Senda inn spurningu
Sólin Sólin Rís 05:12 • sest 21:41 í Reykjavík
Tunglið Tunglið Rís 00:00 • Sest 00:00 í Reykjavík
Flóð Flóð Árdegis: 08:09 • Síðdegis: 20:27 í Reykjavík
Fjaran Fjara Árdegis: 02:12 • Síðdegis: 14:14 í Reykjavík
Visit the English version

Flokkun:

Náttúruvísindi og verkfræði Stærðfræði

Hvers vegna hafa allar margliður að minnsta kosti eina rót í mengi tvinntalnanna?

Gunnar Þór Magnússon

Við skulum byrja á að rifja upp hvað margliður og tvinntölur eru svo að allir viti hvað um er rætt. Tvinntala er tala á forminu a + ib, þar sem a og b eru venjulegar rauntölur, og i er fasti sem uppfyllir að i2 = -1. Allar venjulegar rauntölur eru líka tvinntölur, því ef a er rauntala þá má skrifa hana sem a + i*0. Tvinntölur eru mjög gagnlegt fyrirbæri í stærðfræði og einfalda marga útreikninga.

Margliða er fall p sem má skrifa á forminu

\[p(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+...+a_{n}x^{n}\]

Hér eru a0, ..., an einhverjar gefnar raun- eða tvinntölur, n er náttúrleg tala sem við köllum stig margliðunnar, og x stendur fyrir óþekkta breytu. Við notum oft bókstafina z og w til að tákna óþekktu breytuna ef um tvinntölur er að ræða. Dæmi um margliður eru föllin p(x) = x2 + 1 og q(x) = 2x - 4. Þegar við skoðum margliður höfum við oft áhuga á núllstöðvum þeirra, en ef p er margliða, þá er núllstöð hennar tala t þannig að p(t) = 0. Til dæmis hefur margliðan q að ofan núllstöðina 2.

Þeir sem hafa lært einhverja stærðfræði í menntaskóla vita að ekki hafa allar margliður núllstöð. Við sjáum að það er alveg sama hvaða rauntölu maður setur í stað x í p(x) = x2 + 1, útkoman er alltaf stærri eða jöfn 1, og því sér í lagi stærri en 0. Þar með hefur p enga núllstöð. Ef við innleiðum tvinntölurnar breytist staðan, því þá gildir um margliðuna p að ofan að

\[p(i)=i^{2}+1=-1+1=0\]

Nú er hægt að spyrja sig hvort það sama gildi um allar margliður: Ef okkur er gefin einhver margliða r af stigi stærra eða jöfnu 1, getum við þá fullyrt að til sé tvinntala t þannig að r(t) = 0?

Þessi fullyrðing er kölluð undirstöðusetning algebrunnar, og spurningin um hvort hún sé sönn eða ekki skiptir miklu máli fyrir þróun tvinntalnanna. Þær voru innleiddar til að leysa jöfnur af taginu x2 + 1 = 0, og því var mikilvægt að vita hvort þær nægðu einnig til að leysa jöfnur eins og x4 + x2 + 1 = 0 og x4 + 1 = 0, eða hvort eitthvað meira þyrfti til.



Eins og nafnið undirstöðusetning gefur til kynna er fullyrðingin sönn, og sérhver margliða sem er ekki föst hefur rót í mengi tvinntalnanna. Það tók langan tíma að sanna fullyrðinguna; til er bók frá 1629 þar sem hún er sett fram, en fyrsta sönnunin sem stenst kröfur nútímans um nákvæmni birtist ekki fyrr en 1806. Í dag er til aragrúi sannana á undirstöðusetningunni, sem byggja á mörgum mismunandi hugmyndum, og fjöldinn er slíkur að stundum spaugast stærðfræðingar með að góður mælikvarði á hvort setning sé einhvers virði eða ekki, sé hvort það sé hægt að nota hana til að sanna undirstöðusetningu algebrunnar.

Vegna þess að setningin er svo víðtæk, og vegna fjölda mismunandi sannana, er nokkuð erfitt að benda á einhverja ákveðna eiginleika margliðanna og tvinntalnanna sem ástæðu fyrir því að undirstöðusetningin er sönn. Ef maður skoðar nokkrar sannanir kemur í ljós að margar þeirra sem byggja á greiningu nota tvinnfallagreiningu, og þá staðreynd að margliður eru fáguð föll, en það þýðir að þær eru deildanlegar með tilliti til tvinnbreytunnar z.

Þessar sannanir byggja oft á þeirri staðreynd að tölugildi fallgilda margliðu stefna á óendanlegt þegar tölugildi punktanna sem við reiknum gildin í gera það sama, það er að

\(\left | p(z) \right | \to \infty\), þegar \(\left | z \right | \to \infty \)

Með þetta að vopni, auk þess að afleiða margliðu er margliða af lægra stigi, og því að margliða af stigi n hefur í mesta lagi n núllstöðvar, má sanna undirstöðusetninguna án þess að grípa til megin niðurstaðna tvinnfallagreiningar. Það er því hægt að segja að þessar þrjár staðreyndir um margliður, eða alla vega þeir eiginleikar margliðna sem liggja að baki þeim, séu hluti ástæðunnar fyrir því að undirstöðusetningin er sönn.

Þetta segir ekki alla söguna, því til eru sannanir sem byggja frekar á algebru, og nota hvorki vaxtarskilyrðið að ofan né einhverjar niðurstöður tvinnfallagreiningar. Þetta verður þó að nægja okkur, því það að ætla að fara í gegnum hverja einustu sönnun og átta sig á nákvæmlega hvaða eiginleika margliðanna og tvinntalnanna er verið að nota hverju sinni er efni í nokkuð stórt rannsóknarverkefni, sem tæki sennilega einhverja mánuði eða ár að ljúka.

Tengt efni á Vísindavefnum:

Mynd og lesefni á netinu:

  • Mynd fengin af Flickr síðu Akash k, birt undir Creative commons skírteini.
  • Grein um undirstöðusetningu algebrunnar á Wikipedia.
  • Nokkrar sannanir á undirstöðusetningu algebrunnar.

Höfundur

Gunnar Þór Magnússon

Gunnar Þór Magnússon

stærðfræðingur

Útgáfudagur

27.10.2008

Spyrjandi

Örn Arnaldsson

Efnisorð

Tilvísun

Gunnar Þór Magnússon. „Hvers vegna hafa allar margliður að minnsta kosti eina rót í mengi tvinntalnanna?“ Vísindavefurinn, 27. október 2008. Sótt 27. apríl 2024. http://visindavefur.is/svar.php?id=13810.

Gunnar Þór Magnússon. (2008, 27. október). Hvers vegna hafa allar margliður að minnsta kosti eina rót í mengi tvinntalnanna? Vísindavefurinn. Sótt af http://visindavefur.is/svar.php?id=13810

Gunnar Þór Magnússon. „Hvers vegna hafa allar margliður að minnsta kosti eina rót í mengi tvinntalnanna?“ Vísindavefurinn. 27. okt. 2008. Vefsíða. 27. apr. 2024. <http://visindavefur.is/svar.php?id=13810>.

Chicago | APA | MLA

Þessi síða notar vafrakökur Nánari upplýsingar

Ég samþykki
Spyrja

Sendu inn spurningu LeiðbeiningarTil baka

Hér getur þú sent okkur nýjar spurningar um vísindaleg efni.

Hafðu spurninguna stutta og hnitmiðaða og sendu aðeins eina í einu. Einlægar og vandaðar spurningar um mikilvæg efni eru líklegastar til að kalla fram vönduð og greið svör. Ekki er víst að tími vinnist til að svara öllum spurningum.

Persónulegar upplýsingar um spyrjendur eru eingöngu notaðar í starfsemi vefsins, til dæmis til að svör verði við hæfi spyrjenda. Spurningum er ekki sinnt ef spyrjandi villir á sér heimildir eða segir ekki nægileg deili á sér.

Spurningum sem eru ekki á verksviði vefsins er eytt.

Að öðru leyti er hægt að spyrja Vísindavefinn um allt milli himins og jarðar!

=

Senda grein til vinar

=

Hvers vegna hafa allar margliður að minnsta kosti eina rót í mengi tvinntalnanna?
Við skulum byrja á að rifja upp hvað margliður og tvinntölur eru svo að allir viti hvað um er rætt. Tvinntala er tala á forminu a + ib, þar sem a og b eru venjulegar rauntölur, og i er fasti sem uppfyllir að i2 = -1. Allar venjulegar rauntölur eru líka tvinntölur, því ef a er rauntala þá má skrifa hana sem a + i*0. Tvinntölur eru mjög gagnlegt fyrirbæri í stærðfræði og einfalda marga útreikninga.

Margliða er fall p sem má skrifa á forminu

\[p(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+...+a_{n}x^{n}\]

Hér eru a0, ..., an einhverjar gefnar raun- eða tvinntölur, n er náttúrleg tala sem við köllum stig margliðunnar, og x stendur fyrir óþekkta breytu. Við notum oft bókstafina z og w til að tákna óþekktu breytuna ef um tvinntölur er að ræða. Dæmi um margliður eru föllin p(x) = x2 + 1 og q(x) = 2x - 4. Þegar við skoðum margliður höfum við oft áhuga á núllstöðvum þeirra, en ef p er margliða, þá er núllstöð hennar tala t þannig að p(t) = 0. Til dæmis hefur margliðan q að ofan núllstöðina 2.

Þeir sem hafa lært einhverja stærðfræði í menntaskóla vita að ekki hafa allar margliður núllstöð. Við sjáum að það er alveg sama hvaða rauntölu maður setur í stað x í p(x) = x2 + 1, útkoman er alltaf stærri eða jöfn 1, og því sér í lagi stærri en 0. Þar með hefur p enga núllstöð. Ef við innleiðum tvinntölurnar breytist staðan, því þá gildir um margliðuna p að ofan að

\[p(i)=i^{2}+1=-1+1=0\]

Nú er hægt að spyrja sig hvort það sama gildi um allar margliður: Ef okkur er gefin einhver margliða r af stigi stærra eða jöfnu 1, getum við þá fullyrt að til sé tvinntala t þannig að r(t) = 0?

Þessi fullyrðing er kölluð undirstöðusetning algebrunnar, og spurningin um hvort hún sé sönn eða ekki skiptir miklu máli fyrir þróun tvinntalnanna. Þær voru innleiddar til að leysa jöfnur af taginu x2 + 1 = 0, og því var mikilvægt að vita hvort þær nægðu einnig til að leysa jöfnur eins og x4 + x2 + 1 = 0 og x4 + 1 = 0, eða hvort eitthvað meira þyrfti til.



Eins og nafnið undirstöðusetning gefur til kynna er fullyrðingin sönn, og sérhver margliða sem er ekki föst hefur rót í mengi tvinntalnanna. Það tók langan tíma að sanna fullyrðinguna; til er bók frá 1629 þar sem hún er sett fram, en fyrsta sönnunin sem stenst kröfur nútímans um nákvæmni birtist ekki fyrr en 1806. Í dag er til aragrúi sannana á undirstöðusetningunni, sem byggja á mörgum mismunandi hugmyndum, og fjöldinn er slíkur að stundum spaugast stærðfræðingar með að góður mælikvarði á hvort setning sé einhvers virði eða ekki, sé hvort það sé hægt að nota hana til að sanna undirstöðusetningu algebrunnar.

Vegna þess að setningin er svo víðtæk, og vegna fjölda mismunandi sannana, er nokkuð erfitt að benda á einhverja ákveðna eiginleika margliðanna og tvinntalnanna sem ástæðu fyrir því að undirstöðusetningin er sönn. Ef maður skoðar nokkrar sannanir kemur í ljós að margar þeirra sem byggja á greiningu nota tvinnfallagreiningu, og þá staðreynd að margliður eru fáguð föll, en það þýðir að þær eru deildanlegar með tilliti til tvinnbreytunnar z.

Þessar sannanir byggja oft á þeirri staðreynd að tölugildi fallgilda margliðu stefna á óendanlegt þegar tölugildi punktanna sem við reiknum gildin í gera það sama, það er að

\(\left | p(z) \right | \to \infty\), þegar \(\left | z \right | \to \infty \)

Með þetta að vopni, auk þess að afleiða margliðu er margliða af lægra stigi, og því að margliða af stigi n hefur í mesta lagi n núllstöðvar, má sanna undirstöðusetninguna án þess að grípa til megin niðurstaðna tvinnfallagreiningar. Það er því hægt að segja að þessar þrjár staðreyndir um margliður, eða alla vega þeir eiginleikar margliðna sem liggja að baki þeim, séu hluti ástæðunnar fyrir því að undirstöðusetningin er sönn.

Þetta segir ekki alla söguna, því til eru sannanir sem byggja frekar á algebru, og nota hvorki vaxtarskilyrðið að ofan né einhverjar niðurstöður tvinnfallagreiningar. Þetta verður þó að nægja okkur, því það að ætla að fara í gegnum hverja einustu sönnun og átta sig á nákvæmlega hvaða eiginleika margliðanna og tvinntalnanna er verið að nota hverju sinni er efni í nokkuð stórt rannsóknarverkefni, sem tæki sennilega einhverja mánuði eða ár að ljúka.

Tengt efni á Vísindavefnum:

Mynd og lesefni á netinu:

  • Mynd fengin af Flickr síðu Akash k, birt undir Creative commons skírteini.
  • Grein um undirstöðusetningu algebrunnar á Wikipedia.
  • Nokkrar sannanir á undirstöðusetningu algebrunnar.
...