Senda inn spurningu
Sólin Sólin Rís 05:40 • sest 21:16 í Reykjavík
Tunglið Tunglið Rís 15:13 • Sest 05:59 í Reykjavík
Flóð Flóð Árdegis: 03:57 • Síðdegis: 16:31 í Reykjavík
Fjaran Fjara Árdegis: 10:23 • Síðdegis: 22:34 í Reykjavík
Visit the English version

Flokkun:

Náttúruvísindi og verkfræði Stærðfræði

Er hægt að útskýra andhverfu og hlutleysu í stærðfræði einfaldlega eða á mannamáli?

Kristín Bjarnadóttir

Eigi að útskýra hugtökin hlutleysu og andhverfu, þannig að útskýringin hafi almennt gildi, verður að draga fram mörg hugtök og skilgreiningar. Þá er hætt við að útskýringin verði ekki einföld heldur nokkuð tyrfin. Þess vegna er gott að athuga einföld dæmi.

Um hlutleysu má taka sem dæmi að hún er liður í samlagningu eða þáttur í margfeldi sem hefur engin áhrif, er alveg hlutlaus. Alkunna er að það breytir engu að bæta núlli við hvaða tölu sem er. Talan hvorki vex né minnkar:

5 + 0 = 5

0 + 5 = 5

171 + 0 = 171

Talan núll er því sögð hlutlaus í samlagningu, samlagningarhlutleysa.

Sömuleiðis kannast flestir við að:

7 ∙ 1 = 7

1 ∙ 5 = 5

3801 ∙ 1 = 3801

Talan einn er hlutlaus í margföldun, margföldunarhlutleysa.

Hlutverk tölunnar núll í samlagningu og tölunnar einn í margföldun eru flestum kunnug. Dæmin um þessar tölur skýra allvel hvað hlutleysa er þótt ekki sé gripið til almennari hugtaka eða útskýringa.

Svo fór að menn sáu líkindi með núlli í samlagningu, einum í margföldun og öðrum, ólíkum aðgerðum. Til dæmis má hugsa sér að mynd sé snúið um ákveðinn punkt. Þá er aðgerðin 'að snúa ekki neitt', eða það sem er jafngilt því, 'að snúa um heilan hring', hlutlausi snúningurinn. Ef til dæmis er snúið um 120° og síðan um 240°, má segja að búið sé að eyða snúningnum og myndin sé aftur komin í upphafsstöðu (sjá nánar: Af hverju er hringnum skipt í 360 gráður? eftir Kristínu Bjarnadóttur). Í því tilviki má líta á snúning um 120° og snúning um 240° sem andhverfar aðgerðir, þær vega hvor aðra upp og útkoman er hlutleysa, hlutlaus aðgerð.

Á sama hátt er það að leggja (-5) við 5 og fá út núll, aðgerð til að vega á móti eða eyða 5 og fá út hlutleysuna. Við segjum að tölurnar 5 og (-5) séu samlagningarandhverfur af því að þær vega hvor aðra upp, eyða hvor annarri, og útkoman er hlutleysan.

Við getum einnig tekið 5 og margfaldað með 0,2 og fengið út 1, margföldunarhlutleysuna. Þá hafa tölurnar 5 og 0,2 eytt áhrifum hvor annarrar:

5 ∙ 0,2 = 1

Við segjum því að talnapar eins og 5 og 0,2 séu margföldunarandhverfur.

Sama má segja um 2 og 0,5 og fjölmörg önnur talnapör, raunar óendanlega mörg. Allar rauntölur nema núll eiga sér margföldunarandhverfur (sjá nánar: Er hægt að sanna að mengi rauntalna, R, taki enda? eftir ritstjórn).

Það væri freistandi að halda að núll væri hlutleysa í frádrætti, en svo er ekki. Vissulega er:

5 – 0 = 5

Á hinn bóginn er:

0 – 5 = -5

Núll hefur því áhrif þegar svo stendur á að dregið er frá núllinu.

Sömuleiðis væri freistandi að telja einn hlutleysu í deilingu, þótt svo sé ekki. Við vitum að:

5 : 1 = 5

Aftur á móti er:

1 : 5 = 0,2

Þannig hefur talan einn áhrif þegar deilt er í hana.

Höfundur

Kristín Bjarnadóttir

Kristín Bjarnadóttir

prófessor emerita

Útgáfudagur

13.4.2007

Spyrjandi

Inga Sigurjónsdóttir

Efnisorð

Tilvísun

Kristín Bjarnadóttir. „Er hægt að útskýra andhverfu og hlutleysu í stærðfræði einfaldlega eða á mannamáli?“ Vísindavefurinn, 13. apríl 2007. Sótt 19. apríl 2024. http://visindavefur.is/svar.php?id=6589.

Kristín Bjarnadóttir. (2007, 13. apríl). Er hægt að útskýra andhverfu og hlutleysu í stærðfræði einfaldlega eða á mannamáli? Vísindavefurinn. Sótt af http://visindavefur.is/svar.php?id=6589

Kristín Bjarnadóttir. „Er hægt að útskýra andhverfu og hlutleysu í stærðfræði einfaldlega eða á mannamáli?“ Vísindavefurinn. 13. apr. 2007. Vefsíða. 19. apr. 2024. <http://visindavefur.is/svar.php?id=6589>.

Chicago | APA | MLA

Þessi síða notar vafrakökur Nánari upplýsingar

Ég samþykki
Spyrja

Sendu inn spurningu LeiðbeiningarTil baka

Hér getur þú sent okkur nýjar spurningar um vísindaleg efni.

Hafðu spurninguna stutta og hnitmiðaða og sendu aðeins eina í einu. Einlægar og vandaðar spurningar um mikilvæg efni eru líklegastar til að kalla fram vönduð og greið svör. Ekki er víst að tími vinnist til að svara öllum spurningum.

Persónulegar upplýsingar um spyrjendur eru eingöngu notaðar í starfsemi vefsins, til dæmis til að svör verði við hæfi spyrjenda. Spurningum er ekki sinnt ef spyrjandi villir á sér heimildir eða segir ekki nægileg deili á sér.

Spurningum sem eru ekki á verksviði vefsins er eytt.

Að öðru leyti er hægt að spyrja Vísindavefinn um allt milli himins og jarðar!

=

Senda grein til vinar

=

Er hægt að útskýra andhverfu og hlutleysu í stærðfræði einfaldlega eða á mannamáli?
Eigi að útskýra hugtökin hlutleysu og andhverfu, þannig að útskýringin hafi almennt gildi, verður að draga fram mörg hugtök og skilgreiningar. Þá er hætt við að útskýringin verði ekki einföld heldur nokkuð tyrfin. Þess vegna er gott að athuga einföld dæmi.

Um hlutleysu má taka sem dæmi að hún er liður í samlagningu eða þáttur í margfeldi sem hefur engin áhrif, er alveg hlutlaus. Alkunna er að það breytir engu að bæta núlli við hvaða tölu sem er. Talan hvorki vex né minnkar:

5 + 0 = 5

0 + 5 = 5

171 + 0 = 171

Talan núll er því sögð hlutlaus í samlagningu, samlagningarhlutleysa.

Sömuleiðis kannast flestir við að:

7 ∙ 1 = 7

1 ∙ 5 = 5

3801 ∙ 1 = 3801

Talan einn er hlutlaus í margföldun, margföldunarhlutleysa.

Hlutverk tölunnar núll í samlagningu og tölunnar einn í margföldun eru flestum kunnug. Dæmin um þessar tölur skýra allvel hvað hlutleysa er þótt ekki sé gripið til almennari hugtaka eða útskýringa.

Svo fór að menn sáu líkindi með núlli í samlagningu, einum í margföldun og öðrum, ólíkum aðgerðum. Til dæmis má hugsa sér að mynd sé snúið um ákveðinn punkt. Þá er aðgerðin 'að snúa ekki neitt', eða það sem er jafngilt því, 'að snúa um heilan hring', hlutlausi snúningurinn. Ef til dæmis er snúið um 120° og síðan um 240°, má segja að búið sé að eyða snúningnum og myndin sé aftur komin í upphafsstöðu (sjá nánar: Af hverju er hringnum skipt í 360 gráður? eftir Kristínu Bjarnadóttur). Í því tilviki má líta á snúning um 120° og snúning um 240° sem andhverfar aðgerðir, þær vega hvor aðra upp og útkoman er hlutleysa, hlutlaus aðgerð.

Á sama hátt er það að leggja (-5) við 5 og fá út núll, aðgerð til að vega á móti eða eyða 5 og fá út hlutleysuna. Við segjum að tölurnar 5 og (-5) séu samlagningarandhverfur af því að þær vega hvor aðra upp, eyða hvor annarri, og útkoman er hlutleysan.

Við getum einnig tekið 5 og margfaldað með 0,2 og fengið út 1, margföldunarhlutleysuna. Þá hafa tölurnar 5 og 0,2 eytt áhrifum hvor annarrar:

5 ∙ 0,2 = 1

Við segjum því að talnapar eins og 5 og 0,2 séu margföldunarandhverfur.

Sama má segja um 2 og 0,5 og fjölmörg önnur talnapör, raunar óendanlega mörg. Allar rauntölur nema núll eiga sér margföldunarandhverfur (sjá nánar: Er hægt að sanna að mengi rauntalna, R, taki enda? eftir ritstjórn).

Það væri freistandi að halda að núll væri hlutleysa í frádrætti, en svo er ekki. Vissulega er:

5 – 0 = 5

Á hinn bóginn er:

0 – 5 = -5

Núll hefur því áhrif þegar svo stendur á að dregið er frá núllinu.

Sömuleiðis væri freistandi að telja einn hlutleysu í deilingu, þótt svo sé ekki. Við vitum að:

5 : 1 = 5

Aftur á móti er:

1 : 5 = 0,2

Þannig hefur talan einn áhrif þegar deilt er í hana....