Senda inn spurningu
Sólin Sólin Rís 05:36 • sest 21:19 í Reykjavík
Tunglið Tunglið Rís 16:44 • Sest 05:50 í Reykjavík
Flóð Flóð Árdegis: 04:37 • Síðdegis: 17:05 í Reykjavík
Fjaran Fjara Árdegis: 10:57 • Síðdegis: 23:09 í Reykjavík
Visit the English version

Flokkun:

Náttúruvísindi og verkfræði Stærðfræði

Hvað er vigursvið og hvað er mætti vigursviðs?

Gunnar Þór Magnússon

Flest höfum við hár á hausnum. Ef vel er að gáð sést að engin tvö hár deila sömu rótinni, að hvert þeirra stefnir í einhverja átt og hefur ákveðna lengd, og að stefna og lengd háranna breytist nokkuð jafnt og þétt. Hárgreiðsla er ekki eitt af orðunum sem fólki dettur í hug þegar það hugsar um stærðfræði, en þrátt fyrir það eru til stærðfræðileg fyrirbæri sem lýsa þessum eiginleikum mannshára ágætlega. Þau eru kölluð vigursvið.

Formlega segjum við að vigursvið sé samfellt fall á hlutmengi í Rn sem úthlutar hverjum punkti vigri í Rn. Vigursvið koma við sögu í diffurrúmfræði, og þau eru mikið notuð í eðlisfræði til dæmis til að halda utan um stefnu og styrk krafta.

Sem dæmi um vigursvið getum við skoðað hafstrauma á gefnu augnabliki. Tökum einhvern punkt í sjónum. Til hans svarar einhver lengdar- og breiddargráða, auk dýptar, og þessar upplýsingar getum við kallað hnit punktsins. Við getum nú mælt stefnu og styrk hafstraumanna í punktinum okkar á gefnum tíma, og úthlutað honum vigri með lengd sem er í beinu hlutfalli við styrk straumsins og með sömu stefnu og straumurinn hefur í punnktinum. Hér höfum við vigursvið; til sérhverra hnita í hafinu svarar vigur með ákveðna stefnu og lengd, og stefna og lengd vigranna breytist samfellt frá punkti til punkts.



Hægt er að lýsa loftstraumunum sem flæða meðfram flugvélastéli með vigursviði.

Ef við höfum samfellt deildanlegt raungilt fall f sem er skilgreint á einhverju hlutmengi í Rn, þá er stigull þess vigursvið. Stigull falls er vigur með stefnuafleiðum þess; til að átta sig á hvað það þýðir er hægt að hugsa sér fall sem mælir hitastig í herbergi, stigull þess í gefnum punkti sýnir okkur þá í hvaða átt hitaaukningin er örust í punktinum. Fyrir sérhvert vigursvið má spyrja sig hvort til sé raungilt fall þannig að vigursviðið sé stigull fallsins. Ef slíkt fall er til, þá kallast það mætti vigursviðsins. Unnt er að heilda vigursvið eftir ferlum, og í því samhengi gegna mætti vigursviða svipuðu hlutverki og stofnföll gera fyrir raunföll af einni breytistærð.

Hvort mætti er til fyrir gefið vigursvið fer bæði eftir vigursviðinu og rúmfræðilegum eiginleikum mengisins sem það er skilgreint á. Öll vigursvið sem hafa mætti uppfylla ákveðin skilyrði; ef vigursviðið okkar uppfyllir þau ekki, þá getur það ekki haft mætti. Á hinn bóginn eru til mengi sem eru ekki einfaldlega samanhangandi; óformlega getum við sagt að í þeim séu ,,göt''. Á þeim má skilgreina vigursvið sem hafa ekki mætti, en uppfylla öll þau sömu skilyrði og vigursvið sem gera það. Fyrir mengi sem eru einfaldlega samanhangandi, eða ,,án gata'', má þó finna skilyrði fyrir vigursvið sem jafngilda því að vigursviðið hafi mætti.

Loðin kúla sem hefur tvo hvirfla, hvorn á sínu skauti.

Við byrjuðum á að spjalla um hagnýtingar stærðfræði í hárgreiðslu og ætlum að enda þar líka. Til er athyglisverð setning um vigursvið eftir Luitzen Brouwer (1881 - 1966). Hún segir að á kúlu sé ekki unnt að skilgreina vigursvið sem er núllstöðvalaust, og uppfyllir að gildi þess í hverjum punkti er snertill kúlunnar. Þó þetta segi okkur ekki mikið í fljótu bragði, þá er hægt að sjá fyrir sér hvað setningin segir á skemmtilegan hátt: Ímyndum okkur að við eigum loðna kúlu, til dæmis tennisbolta með aðeins lengri hárum en venjulega. Við hugsum okkur eins og áður að hárin á kúlunni myndi vigursvið. Núllstöðvar vigursviðsins svara til hvirfla á kúlunni, svo setning Brouwers segir að við getum ekki greitt kúlunni án þess að hárið myndi einhvers staðar hvirfil.

Tengt efni á Vísindavefnum:

Heimildir og myndir:

  • Tom M. Apostol. Calculus, volume II.. 1969. John Wiley & Sons.
  • James Munkres. Topology. 2000. Prentice Hall.
  • Vigursvið á Wikipedia.
  • Myndin af flugvél í loftgöngum er af Wikipedia.
  • Líkan af loðinni kúlu er af Wikipedia.

Höfundur

Gunnar Þór Magnússon

Gunnar Þór Magnússon

stærðfræðingur

Útgáfudagur

17.9.2008

Spyrjandi

Eyrún Gestsdóttir

Efnisorð

Tilvísun

Gunnar Þór Magnússon. „Hvað er vigursvið og hvað er mætti vigursviðs?“ Vísindavefurinn, 17. september 2008. Sótt 20. apríl 2024. http://visindavefur.is/svar.php?id=27203.

Gunnar Þór Magnússon. (2008, 17. september). Hvað er vigursvið og hvað er mætti vigursviðs? Vísindavefurinn. Sótt af http://visindavefur.is/svar.php?id=27203

Gunnar Þór Magnússon. „Hvað er vigursvið og hvað er mætti vigursviðs?“ Vísindavefurinn. 17. sep. 2008. Vefsíða. 20. apr. 2024. <http://visindavefur.is/svar.php?id=27203>.

Chicago | APA | MLA

Þessi síða notar vafrakökur Nánari upplýsingar

Ég samþykki
Spyrja

Sendu inn spurningu LeiðbeiningarTil baka

Hér getur þú sent okkur nýjar spurningar um vísindaleg efni.

Hafðu spurninguna stutta og hnitmiðaða og sendu aðeins eina í einu. Einlægar og vandaðar spurningar um mikilvæg efni eru líklegastar til að kalla fram vönduð og greið svör. Ekki er víst að tími vinnist til að svara öllum spurningum.

Persónulegar upplýsingar um spyrjendur eru eingöngu notaðar í starfsemi vefsins, til dæmis til að svör verði við hæfi spyrjenda. Spurningum er ekki sinnt ef spyrjandi villir á sér heimildir eða segir ekki nægileg deili á sér.

Spurningum sem eru ekki á verksviði vefsins er eytt.

Að öðru leyti er hægt að spyrja Vísindavefinn um allt milli himins og jarðar!

=

Senda grein til vinar

=

Hvað er vigursvið og hvað er mætti vigursviðs?
Flest höfum við hár á hausnum. Ef vel er að gáð sést að engin tvö hár deila sömu rótinni, að hvert þeirra stefnir í einhverja átt og hefur ákveðna lengd, og að stefna og lengd háranna breytist nokkuð jafnt og þétt. Hárgreiðsla er ekki eitt af orðunum sem fólki dettur í hug þegar það hugsar um stærðfræði, en þrátt fyrir það eru til stærðfræðileg fyrirbæri sem lýsa þessum eiginleikum mannshára ágætlega. Þau eru kölluð vigursvið.

Formlega segjum við að vigursvið sé samfellt fall á hlutmengi í Rn sem úthlutar hverjum punkti vigri í Rn. Vigursvið koma við sögu í diffurrúmfræði, og þau eru mikið notuð í eðlisfræði til dæmis til að halda utan um stefnu og styrk krafta.

Sem dæmi um vigursvið getum við skoðað hafstrauma á gefnu augnabliki. Tökum einhvern punkt í sjónum. Til hans svarar einhver lengdar- og breiddargráða, auk dýptar, og þessar upplýsingar getum við kallað hnit punktsins. Við getum nú mælt stefnu og styrk hafstraumanna í punktinum okkar á gefnum tíma, og úthlutað honum vigri með lengd sem er í beinu hlutfalli við styrk straumsins og með sömu stefnu og straumurinn hefur í punnktinum. Hér höfum við vigursvið; til sérhverra hnita í hafinu svarar vigur með ákveðna stefnu og lengd, og stefna og lengd vigranna breytist samfellt frá punkti til punkts.



Hægt er að lýsa loftstraumunum sem flæða meðfram flugvélastéli með vigursviði.

Ef við höfum samfellt deildanlegt raungilt fall f sem er skilgreint á einhverju hlutmengi í Rn, þá er stigull þess vigursvið. Stigull falls er vigur með stefnuafleiðum þess; til að átta sig á hvað það þýðir er hægt að hugsa sér fall sem mælir hitastig í herbergi, stigull þess í gefnum punkti sýnir okkur þá í hvaða átt hitaaukningin er örust í punktinum. Fyrir sérhvert vigursvið má spyrja sig hvort til sé raungilt fall þannig að vigursviðið sé stigull fallsins. Ef slíkt fall er til, þá kallast það mætti vigursviðsins. Unnt er að heilda vigursvið eftir ferlum, og í því samhengi gegna mætti vigursviða svipuðu hlutverki og stofnföll gera fyrir raunföll af einni breytistærð.

Hvort mætti er til fyrir gefið vigursvið fer bæði eftir vigursviðinu og rúmfræðilegum eiginleikum mengisins sem það er skilgreint á. Öll vigursvið sem hafa mætti uppfylla ákveðin skilyrði; ef vigursviðið okkar uppfyllir þau ekki, þá getur það ekki haft mætti. Á hinn bóginn eru til mengi sem eru ekki einfaldlega samanhangandi; óformlega getum við sagt að í þeim séu ,,göt''. Á þeim má skilgreina vigursvið sem hafa ekki mætti, en uppfylla öll þau sömu skilyrði og vigursvið sem gera það. Fyrir mengi sem eru einfaldlega samanhangandi, eða ,,án gata'', má þó finna skilyrði fyrir vigursvið sem jafngilda því að vigursviðið hafi mætti.

Loðin kúla sem hefur tvo hvirfla, hvorn á sínu skauti.

Við byrjuðum á að spjalla um hagnýtingar stærðfræði í hárgreiðslu og ætlum að enda þar líka. Til er athyglisverð setning um vigursvið eftir Luitzen Brouwer (1881 - 1966). Hún segir að á kúlu sé ekki unnt að skilgreina vigursvið sem er núllstöðvalaust, og uppfyllir að gildi þess í hverjum punkti er snertill kúlunnar. Þó þetta segi okkur ekki mikið í fljótu bragði, þá er hægt að sjá fyrir sér hvað setningin segir á skemmtilegan hátt: Ímyndum okkur að við eigum loðna kúlu, til dæmis tennisbolta með aðeins lengri hárum en venjulega. Við hugsum okkur eins og áður að hárin á kúlunni myndi vigursvið. Núllstöðvar vigursviðsins svara til hvirfla á kúlunni, svo setning Brouwers segir að við getum ekki greitt kúlunni án þess að hárið myndi einhvers staðar hvirfil.

Tengt efni á Vísindavefnum:

Heimildir og myndir:

  • Tom M. Apostol. Calculus, volume II.. 1969. John Wiley & Sons.
  • James Munkres. Topology. 2000. Prentice Hall.
  • Vigursvið á Wikipedia.
  • Myndin af flugvél í loftgöngum er af Wikipedia.
  • Líkan af loðinni kúlu er af Wikipedia.
...