Hvers vegna er rökfræðin svona flókin og hver er tilgangurinn með henni?

Rökfræði fjallar um það hvenær eina setningu, sem við köllum niðurstöðu, leiðir af öðrum setningum, sem við köllum þá forsendur. Og ástæðan fyrir því að rökfræði getur verið flókin er í sem stystu máli sú að það getur verið flókið mál hvenær niðurstöðu leiðir af gefnum forsendum.

Tilgangurinn með rökfræði er í raun margþættur. Stundum notum við rökfræði til að meta röksemdafærslur í daglegu lífi, til dæmis þegar upp koma deilumál en þá er gjarnan spurt hver séu rökin með og á móti deiluefninu. En rökfræði er einnig notuð í fræðilegum og oft mjög tæknilegum tilgangi, til dæmis þegar segja þarf til um hvort stærðfræðileg fullyrðing telst sönnuð eða ekki. En svo er líka almennt gagnlegt að geta hugsað rökrétt burtséð frá því hvað maður er að hugsa um.

Upphaf rökfræðinnar má rekja til nokkurra verka Aristótelesar en saman mynda þau heild sem kölluð er á erlendum málum Organon, sem útleggst Verkfæri, því rökfræði var ekki talin til eiginlegra viðfangsefna heimspekinnar heldur litið á hana sem einskonar verkfæri sem væri gagnlegt fyrir margvísleg önnur viðfangsefni. Undir lok 19. aldar varð svo bylting í rökfræði með útkomu bókarinnar Hugtakaskrift (Begriffschrift) eftir þýska heimspekinginn og stærðfræðinginn Gottlob Frege. Útkoma þessarar bókar er talin marka upphaf nútímarökfræði og raunar þeirrar tegundar heimspeki sem kölluð hefur verið "rökgreiningarheimspeki" og má heita allsráðandi á Bretlandi og í Norður-Ameríku.

Aristóteles og upphaf formlegrar rökfræði

Formleg rökfræði Aristótelesar fjallar um tengsl setninga eða fullyrðinga. Það sem fyrir honum vakti var að gera grein fyrir því hvenær eina fullyrðingu leiði af öðrum. Tökum sem dæmi fullyrðingarnar:

Allir kettir eru spendýr
Öll spendýr eru dýr

Af þessum tveimur fullyrðingum leiðir fullyrðinguna

Allir kettir eru dýr

Við köllum fyrri tvær fullyrðingarnar forsendur en þá þriðju niðurstöðu. Saman mynda forsendurnar og niðurstaðan rökhendu. Í rökhendunni að ofan er næsta augljóst að niðurstöðuna leiðir af forsendunum, með öðrum orðum að rökhendan er augljóslega gild. En hvað um þessa rökhendu:

Allir kettir eru húsgögn
Öll húsgögn eru sófar
^{_________________________________}
Allir kettir eru sófar

Í þessari rökhendu eru forsendurnar ósannar og niðurstaðan raunar líka, en engu að síður leiðir niðurstöðuna af forsendunum.

Munurinn á þessum tveimur rökhendum er sá að í þeirri fyrri eru forsendurnar sannar og rökhendan gild. Þá segjum við að rökhendan sé rétt. Í þeirri seinni eru forsendurnar og niðurstaðan ósannar og því er rökhendan ekki rétt þó svo að hún sé gild. Það sem vakti fyrir Aristótelesi með því að setja fram formlega rökfræði var að gera almenna grein fyrir því hvenær rökhenda er gild algerlega óháð því hvað forsendurnar og niðurstaðan segja. Rökfræði Aristótelesar er því tilraun til að gera grein fyrir gildum rökhendum en ekki endilega réttum.

Þær fullyrðingar sem Aristóteles tók fyrir eru allar á forminu frumlag-umsögn, til dæmis "Allir menn eru dauðlegir". Hér er "menn" frumlagið en umsögnin er "eru dauðlegir". Fullyrðingarnar eru líka annað hvort jákvæðar eða neikvæðar og annað hvort alhæfandi ("Allir ..." eða "Enginn ...") eða sumhæfandi sem kallað er ("Sumir ..."). Aristóteles fjallaði því um fjórar gerðir fullyrðinga:

Allir menn eru dauðlegir. (Alhæfandi jákvæð)
Enginn maður er dauðlegur. (Alhæfandi neikvæð)
Sumir menn eru dauðlegir. (Sumhæfandi jákvæð)
Sumir menn eru ekki dauðlegir. (Sumhæfandi neikvæð)

Hugum nú að því hvernig Aristóteles fór að því að gera skipulega grein fyrir gildum rökhendum. Rökhendur Aristótelesar hafa tvær forsendur og eina niðurstöðu, en auk þess hafa forsendurnar sameiginlegan lið, miðlið eins og hann kallaði það. Í fyrri rökhendunni að ofan er miðliðurinn "spendýr" en í seinni rökhendunni er hann "húsgögn". Ef við táknum miðliðinn með "M" og hina tvo liðina í rökhendunni ("kettir? og "spendýr? í þeirri fyrri og "kettir" og "sófar" í þeirri síðari) með "A" og "B", þá getum við fellt allar rökhendur í þrjú snið:

I	II	III
A M	M A	A M
M B	M B	B M
^_______	^_______	^_______
A B	A B	A B

Eins og áður sagði þá geta forsendurnar verið með fernu móti, jákvæðar eða neikvæðar, alhæfandi eða sumhæfandi. Í hverju sniði er því kostur á sextán forsendupörum, og þar sem niðurstaðan getur líka verið með fernu móti eru mögulegar rökhendur sem falla undir snið I því samtals 64. Við segjum að rökhendurnar sem falla undir snið I hafi 64 hætti. Og þar sem sniðin eru þrjú þurfti Aristóteles að huga að samtals 192 háttum.

En þar með er ekki öll sagan sögð. Ýmsar röksemdafærslur sem virðast við fyrstu sýn ekki falla að neinum þessara hátta má stundum þýða yfir á samleiðuform Aristótelesar. Tökum sem dæmi eftirfarandi röksemdafærslu. Við gefum okkur forsenduna "Allir menn elska einhvern" og gefum okkur líka að nafnið 'Guðmundur' sé nafn á einhverjum manni. Þar með virðist ljóst að við getum með gildum hætti ályktað "Guðmundur elskar einhvern". Og þessi ályktun fellur ekki augljóslega að kerfi Aristótelesar. En þessa röksemdafærslu getum við reyndar þýtt yfir á samleiðuform Aristótelsar á eftirfarandi hátt.

Guðmundur er maður
Allir menn elska einhvern
^{_________________________________}
Guðmundur elskar einhvern

Ef við látum M=maður, A=Guðmundur, og B=elskar einhvern, þá sjáum við að við getum sett röksemdafærsluna upp í eftirfarandi rökhendu.

Allir A eru M
Allir M eru B
^{____________________}
Allir A eru B

Nú sjáum við að rökhendan er af sniði I.

Verkefnið sem Aristóteles hafði sett sér leysti hann með aðdáunarverðri snilld, raunar svo mikilli snilld að árið 1787, eða um 2000 árum eftir daga Aristótelesar, sagði þýski heimspekingurinn Immanuel Kant þessi orð þegar hann var að leita að traustri leið fyrir heimspekina:

Að rökfræðin hafi þegar, frá fyrstu tíð, fundið þessa traustu leið er ljóst af þeirri staðreynd að eftir Aristóteles hefur ekki þurft að endurskoða eitt einasta skref ...

Sjálfur var Aristóteles afskaplega hógvær þegar kom að því að leggja dóm á verkið. Á einum stað lætur hann eftirfarandi orð falla um rökfræðina:

Ef ykkur sýnist þessi grein vera í nokkuð góðu ásigkomulagi (miðað við upphaflegar aðstæður) samanborið við aðrar greinar sem hafa þróast um kynslóðir, þá ættuð þið sem hafið hlustað á fyrirlestrana að afsaka yfirsjónir mínar - og vera hjartanlega þakklát fyrir það sem hefur áunnist. (Peri sofistikon elenkhon 183b34)

Gottlob Frege og nútímarökfræði

Undir lok 19. aldarinnar setti þýski stærðfræðingurinn og rökfræðingurinn Gottlob Frege fram nýjar hugmyndir um rökfræði. Það er tvennt í hugmyndum Freges sem ekki á sér samsvörun í kerfi Aristótelesar. Annað er hugmyndin um breytu (e. variable) og það sem ég mun kalla skammtara (e. quantifier) en einnig hefur verið talað um magnara, feldi eða kvantara á íslensku. Hitt atriðið er hugmyndin um sönnun sem byggð er á tilteknum afleiðslureglum.

Til að skilja hvernig skammtarar og breytur verka er rétt að líta á einfalt dæmi. Setningin "Einhver elskar einhvern" er ofur hversdagsleg setning. Við getum þýtt hana yfir á mál rökfræðinnar á eftirfarandi hátt:

(Að minnsta kosti eitt x) (Að minnsta kosti eitt y) (x elskar y).

Hér er '(Að minnsta kosti eitt x)' og '(Að minnsta kosti eitt y)' skammtarar og 'x' og 'y' eru breytur.

En hvað vinnst með því að innleiða skammtara, breytur og ályktunarreglur? Það er kannski fyrst og fremst tvennt sem vinnst. Í fyrra lagi þá er hægt að forðast allskyns margræðni með því að nota mál rökfræðinnar frekar en hversdagsmál, en í seinna lagi þá verða ályktanir frjálslegri. Til að skýra fyrra atriðið getum við aftur tekið sem dæmi setninguna: "Allir elska einhvern". Þessi setning er tvíræð í íslensku en þegar við þýðum hana yfir á mál rökfræðinnar verðum við að gera upp við okkur hvort setninguna skuli skilja á þennan veg:

(Öll x)(Að minnsta kosti eitt y)(x elskar y)

þar sem sá sem er elskaður þarf ekki að vera sami maðurinn í öllum tilvikum, eða hvort hana skuli skilja þannig að það sé að minnsta kosti ein manneskja sem sé elskuð af öllum:

(Að minnsta kosti eitt y)(Öll x)(x elskar y)

En skoðum þá dæmi um hvernig ályktanir ganga fyrir sig í nútímarökfræði. Hugsum okkur efnafræðing sem þarf að greina ótal sýni sem eru annað hvort kopar eða gull. Hann leggur niður fyrir sér þessa reglu þar sem 'K' stendur fyrir 'kopar' en 'G' fyrir 'gull'

(Allir x)(x er K eða x er G)

Hann tekur síðan tiltekið sýni sem hann kallar 'a' en í krafti almennu reglunnar getur hann nú fullyrt:

a er K eða a er G

Segjum nú að efnafræðingurinn okkar athugi hvort efnið sé kopar en að niðurstaðan sé neikvæð. Þar með getur hann ályktað

ekki (a er K)

Og þar með getur hann ályktað að sýnið er í raun gull, það er, hann ályktar

a er G

Allar þessar ályktanir eru næsta augljóslega rökfræðilega gildar, en hvers vegna? Fyrsta ályktunin fellur undir ályktunarreglu með eftirfarandi sniði þar sem 'a' er eitthvert nafn og 'F' er einhver umsögn:

(Öll x)(x er F)
^{_______________________}
a er F

Hinar ályktanirnar falla undir aðrar ályktunarreglur en hér verður ekki farið nánar út í þær.

Í nútíma rökfræði þurfa forsendurnar ekki endilega að vera tvær eins og hjá Aristótelesi, heldur geta þær verið eins margar og verkast vill. Ályktun getur jafnvel verið gild þó að í henni sé engin forsenda, svo fremi að niðurstaðan sé klifun það er setning sem er nauðsynlega sönn. Forsendurnar þurfa heldur ekki að vera aðrar en niðurstaðan. Látum 'P' og 'Q' vera einhverjar fullyrðingar. Þá eru eftirfarandi röksemdafærslur gildar svo dæmi sé tekið:

^________

^{_____________}

Q eða ekki Q

En nú vaknar spurningin: Hvernig má fella allar svona ályktanir inn í formlegt kerfi? Nútímarökfræði er að ýmsu leyti ekki jafn kerfisbundin og kerfi Aristótelesar, enda fæst hún við mun fjölskrúðugra safn fullyrðinga. Í kerfi Aristótelesar var einungis fjallað um fullyrðingar sem voru af gerðinni frumlag-umsögn, en viðfangsefni nútímarökfræði er í raun hvaða fullyrðing sem er. Til að gera grein fyrir því hvenær niðurstöðu leiði af forsendum höfum við ályktunarreglur eins og þá sem ég minntist á að ofan en líka sannföll.

Algengustu sannföllin eru "ekki", "og", "eða", "ef ... þá" og "ef og aðeins ef". Þessar tengingar eru kallaðar sannföll vegna þess að ef við vitum sanngildi einhverra tveggja setninga, "A" og "B", þá vitum við líka sanngildi setningarinnar sem fæst með því að tengja "A" og "B" saman með þessum tengingum. Sanngildi samsettu setningarinnar er fall af sanngildi "A" og "B".

Ályktunarreglurnar segja til um hvenær leiða megi eina setningu af annarri. Til dæmis höfum við regluna :

a er F
^{_____________________________}
(Að minnsta kosti eitt x)(x er F)

þar sem "a" er eitthvert nafn en "F" getur verið hvaða umsögn sem er. Reglurnar eru fleiri en það er rétt að vísa lesandanum á rökfræðibækur ef hann vill kynna sér þær nánar.

Með hinni nýju rökfræði varð ekki einungis breyting á rökfræðinni sem slíkri, heldur breyttist hlutverk rökfræðinnar einnig. Nú var hún ekki lengur fyrst og fremst tæki til að auðvelda mönnum glímuna við önnur vandamál, rökfræðin varð að sjálfstæðri fræðigrein, hún lagði nýjan grunn að málspeki og merkingarfræði en einnig varð hún órjúfanlegur hluti af frumspeki, þeirri gömlu grein sem Platon og Aristóteles gerðu að hornsteini fræðilegrar heimspeki.

Heimildir og frekara lesefni

Erlendur Jónsson, Frumhugtök rökfræðinnar.

Peter Geach og Þorsteinn Gylfason, Þrætubókarkorn, Heimspekistofnun 1990.

Aristóteles, Frumspekin I, Hið íslenzka bókmenntafélag, 1999.

W.V. Quine, "Um það sem er", Hemspeki á tuttugustu öld Einar Logi Vignisson og Ólafur Páll Jónsson ritstj., Heimskringla 1994.

Mynd af Frege: University of St Andrews - School of Mathematical and Computational Sciences

Mynd af Aristótelesi og Aþenuskólanum: University of St Andrews - School of Mathematical and Computational Sciences