Senda inn spurningu
Sólin Sólin Rís 05:15 • sest 21:38 í Reykjavík
Tunglið Tunglið Rís 01:18 • Sest 04:30 í Reykjavík
Flóð Flóð Árdegis: 07:36 • Síðdegis: 19:53 í Reykjavík
Fjaran Fjara Árdegis: 01:39 • Síðdegis: 13:42 í Reykjavík
Visit the English version

Flokkun:

Náttúruvísindi og verkfræði Stærðfræði

Ef tvær stæður stefna á óendanlegt og maður deilir annarri í hina, er útkoman þá einn? Sem sagt er óendanlegt deilt með óendanlegu jafnt og einn?

Þorsteinn Vilhjálmsson

Svarið er nei. Útkoman getur svo sem verið 1 en hún getur líka verið margt annað, bæði einhver tiltekin tala og líka 0 eða óendanlegt. Þetta fer eftir því hverjar stæðurnar eru og hvernig þær stefna á óendanlegt hvor um sig. Ef við vitum ekkert um stæðurnar eða þær eru með öllu óvenslaðar getum við ekkert sagt um útkomuna.

Til að glöggva sig betur á þessu er óvitlaust að láta stæðurnar vera föll af einni breytistærð x. Slíkt kemur líka oft fyrir. Segjum að önnur heiti f(x) og hin g(x) og útkoman sé h(x) = f(x)/g(x). Við getum tekið eftirfarandi dæmi:
f(x) = g(x) = x

Bæði föllin stefna þá á óendanlegt en h(x) = x/x = 1 fyrir öll x og h(x) stefnir því á 1 eins og spyrjandi telur líklegast.

Við þurfum hins vegar ekki annað en að taka f(x) = ax, þar sem a getur verið hvaða tala sem er, og g(x) = x til að sjá að h(x) = a, þannig að við getum fengið fram hvaða markgildi a sem vera skal.

Setjum nú til dæmis f(x) = x og g(x) = x2. Þá fáum við h(x) = x/x2 = 1/x sem stefnir á 0 þegar x stefnir á óendanlegt.

Eins getum við valið f(x) = x2 og g(x) = x og fáum þá h(x) = x2/x = x sem stefnir á óendanlegt þegar x stefnir á óendanlegt.

Þannig höfum við séð að "óendanlegt deilt með óendanlegu" er í raun og sannleika óskilgreint; við þurfum að vita meira um stæðurnar til að geta sagt eitthvað um útkomuna. Stærðfræðingar hafa ýmsar aðferðir til að taka á þessu máli og reikna markgildið út fyrir margskonar föll f og g.

Í svari sama höfundar við spurningunni Hver eru rökin fyrir því að x0 sé alltaf 1, sama hvað x stendur fyrir? er sagt að x0 sé óskilgreint fyrir x = 0. Nánar tiltekið er með því einmitt átt við eftirfarandi meðal annars:

Tökum fall f(x) sem er þannig að það stefnir á 0 þegar x stefnir á 0 og annað fall g(x) með sama eiginleika. Búum síðan til fallið
h(x) = f(x)g(x)
og athugum hegðun þess þegar x stefnir á 0. Hún verður þá einmitt háð því hvernig f og g hegða sér, alveg eins og hér á undan þegar við skoðuðum brotið f(x)/g(x).

Samsvarandi niðurstöður fást einnig um það sem kallað er "núll deilt með núlli". Þá erum við að skoða tvö föll f(x) og g(x)) sem stefna bæði á 0 þegar x stefnir á 0. Brotið h(x) = f(x)/g(x) getur þá gefið hvaða niðurstöðu sem er þegar x stefnir á 0, alveg eftir því hver föllin eða stæðurnar f og g eru.

Hentugasta tæki stærðfræðinnar í þessu tilviki er svokölluð regla l´Hospitals. Þá er skoðað hvernig afleiðurnar af föllunum f(x) og g(x) haga sér þegar x stefnir á 0. Yfirleitt er auðvelt að heimfæra þessa reglu síðan á hin tilvikin sem nefnd voru hér á undan, og raunar fleiri af sama tagi.

Höfundur

Þorsteinn Vilhjálmsson

Þorsteinn Vilhjálmsson

prófessor emeritus, ritstjóri Vísindavefsins 2000-2010 og ritstjóri Evrópuvefsins 2011

Útgáfudagur

11.5.2000

Spyrjandi

Katrín Atladóttir

Efnisorð

Tilvísun

Þorsteinn Vilhjálmsson. „Ef tvær stæður stefna á óendanlegt og maður deilir annarri í hina, er útkoman þá einn? Sem sagt er óendanlegt deilt með óendanlegu jafnt og einn?“ Vísindavefurinn, 11. maí 2000. Sótt 26. apríl 2024. http://visindavefur.is/svar.php?id=404.

Þorsteinn Vilhjálmsson. (2000, 11. maí). Ef tvær stæður stefna á óendanlegt og maður deilir annarri í hina, er útkoman þá einn? Sem sagt er óendanlegt deilt með óendanlegu jafnt og einn? Vísindavefurinn. Sótt af http://visindavefur.is/svar.php?id=404

Þorsteinn Vilhjálmsson. „Ef tvær stæður stefna á óendanlegt og maður deilir annarri í hina, er útkoman þá einn? Sem sagt er óendanlegt deilt með óendanlegu jafnt og einn?“ Vísindavefurinn. 11. maí. 2000. Vefsíða. 26. apr. 2024. <http://visindavefur.is/svar.php?id=404>.

Chicago | APA | MLA

Þessi síða notar vafrakökur Nánari upplýsingar

Ég samþykki
Spyrja

Sendu inn spurningu LeiðbeiningarTil baka

Hér getur þú sent okkur nýjar spurningar um vísindaleg efni.

Hafðu spurninguna stutta og hnitmiðaða og sendu aðeins eina í einu. Einlægar og vandaðar spurningar um mikilvæg efni eru líklegastar til að kalla fram vönduð og greið svör. Ekki er víst að tími vinnist til að svara öllum spurningum.

Persónulegar upplýsingar um spyrjendur eru eingöngu notaðar í starfsemi vefsins, til dæmis til að svör verði við hæfi spyrjenda. Spurningum er ekki sinnt ef spyrjandi villir á sér heimildir eða segir ekki nægileg deili á sér.

Spurningum sem eru ekki á verksviði vefsins er eytt.

Að öðru leyti er hægt að spyrja Vísindavefinn um allt milli himins og jarðar!

=

Senda grein til vinar

=

Ef tvær stæður stefna á óendanlegt og maður deilir annarri í hina, er útkoman þá einn? Sem sagt er óendanlegt deilt með óendanlegu jafnt og einn?

Svarið er nei. Útkoman getur svo sem verið 1 en hún getur líka verið margt annað, bæði einhver tiltekin tala og líka 0 eða óendanlegt. Þetta fer eftir því hverjar stæðurnar eru og hvernig þær stefna á óendanlegt hvor um sig. Ef við vitum ekkert um stæðurnar eða þær eru með öllu óvenslaðar getum við ekkert sagt um útkomuna.

Til að glöggva sig betur á þessu er óvitlaust að láta stæðurnar vera föll af einni breytistærð x. Slíkt kemur líka oft fyrir. Segjum að önnur heiti f(x) og hin g(x) og útkoman sé h(x) = f(x)/g(x). Við getum tekið eftirfarandi dæmi:
f(x) = g(x) = x

Bæði föllin stefna þá á óendanlegt en h(x) = x/x = 1 fyrir öll x og h(x) stefnir því á 1 eins og spyrjandi telur líklegast.

Við þurfum hins vegar ekki annað en að taka f(x) = ax, þar sem a getur verið hvaða tala sem er, og g(x) = x til að sjá að h(x) = a, þannig að við getum fengið fram hvaða markgildi a sem vera skal.

Setjum nú til dæmis f(x) = x og g(x) = x2. Þá fáum við h(x) = x/x2 = 1/x sem stefnir á 0 þegar x stefnir á óendanlegt.

Eins getum við valið f(x) = x2 og g(x) = x og fáum þá h(x) = x2/x = x sem stefnir á óendanlegt þegar x stefnir á óendanlegt.

Þannig höfum við séð að "óendanlegt deilt með óendanlegu" er í raun og sannleika óskilgreint; við þurfum að vita meira um stæðurnar til að geta sagt eitthvað um útkomuna. Stærðfræðingar hafa ýmsar aðferðir til að taka á þessu máli og reikna markgildið út fyrir margskonar föll f og g.

Í svari sama höfundar við spurningunni Hver eru rökin fyrir því að x0 sé alltaf 1, sama hvað x stendur fyrir? er sagt að x0 sé óskilgreint fyrir x = 0. Nánar tiltekið er með því einmitt átt við eftirfarandi meðal annars:

Tökum fall f(x) sem er þannig að það stefnir á 0 þegar x stefnir á 0 og annað fall g(x) með sama eiginleika. Búum síðan til fallið
h(x) = f(x)g(x)
og athugum hegðun þess þegar x stefnir á 0. Hún verður þá einmitt háð því hvernig f og g hegða sér, alveg eins og hér á undan þegar við skoðuðum brotið f(x)/g(x).

Samsvarandi niðurstöður fást einnig um það sem kallað er "núll deilt með núlli". Þá erum við að skoða tvö föll f(x) og g(x)) sem stefna bæði á 0 þegar x stefnir á 0. Brotið h(x) = f(x)/g(x) getur þá gefið hvaða niðurstöðu sem er þegar x stefnir á 0, alveg eftir því hver föllin eða stæðurnar f og g eru.

Hentugasta tæki stærðfræðinnar í þessu tilviki er svokölluð regla l´Hospitals. Þá er skoðað hvernig afleiðurnar af föllunum f(x) og g(x) haga sér þegar x stefnir á 0. Yfirleitt er auðvelt að heimfæra þessa reglu síðan á hin tilvikin sem nefnd voru hér á undan, og raunar fleiri af sama tagi.

...