Sendu inn spurningu

Hér getur þú sent okkur nýjar spurningar um vísindaleg efni.

Hafðu spurninguna stutta og hnitmiðaða og sendu aðeins eina í einu. Einlægar og vandaðar spurningar um mikilvæg efni eru líklegastar til að kalla fram vönduð og greið svör. Ekki er víst að tími vinnist til að svara öllum spurningum.

Persónulegar upplýsingar um spyrjendur eru eingöngu notaðar í starfsemi vefsins, til dæmis til að svör verði við hæfi spyrjenda. Spurningum er ekki sinnt ef spyrjandi villir á sér heimildir eða segir ekki nægileg deili á sér.

Spurningum sem eru ekki á verksviði vefsins er eytt.

Að öðru leyti er hægt að spyrja Vísindavefinn um allt milli himins og jarðar!

=

Er hægt að lýsa hvaða ferli sem er með stærðfræðijöfnu?

Svarið er bæði já og nei, meðal annars eftir því hvaða skilningur er lagður í orðin "lýsing með stærðfræðijöfnu". Eitt af markmiðum stærðfræðinnar er að leggja öðrum vísindagreinum til tæki til reikninga (í víðasta skilningi) um hvaðeina sem menn kunna að vilja beita "reikningum" á, þar á meðal til að lýsa breytingum með tímanum og kryfja þær til mergjar. Þetta markmið er hins vegar eitt af þeim sem aldrei verður náð fullkomlega þó að við getum sífellt bætt við þekkingu okkar, kunnáttu og tækni. Hins vegar er hægt að skilja spurninguna víðum skilningi þannig að henni verði svarað játandi.


Spurningin er í rauninni tvíræð af því að orðmyndin ferli í henni getur annars vegar verið þágufall af hvorugkynsorðinu ferli sem hefur verið notað sem þýðing á erlenda orðinu 'process', og hins vegar getur þessi orðmynd verið þágufall af karlkynsorðinu ferill (enska 'curve'). Svarið miðast við fyrri merkinguna.

Hugsum okkur sandkorn sem er svo lítið að við getum litið á það sem punkt í skilningi stærðfræðinnar. Sandkornið hreyfist með einhverjum flóknum hætti um hið þrívíða rúm sem við lifum í. En engu að síður getum við sagt að staður þess sé fall af tímanum:
r = r(t) = f(t)

Í þessu felst í rauninni ekkert annað en það að sandkornið er á tilteknum stað á tilteknum tíma. Engu að síður virðist stætt á því að við höfum lýst hreyfingu sandkornsins "með stærðfræðijöfnu". Ef við skoðum síðan stærri hlut í stað sandkorns þá getum við auðvitað litið svo á að hann sé saman settur úr "punktum" eða sandkornum og síðan lýst hreyfingu hvers um sig. Þannig sjáum við fyrir okkur að við getum lýst allri venjulegri hreyfingu á þennan stærðfræðilega hátt, enda hefur býsna mikil stærðfræði verið þróuð einmitt til þess að lýsa svona hreyfingu og ýmsu sem tengist henni.

Hitt er svo annað mál að við höfum ekki með þessu sagt neitt um sjálft fallið f(t), hvernig það sé háð tímanum. Mörgum finnst þetta því skammgóður vermir; "lýsingin" ristir ekki sérlega djúpt að svo stöddu. Í ýmsum tilvikum getum við þó reiknað með því að við getum að minnsta kosti nálgast fallið f(t) með föllum úr hópi þeirra sem við þekkjum sérstaklega umfram önnur. Til dæmis gæti f(t) eða breytileiki þess verið á forminu fasti sinnum (t),
f(t) = at,

sem lýsir jafnri hreyfingu eftir beinni línu. Einnig getur verið að lóðrétt hnit hreyfingarinnar breytist í hlutfalli við tímann í öðru veldi eins og í frjálsu falli án mótstöðu. Ef hreyfingin er sveifla gæti fallið verið hornafall eins og sínus eða kósínus og þannig mætti lengi telja.

Með orðinu "ferli" í spurningunni er væntanlega átt við eitthvað sem breytist með tímanum. Við höfum tekið hreyfingu hluta í rúminu sem dæmi um slíkt ferli, en við hefðum allt eins getað skoðað sjávarhæð sem fall af tíma, breytingar á fólksfjölda eða fjölda annarra lífvera, gengi verðbréfa á markaði eða hvað sem er annað sem breytist með tímanum og tekur gildi sem unnt er að höndla í stærðfræði. Við getum gefið breytilegu stærðinni eitthvert nafn eins og til dæmis y og síðan skrifað jöfnuna
y = f(t)

sem segir ekki annað en það að y er fall af tímanum, það er að segja að fyrir hvert gildi á t tekur y tiltekið gildi. En ef menn vilja fallast á að þessi jafna "lýsi" ferlinu, sem er auðvitað engin fjarstæða, þá er svarið við spurningunni játandi: Öllum ferlum, öllu sem breytist með tíma, má lýsa með slíkri "stærðfræðijöfnu."

Sumum stærðfræðilega sinnuðum mönnum kann þó að þykja þetta þunnur þrettándi þar sem ekki er áskilið að neitt meira sé sagt um fallið f(t). Í mörgum raunverulegum dæmum, þar sem stærðfræði er á annað borð beitt að ráði, hlítir fallið f(t) einhverri almennri jöfnu, til dæmis diffurjöfnu sem kallað er, eða það breytist einhvers vegar samkvæmt tilteknum reglum. Almennt segjum við þá að við höfum stærðfræðilíkan um ferlið sem við erum að skoða en vísindamenn eiga þá jafnframt alltaf von á að líkanið sé aðeins nálgun sem gefi til dæmis ekki fyllilega nákvæmar upplýsingar um fallið f(t); alltaf sé hægt að gera betur.

Hins vegar fer því fjarri að þetta eigi við um öll ferli; stundum er ekkert stærðfræðilíkan í boði eða þá að þau sem bjóðast eru svo ónákvæm að þau geti ekki talist "lýsing" á ferlinu. Ef menn kjósa að beita þessum þrengri skilningi á orðunum "lýsing með stærðfræðijöfnu" er svarið við spurningunni neitandi: Fyrir mörg ferli eru ekki til þekkt stærðfræðilíkön sem lýsa breytingum með tímanum nægilega vel.

Útgáfudagur

11.7.2000

Spyrjandi

Einar Hjalti

Höfundur

Þorsteinn Vilhjálmsson

prófessor emeritus, ritstjóri Vísindavefsins 2000-2010 og ritstjóri Evrópuvefsins 2011

Tilvísun

Þorsteinn Vilhjálmsson. „Er hægt að lýsa hvaða ferli sem er með stærðfræðijöfnu?“ Vísindavefurinn, 11. júlí 2000. Sótt 14. desember 2019. http://visindavefur.is/svar.php?id=627.

Þorsteinn Vilhjálmsson. (2000, 11. júlí). Er hægt að lýsa hvaða ferli sem er með stærðfræðijöfnu? Vísindavefurinn. Sótt af http://visindavefur.is/svar.php?id=627

Þorsteinn Vilhjálmsson. „Er hægt að lýsa hvaða ferli sem er með stærðfræðijöfnu?“ Vísindavefurinn. 11. júl. 2000. Vefsíða. 14. des. 2019. <http://visindavefur.is/svar.php?id=627>.

Chicago | APA | MLA

Sendu inn spurningu
eða

Vísindadagatalið

Ólöf Guðný Geirsdóttir

1968

Ólöf Guðný Geirsdóttir er dósent í næringarfræði við Matvæla- og næringarfræðideild HÍ. Meginviðfangsefni hennar eru næringarástand aldraðra ásamt rannsóknum á áhrifum næringar á farsæla öldrun.