ekki er bundinn tungumálinu sjálfu. Nú má hugsa sér tungumál svipað viðfangsmálinu í verkum Tarskis sem ekki hefur sannleiksumsögn. Síðan er sannleiksumsögn innleidd inn í viðfangsmálið á eftirfarandi máta. Við tökum setningarnar í viðfangsmálinu, eina af annarri, og setjum þær sem eru sannar inn í umtak umsagnarinnar sönn, og þær sem eru ósannar inn í umtak umsagnarinnar ósönn. Þetta þýðir einfaldlega að við flokkum setningarnar eftir því hvort þær eru sannar, ósannar eða ef til vill hvorugt.

Í fyrstu umferð fara setningar eins og „ „snjór er hvítur” er sönn” og „þessi setning er ósönn” á hvorugan staðinn vegna þess að við getum ekki sagt til um hvort þær eru sannar eða ósannar (við höfum þá ekki framkvæmt flokkunina sem lýst var hér á undan). Í annarri umferð flokkast fyrri setningin hins vegar sem sönn vegna þess að í fyrstu umferð flokkast setningin „snjór er hvítur” sem sönn. En hvað setninguna „þessi setning er ósönn” varðar þá skiptir ekki máli hversu margar umferðir við förum, við getum aldrei flokkað hana sem annað hvort sanna eða ósanna. Þessi setning er ógrunduð og þar með hefur hún óákveðið sanngildi.

Aðferð Kripkes vakti strax mikla athygli en það er þó á henni einn stór galli, nefnilega sá að setning sem er ógrunduð og hefur þar með óákveðið sanngildi er ekki sönn. Og þótt lausnin dugir vel í tilviki
(S1) Setningin S1 er ósönn,
vegna þess að ógrunduð setning þarf hvorki að vera sönn né ósönn þá dugir hún skammt þegar kemur að setningunni:
(S2) Setningin S2 er ekki sönn.
Erum við þá aftur komin á byrjunarreit? Ef til vill má segja að lítill árangur hafi náðst í glímunni við þverstæðu lygarans, en á hinn bógin hefur þessi illræmda þverstæða verið hvatinn að gífurlegum framförum í rökfræði á síðustu áratugum. Það má því kannski segja að í glímunni við þverstæðu lygarans hafi mikill árangur náðst, árangurin hafi bara ekki verið sá sem stefnt var að. Við höfum orðið margs vísari af þessari glímu þó að við fáum ekki það svar sem við héldum ef til vill í upphafi að við gætum fengið.

Heimildir

Alfred Tarski, „Merkingarfræðilega hugmyndin um sannleikann og undirstöður merkingarfræðinnar", Heimspeki á tuttugustu öld Einar Logi Vignisson og Ólafur Páll Jónsson ritstj., Reykjavík 1994.



Mynd af Tarski: Polish Philosophy Page

Mynd af Kripke: Consciencia

Útgáfudagur

9.9.2001

Spyrjandi

Guðmundur Viðarsson

Höfundur

Ólafur Páll Jónsson

prófessor í heimspeki við HÍ

Tilvísun

Ólafur Páll Jónsson. „A: Setning B er lygi. B: Setning A er sönn. Getur þetta nokkurn tímann gengið upp?“ Vísindavefurinn, 9. september 2001. Sótt 18. október 2018. http://visindavefur.is/svar.php?id=1865.

Ólafur Páll Jónsson. (2001, 9. september). A: Setning B er lygi. B: Setning A er sönn. Getur þetta nokkurn tímann gengið upp? Vísindavefurinn. Sótt af http://visindavefur.is/svar.php?id=1865

Ólafur Páll Jónsson. „A: Setning B er lygi. B: Setning A er sönn. Getur þetta nokkurn tímann gengið upp?“ Vísindavefurinn. 9. sep. 2001. Vefsíða. 18. okt. 2018. <http://visindavefur.is/svar.php?id=1865>.

Chicago | APA | MLA

Sendu inn spurningu
eða

Vísindadagatalið

Stefán Sigurðsson

1972

Stefán Sigurðsson er dósent í lífefna- og sameindalíffræði við Læknadeild HÍ og forstöðumaður Rannsóknastofu í Krabbameinsfræðum. Stefán hefur mestan hluta starfsferils síns stundað grunnrannsóknir á krabbameinum.