Senda inn spurningu
Sólin Sólin Rís 05:43 • sest 21:13 í Reykjavík
Tunglið Tunglið Rís 13:37 • Sest 06:11 í Reykjavík
Flóð Flóð Árdegis: 02:59 • Síðdegis: 15:47 í Reykjavík
Fjaran Fjara Árdegis: 09:39 • Síðdegis: 21:50 í Reykjavík
Visit the English version

Flokkun:

Náttúruvísindi og verkfræði Stærðfræði

Hvernig er þriðja stigs jafna leyst án þess að nota tölvu?

Gunnar Þór Magnússon

Þeir sem hafa lært einhverja stærðfræði í framhaldsskóla muna örugglega eftir því að hafa lært að leysa jöfnur af gerðinni a x2 + b x + c = 0, þar sem tölurnar a, b og c eru einhverjar rauntölur sem eru kallaðar stuðlar jöfnunnar. Jöfnur af þessu tagi eru annars stigs jöfnur, nefndar eftir hæsta veldinu á óþekktu stærðinni x sem kemur fyrir í jöfnunni. Það er til einföld formúla sem sýnir hvernig lausnir jöfnunnar og stuðlar hennar tengjast, þannig að ef við þekkjum stuðlana getum við skrifað niður lausnir jöfnunnar. Formúlan er

\[x=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\]

Þessi formúla, eða alla vega aðferðin sem leiðir til hennar, hefur verið þekkt frá því á tímum Babýloníumanna, frá um 400 f.Kr. Stærðfræðingar fyrri alda létu ekki staðar numið þarna, því um leið og ljóst er hvernig á að leysa annars stigs jöfnur, þá liggur beint við að skoða erfiðara vandamál. Þeir fóru því að skoða þriðja stigs jöfnur af gerðinni x3 + a x2 + b x + c = 0, þar sem tölurnar a, b og c eru eins og áður einhverjar rauntölur. Reyndar má líka skoða þriðja stigs jöfnur þar sem það er búið að margfalda þriðja stigs liðinn x3 með einhverri tölu, en það er óþarfa málalenging því við getum alltaf deilt í gegnum jöfnuna þannig að stuðullinn við þriðja stigs liðinn sé 1.

Að finna almenna formúlu fyrir lausnum þriðja stigs jöfnu reyndist talsvert erfiðara en að leysa annars stigs jöfnurnar. Á meðan formúlan fyrir lausnum annars stigs margliða sprettur nokkuð eðlilega upp úr einföldum algebrureikningum, þá eru hlutirnir alls ekki eins augljósir þegar maður vinnur með þriðja stigs jöfnur. Það var ekki fyrr en um miðja 16. öld sem menn fundu almenna formúlu fyrir lausnum þeirra, og heiðurinn af henni skiptist misjafnt milli þriggja Ítala: Scipione del Ferro (1465-1526) uppgötvaði hvernig maður leysir þriðja stigs jöfnur sem hafa engan annars stigs lið, Niccolò Tartaglia (1500-1557) sá hvernig það má breyta öllum þriðja stigs jöfnum í jöfnur af því tagi sem del Ferro leysti, og Gerolamo Cardano (1501-1576) sannfærði Tartaglia um að kenna sér aðferðina og eignaði sér svo heiðurinn þegar hann gaf hana út undir eigin nafni.

Formúlan fyrir lausnum þriðja stigs margliðu hefur því verið þekkt í tæp 500 ár, en svo höfundur viti er ekki til eitt einasta mannbarn á jörðinni sem lærir hana undir eðlilegum kringumstæðum. Ástæðan fyrir því er tvíþætt; við þurfum sjaldan að leysa þriðja stigs jöfnur, og formúlan fyrir lausnum þeirra er svo löng og óárennileg að það er ekki erfiðisins virði að leggja hana á minnið.

Ef við rekumst samt á þriðja stigs jöfnu sem við þurfum nauðsynlega að leysa í höndunum, og við höfum ekki aðgang að bók með formúlunni fyrir lausnunum, þá eru tveir möguleikar í stöðunni. Við getum byrjað á að finna eina lausn beint, annað hvort með því að stara ákaft á jöfnuna eða prófa nokkrar tölur, og deila henni svo út þannig við sitjum uppi með annars stigs jöfnu, sem við kunnum að leysa. Ef það mistekst, þá er ekki um annað að ræða en að renna gegnum skrefin í útleiðslunni á lausnarformúlunni, því það er miklu auðveldara að muna þau en formúluna sjálfa.

Fyrst fylgjum við í fótspor Niccolò Tartaglia: við framkvæmum breytuskiptin x = y - a/3, en við það breytist jafnan

x3 + a x2 + b x + c = 0     í   

y3 + p y + q = 0

þar sem stuðlarnir p og q fást með smá reikningi út frá a, b og c. Næst setjum við inn y = w - p/3w og margföldum í gegnum jöfnuna með w3, en þá erum við komin með

(w3)2 + q w3 - p3/27 = 0.

Þessa jöfnu getum við leyst með því að líta á hana sem annars stigs jöfnu þar sem w3 er óþekkta breytan. Þegar við erum búin að því getum við tekið þriðju rótina af lausnunum til að finna w, og svo rekjum við okkur skref fyrir skref til baka og fáum að lokum eina, tvær eða þrjár lausnir á upphaflegu jöfnunni. Að minnsta kosti ein lausnin verður rauntala, en hinar tvær gætu verið tvinntölulausnir.

Hugrakkir lesendur geta nú rakið sig gegnum öll breytuskiptin hér að ofan og fundið almenna formúlu fyrir lausnum þriðja stigs jöfnu, sem er alla vega ágætis æfing í algebru. Það er athyglisvert að á meðan það er til sambærileg formúla fyrir lausnum jafna af fjórða stigi, þá er engin slík formúla til fyrir jöfnur af fimmta stigi eða hærra. Þetta er ekki af því að stærðfræðingum hefur ekki tekist að finna slíkar formúlur, heldur hafa þeir þvert á móti sannað að þó jöfnur af fimmta stigi og hærra hafi alltaf að minnsta kosti eina tvinntölulausn, þá er almennt ekki til nein formúla sem gefur lausnirnar og því þarf að beita öðrum aðferðum til að leysa slíkar jöfnur.

Tengt efni á Vísindavefnum:

Heimildir og myndir:

Höfundur

Gunnar Þór Magnússon

Gunnar Þór Magnússon

stærðfræðingur

Útgáfudagur

26.9.2008

Spyrjandi

Björn Kárason

Efnisorð

Tilvísun

Gunnar Þór Magnússon. „Hvernig er þriðja stigs jafna leyst án þess að nota tölvu?“ Vísindavefurinn, 26. september 2008. Sótt 18. apríl 2024. http://visindavefur.is/svar.php?id=8701.

Gunnar Þór Magnússon. (2008, 26. september). Hvernig er þriðja stigs jafna leyst án þess að nota tölvu? Vísindavefurinn. Sótt af http://visindavefur.is/svar.php?id=8701

Gunnar Þór Magnússon. „Hvernig er þriðja stigs jafna leyst án þess að nota tölvu?“ Vísindavefurinn. 26. sep. 2008. Vefsíða. 18. apr. 2024. <http://visindavefur.is/svar.php?id=8701>.

Chicago | APA | MLA

Þessi síða notar vafrakökur Nánari upplýsingar

Ég samþykki
Spyrja

Sendu inn spurningu LeiðbeiningarTil baka

Hér getur þú sent okkur nýjar spurningar um vísindaleg efni.

Hafðu spurninguna stutta og hnitmiðaða og sendu aðeins eina í einu. Einlægar og vandaðar spurningar um mikilvæg efni eru líklegastar til að kalla fram vönduð og greið svör. Ekki er víst að tími vinnist til að svara öllum spurningum.

Persónulegar upplýsingar um spyrjendur eru eingöngu notaðar í starfsemi vefsins, til dæmis til að svör verði við hæfi spyrjenda. Spurningum er ekki sinnt ef spyrjandi villir á sér heimildir eða segir ekki nægileg deili á sér.

Spurningum sem eru ekki á verksviði vefsins er eytt.

Að öðru leyti er hægt að spyrja Vísindavefinn um allt milli himins og jarðar!

=

Senda grein til vinar

=

Hvernig er þriðja stigs jafna leyst án þess að nota tölvu?
Þeir sem hafa lært einhverja stærðfræði í framhaldsskóla muna örugglega eftir því að hafa lært að leysa jöfnur af gerðinni a x2 + b x + c = 0, þar sem tölurnar a, b og c eru einhverjar rauntölur sem eru kallaðar stuðlar jöfnunnar. Jöfnur af þessu tagi eru annars stigs jöfnur, nefndar eftir hæsta veldinu á óþekktu stærðinni x sem kemur fyrir í jöfnunni. Það er til einföld formúla sem sýnir hvernig lausnir jöfnunnar og stuðlar hennar tengjast, þannig að ef við þekkjum stuðlana getum við skrifað niður lausnir jöfnunnar. Formúlan er

\[x=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\]

Þessi formúla, eða alla vega aðferðin sem leiðir til hennar, hefur verið þekkt frá því á tímum Babýloníumanna, frá um 400 f.Kr. Stærðfræðingar fyrri alda létu ekki staðar numið þarna, því um leið og ljóst er hvernig á að leysa annars stigs jöfnur, þá liggur beint við að skoða erfiðara vandamál. Þeir fóru því að skoða þriðja stigs jöfnur af gerðinni x3 + a x2 + b x + c = 0, þar sem tölurnar a, b og c eru eins og áður einhverjar rauntölur. Reyndar má líka skoða þriðja stigs jöfnur þar sem það er búið að margfalda þriðja stigs liðinn x3 með einhverri tölu, en það er óþarfa málalenging því við getum alltaf deilt í gegnum jöfnuna þannig að stuðullinn við þriðja stigs liðinn sé 1.

Að finna almenna formúlu fyrir lausnum þriðja stigs jöfnu reyndist talsvert erfiðara en að leysa annars stigs jöfnurnar. Á meðan formúlan fyrir lausnum annars stigs margliða sprettur nokkuð eðlilega upp úr einföldum algebrureikningum, þá eru hlutirnir alls ekki eins augljósir þegar maður vinnur með þriðja stigs jöfnur. Það var ekki fyrr en um miðja 16. öld sem menn fundu almenna formúlu fyrir lausnum þeirra, og heiðurinn af henni skiptist misjafnt milli þriggja Ítala: Scipione del Ferro (1465-1526) uppgötvaði hvernig maður leysir þriðja stigs jöfnur sem hafa engan annars stigs lið, Niccolò Tartaglia (1500-1557) sá hvernig það má breyta öllum þriðja stigs jöfnum í jöfnur af því tagi sem del Ferro leysti, og Gerolamo Cardano (1501-1576) sannfærði Tartaglia um að kenna sér aðferðina og eignaði sér svo heiðurinn þegar hann gaf hana út undir eigin nafni.

Formúlan fyrir lausnum þriðja stigs margliðu hefur því verið þekkt í tæp 500 ár, en svo höfundur viti er ekki til eitt einasta mannbarn á jörðinni sem lærir hana undir eðlilegum kringumstæðum. Ástæðan fyrir því er tvíþætt; við þurfum sjaldan að leysa þriðja stigs jöfnur, og formúlan fyrir lausnum þeirra er svo löng og óárennileg að það er ekki erfiðisins virði að leggja hana á minnið.

Ef við rekumst samt á þriðja stigs jöfnu sem við þurfum nauðsynlega að leysa í höndunum, og við höfum ekki aðgang að bók með formúlunni fyrir lausnunum, þá eru tveir möguleikar í stöðunni. Við getum byrjað á að finna eina lausn beint, annað hvort með því að stara ákaft á jöfnuna eða prófa nokkrar tölur, og deila henni svo út þannig við sitjum uppi með annars stigs jöfnu, sem við kunnum að leysa. Ef það mistekst, þá er ekki um annað að ræða en að renna gegnum skrefin í útleiðslunni á lausnarformúlunni, því það er miklu auðveldara að muna þau en formúluna sjálfa.

Fyrst fylgjum við í fótspor Niccolò Tartaglia: við framkvæmum breytuskiptin x = y - a/3, en við það breytist jafnan

x3 + a x2 + b x + c = 0     í   

y3 + p y + q = 0

þar sem stuðlarnir p og q fást með smá reikningi út frá a, b og c. Næst setjum við inn y = w - p/3w og margföldum í gegnum jöfnuna með w3, en þá erum við komin með

(w3)2 + q w3 - p3/27 = 0.

Þessa jöfnu getum við leyst með því að líta á hana sem annars stigs jöfnu þar sem w3 er óþekkta breytan. Þegar við erum búin að því getum við tekið þriðju rótina af lausnunum til að finna w, og svo rekjum við okkur skref fyrir skref til baka og fáum að lokum eina, tvær eða þrjár lausnir á upphaflegu jöfnunni. Að minnsta kosti ein lausnin verður rauntala, en hinar tvær gætu verið tvinntölulausnir.

Hugrakkir lesendur geta nú rakið sig gegnum öll breytuskiptin hér að ofan og fundið almenna formúlu fyrir lausnum þriðja stigs jöfnu, sem er alla vega ágætis æfing í algebru. Það er athyglisvert að á meðan það er til sambærileg formúla fyrir lausnum jafna af fjórða stigi, þá er engin slík formúla til fyrir jöfnur af fimmta stigi eða hærra. Þetta er ekki af því að stærðfræðingum hefur ekki tekist að finna slíkar formúlur, heldur hafa þeir þvert á móti sannað að þó jöfnur af fimmta stigi og hærra hafi alltaf að minnsta kosti eina tvinntölulausn, þá er almennt ekki til nein formúla sem gefur lausnirnar og því þarf að beita öðrum aðferðum til að leysa slíkar jöfnur.

Tengt efni á Vísindavefnum:

Heimildir og myndir:

...