Senda inn spurningu
Sólin Sólin Rís 05:51 • sest 21:06 í Reykjavík
Tunglið Tunglið Rís 09:47 • Sest 06:52 í Reykjavík
Flóð Flóð Árdegis: 00:02 • Síðdegis: 12:48 í Reykjavík
Fjaran Fjara Árdegis: 06:36 • Síðdegis: 18:53 í Reykjavík
Visit the English version

Flokkun:

Náttúruvísindi og verkfræði Stærðfræði

Maður kastar bolta í stöng. Ef 10% líkur eru á að maðurinn hitti í einu kasti, hverjar eru þá líkurnar á því að hann hitti að minnsta kosti einu sinni í 10 köstum?

Gunnar Þór Magnússon

Hér er einnig svarað spurningunum:

Hverjar eru líkurnar á því að ég fái sexu ef ég kasta sex teningum?

og

Kastað er þrem teningum og maður fær að velja eina tölu. Hverjar eru líkurnar á að talan manns komi upp?

Allar þessar spurningar eiga það sameiginlegt að við endurtökum einhverja tilraun í ákveðinn fjölda skipta, og að það eru einhverjar fastar líkur á að tilraunin heppnist. Í fyrstu spurningunni er tilraunin sú að kasta bolta í stöng, og líkurnar á að hitta eru 10%, eða 1/10 = 0,1. Í hinum tveim spurningunum er tilraunin sú að kasta teningi, og líkurnar á að fá tiltekna tölu eru 1/6 ef við gefum okkur að allar útkomur séu jafn líklegar. Athugið að það skiptir ekki máli hvort við köstum þrem teningum einu sinni eða einum teningi þrem sinnum, því útkoman á einum tening hefur ekki áhrif á útkomu hinna tveggja.



Teningar

Í stærðfræði reynum við að finna almennar reglur og alhæfa spurningar svo að við þurfum ekki alltaf að reikna sömu hlutina aftur. Þannig fáum við til dæmis formúlurnar fyrir flatarmáli hrings eða Pýþagorasarregluna. Hér skiptir tvennt máli; fjöldi tilrauna og líkurnar á að tilraun takist. Til að geta talað um þetta tvennt skulum við gefa þessu nöfn: Fjölda tilrauna skulum við kalla n, og líkurnar á að tilraun takist skulum við kalla p, sem er þá tala á lokaða bilinu frá 0 upp í 1. Þá er spurningin sem við höfum áhuga á þessi:

Ef líkurnar á að tilraun takist eru p, hverjar eru þá líkurnar á að tilraunin takist að minnsta kosti einu sinni ef við endurtökum hana n sinnum?

Athugið að hér höfum við gert ráð fyrir þeirri aukaforsendu að hversu oft tilraunin tekst skipti ekki máli, heldur bara að hún takist alla vega einu sinni. Það er ekki svo vitlaust, því ef við hittum stöngina okkar þrisvar í tíu köstum höfum við ,,unnið'' alveg eins og ef við hittum hana einu sinni.

Nú nýtum við okkur eitt lögmál líkindafræðinnar, sem segir okkur að líkurnar á að atburður gerist séu einn mínus líkurnar á að sami atburður gerist ekki. Líkurnar á að tilraunin okkar takist ekki í einu kasti eru 1 - p, og því eru líkurnar á að hún takist ekki n sinnum í röð (1-p)n, því að við gerum ráð fyrir að árangur í fyrri köstum hafi engin áhrif á næsta kast. Þá er svarið við spurningunni okkar auðvitað

1 - (1-p)n

Þessari almennu reglu getum við nú beitt á upprunalegu spurningarnar. Í fyrstu spurningunni er fjöldi kasta 10, og líkurnar á að við hittum eru 0,1, svo við setjum inn n = 10 og p = 0,1, og fáum út að líkurnar á að hitta stöngina í tíu köstum eru

1 - (1-0.1)10 = 0,6513215599

eða um það bil 65%. Svörin við hinum spurningunum tveim fást nú snarlega með smá reikningi og við látum lesandanum eftir að finna þau, til dæmis með vasatölvu.

Á Vísindavefnum hefur áður verið spurt út í líkindafræði, og áhugasamir geta kynnt sér svar Stefáns Inga Valdimarssonar og Þorsteins Vilhjálmssonar við spurningunni Eru líkur óháðar kastfjölda þegar peningi er kastað?, og svar Rögnvalds G. Möllers við spurningunni Ef þú setur miða með 10 nöfnum í hatt, hverjar eru líkurnar að hver og einn dragi sitt nafn?

Mynd:

Höfundur

Gunnar Þór Magnússon

Gunnar Þór Magnússon

stærðfræðingur

Útgáfudagur

23.9.2008

Spyrjandi

Trausti Friðriksson
Ólafur Geirsson
Viktor Einarsson
Helgi Sæmundsson

Efnisorð

Tilvísun

Gunnar Þór Magnússon. „Maður kastar bolta í stöng. Ef 10% líkur eru á að maðurinn hitti í einu kasti, hverjar eru þá líkurnar á því að hann hitti að minnsta kosti einu sinni í 10 köstum?“ Vísindavefurinn, 23. september 2008. Sótt 16. apríl 2024. http://visindavefur.is/svar.php?id=20936.

Gunnar Þór Magnússon. (2008, 23. september). Maður kastar bolta í stöng. Ef 10% líkur eru á að maðurinn hitti í einu kasti, hverjar eru þá líkurnar á því að hann hitti að minnsta kosti einu sinni í 10 köstum? Vísindavefurinn. Sótt af http://visindavefur.is/svar.php?id=20936

Gunnar Þór Magnússon. „Maður kastar bolta í stöng. Ef 10% líkur eru á að maðurinn hitti í einu kasti, hverjar eru þá líkurnar á því að hann hitti að minnsta kosti einu sinni í 10 köstum?“ Vísindavefurinn. 23. sep. 2008. Vefsíða. 16. apr. 2024. <http://visindavefur.is/svar.php?id=20936>.

Chicago | APA | MLA

Þessi síða notar vafrakökur Nánari upplýsingar

Ég samþykki
Spyrja

Sendu inn spurningu LeiðbeiningarTil baka

Hér getur þú sent okkur nýjar spurningar um vísindaleg efni.

Hafðu spurninguna stutta og hnitmiðaða og sendu aðeins eina í einu. Einlægar og vandaðar spurningar um mikilvæg efni eru líklegastar til að kalla fram vönduð og greið svör. Ekki er víst að tími vinnist til að svara öllum spurningum.

Persónulegar upplýsingar um spyrjendur eru eingöngu notaðar í starfsemi vefsins, til dæmis til að svör verði við hæfi spyrjenda. Spurningum er ekki sinnt ef spyrjandi villir á sér heimildir eða segir ekki nægileg deili á sér.

Spurningum sem eru ekki á verksviði vefsins er eytt.

Að öðru leyti er hægt að spyrja Vísindavefinn um allt milli himins og jarðar!

=

Senda grein til vinar

=

Maður kastar bolta í stöng. Ef 10% líkur eru á að maðurinn hitti í einu kasti, hverjar eru þá líkurnar á því að hann hitti að minnsta kosti einu sinni í 10 köstum?
Hér er einnig svarað spurningunum:

Hverjar eru líkurnar á því að ég fái sexu ef ég kasta sex teningum?

og

Kastað er þrem teningum og maður fær að velja eina tölu. Hverjar eru líkurnar á að talan manns komi upp?

Allar þessar spurningar eiga það sameiginlegt að við endurtökum einhverja tilraun í ákveðinn fjölda skipta, og að það eru einhverjar fastar líkur á að tilraunin heppnist. Í fyrstu spurningunni er tilraunin sú að kasta bolta í stöng, og líkurnar á að hitta eru 10%, eða 1/10 = 0,1. Í hinum tveim spurningunum er tilraunin sú að kasta teningi, og líkurnar á að fá tiltekna tölu eru 1/6 ef við gefum okkur að allar útkomur séu jafn líklegar. Athugið að það skiptir ekki máli hvort við köstum þrem teningum einu sinni eða einum teningi þrem sinnum, því útkoman á einum tening hefur ekki áhrif á útkomu hinna tveggja.



Teningar

Í stærðfræði reynum við að finna almennar reglur og alhæfa spurningar svo að við þurfum ekki alltaf að reikna sömu hlutina aftur. Þannig fáum við til dæmis formúlurnar fyrir flatarmáli hrings eða Pýþagorasarregluna. Hér skiptir tvennt máli; fjöldi tilrauna og líkurnar á að tilraun takist. Til að geta talað um þetta tvennt skulum við gefa þessu nöfn: Fjölda tilrauna skulum við kalla n, og líkurnar á að tilraun takist skulum við kalla p, sem er þá tala á lokaða bilinu frá 0 upp í 1. Þá er spurningin sem við höfum áhuga á þessi:

Ef líkurnar á að tilraun takist eru p, hverjar eru þá líkurnar á að tilraunin takist að minnsta kosti einu sinni ef við endurtökum hana n sinnum?

Athugið að hér höfum við gert ráð fyrir þeirri aukaforsendu að hversu oft tilraunin tekst skipti ekki máli, heldur bara að hún takist alla vega einu sinni. Það er ekki svo vitlaust, því ef við hittum stöngina okkar þrisvar í tíu köstum höfum við ,,unnið'' alveg eins og ef við hittum hana einu sinni.

Nú nýtum við okkur eitt lögmál líkindafræðinnar, sem segir okkur að líkurnar á að atburður gerist séu einn mínus líkurnar á að sami atburður gerist ekki. Líkurnar á að tilraunin okkar takist ekki í einu kasti eru 1 - p, og því eru líkurnar á að hún takist ekki n sinnum í röð (1-p)n, því að við gerum ráð fyrir að árangur í fyrri köstum hafi engin áhrif á næsta kast. Þá er svarið við spurningunni okkar auðvitað

1 - (1-p)n

Þessari almennu reglu getum við nú beitt á upprunalegu spurningarnar. Í fyrstu spurningunni er fjöldi kasta 10, og líkurnar á að við hittum eru 0,1, svo við setjum inn n = 10 og p = 0,1, og fáum út að líkurnar á að hitta stöngina í tíu köstum eru

1 - (1-0.1)10 = 0,6513215599

eða um það bil 65%. Svörin við hinum spurningunum tveim fást nú snarlega með smá reikningi og við látum lesandanum eftir að finna þau, til dæmis með vasatölvu.

Á Vísindavefnum hefur áður verið spurt út í líkindafræði, og áhugasamir geta kynnt sér svar Stefáns Inga Valdimarssonar og Þorsteins Vilhjálmssonar við spurningunni Eru líkur óháðar kastfjölda þegar peningi er kastað?, og svar Rögnvalds G. Möllers við spurningunni Ef þú setur miða með 10 nöfnum í hatt, hverjar eru líkurnar að hver og einn dragi sitt nafn?

Mynd:

...