Senda inn spurningu
Sólin Sólin Rís 10:55 • sest 15:41 í Reykjavík
Tunglið Tunglið Rís 25:21 • Sest 14:55 í Reykjavík
Flóð Flóð Árdegis: 12:08 • Síðdegis: 24:54 í Reykjavík
Fjaran Fjara Árdegis: 05:43 • Síðdegis: 18:36 í Reykjavík
Visit the English version

Flokkun:

Náttúruvísindi og verkfræði Stærðfræði

Hvort eru fleiri mínus- eða plústölur í talnakerfi okkar?

Stefán Ingi Valdimarsson og Ögmundur Jónsson

Fyrir hverja jákvæða tölu er alltaf hægt að finna eina neikvæða, nefnilega með því að setja mínus fyrir framan hana. Fyrir hverja neikvæða tölu má eins finna eina jákvæða, með því að taka mínusinn burt. Auk þess fær maður aldrei sömu neikvæðu töluna fyrir tvær mismunandi jákvæðar tölur og öfugt. Þannig er hægt að para saman tölurnar tvær og tvær og hver tala kemur aðeins fyrir í einu slíku pari. Þegar þetta á við um tvö mengi, eins og mengi jákvæðra og neikvæðra talna, er sagt að hægt sé að finna gagntæka vörpun milli þeirra og er þetta skilgreining þess að þau séu jafnstór. Þetta gildir og hefur merkingu þó að óendanlega mörg stök séu í báðum mengjunum.

Þegar rætt er um fjölda í óendanlegum mengjum er ýmislegt sem kann að koma á óvart. Til að mynda eru heilar tölur jafnmargar og sléttar tölur! Þetta sést af því að fyrir sér hverja heila tölu $n$ má finna slétta tölu $2\cdot n$ og fyrir sérhverja slétta tölu $m$ má finna heila tölu $\frac{m}{2}$. Hér er því fundin gagntæk vörpun milli heilla talna og sléttra talna.

Talnamengi sem eru jafnstór og heilu tölurnar kallast teljanleg. Þetta kemur til af því að hægt er að taka stökin í slíku mengi og tölusetja þau og telja með heilu tölunum eins og við erum vön með endanleg mengi. Munurinn er hins vegar sá að við getum aldrei hætt að telja þegar við tölusetjum teljanleg en óendanleg mengi, mengið klárast aldrei. Annað mengi sem er jafnstórt og heilu tölurnar er til dæmis ræðu tölurnar.

Nú kann að koma á óvart að til eru óendanleg mengi sem innihalda fleiri stök en heilu tölurnar, til dæmis er mengi rauntalna óendanlegt og óteljanlegt og því stærra en mengi heilla talna.

Höfundar

Stefán Ingi Valdimarsson

sérfræðingur á Stærðfræðistofu Raunvísindastofnunar Háskóla Íslands

Ögmundur Jónsson

heimspekinemi við HÍ

Útgáfudagur

27.10.2000

Spyrjandi

Helgi Baldvinsson

Efnisorð

Tilvísun

Stefán Ingi Valdimarsson og Ögmundur Jónsson. „Hvort eru fleiri mínus- eða plústölur í talnakerfi okkar?“ Vísindavefurinn, 27. október 2000. Sótt 5. desember 2023. http://visindavefur.is/svar.php?id=1047.

Stefán Ingi Valdimarsson og Ögmundur Jónsson. (2000, 27. október). Hvort eru fleiri mínus- eða plústölur í talnakerfi okkar? Vísindavefurinn. Sótt af http://visindavefur.is/svar.php?id=1047

Stefán Ingi Valdimarsson og Ögmundur Jónsson. „Hvort eru fleiri mínus- eða plústölur í talnakerfi okkar?“ Vísindavefurinn. 27. okt. 2000. Vefsíða. 5. des. 2023. <http://visindavefur.is/svar.php?id=1047>.

Chicago | APA | MLA

Tengd svör

Þessi síða notar vafrakökur Nánari upplýsingar

Ég samþykki
Spyrja

Sendu inn spurningu LeiðbeiningarTil baka

Hér getur þú sent okkur nýjar spurningar um vísindaleg efni.

Hafðu spurninguna stutta og hnitmiðaða og sendu aðeins eina í einu. Einlægar og vandaðar spurningar um mikilvæg efni eru líklegastar til að kalla fram vönduð og greið svör. Ekki er víst að tími vinnist til að svara öllum spurningum.

Persónulegar upplýsingar um spyrjendur eru eingöngu notaðar í starfsemi vefsins, til dæmis til að svör verði við hæfi spyrjenda. Spurningum er ekki sinnt ef spyrjandi villir á sér heimildir eða segir ekki nægileg deili á sér.

Spurningum sem eru ekki á verksviði vefsins er eytt.

Að öðru leyti er hægt að spyrja Vísindavefinn um allt milli himins og jarðar!

=

Senda grein til vinar

=

Hvort eru fleiri mínus- eða plústölur í talnakerfi okkar?
Fyrir hverja jákvæða tölu er alltaf hægt að finna eina neikvæða, nefnilega með því að setja mínus fyrir framan hana. Fyrir hverja neikvæða tölu má eins finna eina jákvæða, með því að taka mínusinn burt. Auk þess fær maður aldrei sömu neikvæðu töluna fyrir tvær mismunandi jákvæðar tölur og öfugt. Þannig er hægt að para saman tölurnar tvær og tvær og hver tala kemur aðeins fyrir í einu slíku pari. Þegar þetta á við um tvö mengi, eins og mengi jákvæðra og neikvæðra talna, er sagt að hægt sé að finna gagntæka vörpun milli þeirra og er þetta skilgreining þess að þau séu jafnstór. Þetta gildir og hefur merkingu þó að óendanlega mörg stök séu í báðum mengjunum.

Þegar rætt er um fjölda í óendanlegum mengjum er ýmislegt sem kann að koma á óvart. Til að mynda eru heilar tölur jafnmargar og sléttar tölur! Þetta sést af því að fyrir sér hverja heila tölu $n$ má finna slétta tölu $2\cdot n$ og fyrir sérhverja slétta tölu $m$ má finna heila tölu $\frac{m}{2}$. Hér er því fundin gagntæk vörpun milli heilla talna og sléttra talna.

Talnamengi sem eru jafnstór og heilu tölurnar kallast teljanleg. Þetta kemur til af því að hægt er að taka stökin í slíku mengi og tölusetja þau og telja með heilu tölunum eins og við erum vön með endanleg mengi. Munurinn er hins vegar sá að við getum aldrei hætt að telja þegar við tölusetjum teljanleg en óendanleg mengi, mengið klárast aldrei. Annað mengi sem er jafnstórt og heilu tölurnar er til dæmis ræðu tölurnar.

Nú kann að koma á óvart að til eru óendanleg mengi sem innihalda fleiri stök en heilu tölurnar, til dæmis er mengi rauntalna óendanlegt og óteljanlegt og því stærra en mengi heilla talna....