Senda inn spurningu
Sólin Sólin Rís 08:48 • sest 18:35 í Reykjavík
Tunglið Tunglið Rís 15:00 • Sest 09:39 í Reykjavík
Flóð Flóð Árdegis: 05:23 • Síðdegis: 17:47 í Reykjavík
Fjaran Fjara Árdegis: 11:44 • Síðdegis: 23:51 í Reykjavík
Visit the English version

Flokkun:

Náttúruvísindi og verkfræði Stærðfræði

Er mengi rauntalna hlutmengi í mengi tvinntalna?

Þorsteinn Vilhjálmsson og Ögmundur Jónsson

Svarið við þessari spurningu er já. Við skulum skoða af hverju.

Tvinntala er tala sem skrifa má á forminu $z =x+iy$, þar sem $x$ og $y$ eru rauntölur. Talan $i$ er skilgreind þannig að $i^2 = -1$. Talan $x$ kallast raunhluti og $y$ þverhluti tölunnar $z$. Tvö sértilvik er vert að athuga. Ef $x = 0$ er $z = 0 + iy = iy$, það er að segja að $z$ hefur aðeins þverhluta og kallast þvertala. En ef $y = 0$ er $z = x + i\cdot0 = x$, það er að segja að $z$ er rauntala. Sérhverja rauntölu má því skrifa sem tvinntölu og rauntölumengið $\mathbb{R}$ er hlutmengi í mengi tvinntalna $\mathbb{C}$. Þvertölumengið er samkvæmt framansögðu líka hlutmengi í $\mathbb{C}$. Þó er sá munurinn að þvertölumengið er ekki lokað gagnvart margföldun sem kallað er: Þegar tvær þvertölur eru margfaldaðar saman kemur út rauntala. Því má segja að þvertölumengið sé ekki eins sjálfstætt og hin mengin.

Tvinntölur eru til margra hluta nytsamlegar í stærðfræði og skyldum greinum, og margvíslegar ástæður voru til þess að menn innleiddu þær á 18.-19. öld og hófu að rannsaka þær og nota. Einn af mikilvægum eiginleikum tvinntalna tengist margliðum. $n$-ta stigs margliða af $z$ er fall sem skrifa má sem$$P(x)=a_0+a_1\cdot z +a_2\cdot z^2+ ... + a_n\cdot z^n$$ þar sem stuðlarnir $a_0$, $a_1$, $a_2$, ..., $a_n$ eru rauntölur að svo stöddu. Ef leyfileg gildi á $z$ eru bundin við rauntölur er engan veginn víst að margliðan hafi rætur eða núllstöðvar sem kallað er, það er að segja að til séu rauntölur $x$ þannig að $P(x)= 0$. Hins vegar eru alltaf til tvinntölur $z$ þannig að $P(z)= 0$ og þær eru reyndar í vissum skilningi alltaf $n$ talsins.

Í almennri, hefðbundinni eðlisfræði eru tvinntölur notaðar á ýmsan hátt, til að mynda við stærðfræðilega meðferð á sveiflum og bylgjum, þar á meðal í riðstraumsrásum. Þó að stærðir sem eðlisfræðingar og verkfræðingar lesa af mælitækjum sínum séu auðvitað rauntölur, og reyndar ræðar tölur ef út í það er farið, þá hefur reynst afar hagkvæmt og skýrandi að beita tvinntölum í ýmsum millireikningum.

Auk þess eru tvinntölur eitt megintæki skammtafræðinnar, sem sést meðal annars af því að sjálft bylgjufall Schrödingers tekur tvinntölugildi og eiginleikar tvinntalna eru snar þáttur í allri uppbyggingu skammtafræðinnar. Tvinntölur koma einnig mjög við sögu í allri kennilegri eðlisfræði nútímans. Þar beita menn til dæmis svokallaðri tvinnfallagreiningu (complex analysis) sem fjallar um föll af tvinntölum sem taka tvinntölugildi.

Höfundar

Þorsteinn Vilhjálmsson

Þorsteinn Vilhjálmsson

prófessor emeritus, ritstjóri Vísindavefsins 2000-2010 og ritstjóri Evrópuvefsins 2011

Ögmundur Jónsson

heimspekinemi við HÍ

Útgáfudagur

28.10.2000

Spyrjandi

Freyr Hermannsson

Efnisorð

Tilvísun

Þorsteinn Vilhjálmsson og Ögmundur Jónsson. „Er mengi rauntalna hlutmengi í mengi tvinntalna?“ Vísindavefurinn, 28. október 2000. Sótt 25. febrúar 2021. http://visindavefur.is/svar.php?id=1048.

Þorsteinn Vilhjálmsson og Ögmundur Jónsson. (2000, 28. október). Er mengi rauntalna hlutmengi í mengi tvinntalna? Vísindavefurinn. Sótt af http://visindavefur.is/svar.php?id=1048

Þorsteinn Vilhjálmsson og Ögmundur Jónsson. „Er mengi rauntalna hlutmengi í mengi tvinntalna?“ Vísindavefurinn. 28. okt. 2000. Vefsíða. 25. feb. 2021. <http://visindavefur.is/svar.php?id=1048>.

Chicago | APA | MLA

Tengd svör

Þessi síða notar vafrakökur Nánari upplýsingar

Ég samþykki
Spyrja

Sendu inn spurningu LeiðbeiningarTil baka

Hér getur þú sent okkur nýjar spurningar um vísindaleg efni.

Hafðu spurninguna stutta og hnitmiðaða og sendu aðeins eina í einu. Einlægar og vandaðar spurningar um mikilvæg efni eru líklegastar til að kalla fram vönduð og greið svör. Ekki er víst að tími vinnist til að svara öllum spurningum.

Persónulegar upplýsingar um spyrjendur eru eingöngu notaðar í starfsemi vefsins, til dæmis til að svör verði við hæfi spyrjenda. Spurningum er ekki sinnt ef spyrjandi villir á sér heimildir eða segir ekki nægileg deili á sér.

Spurningum sem eru ekki á verksviði vefsins er eytt.

Að öðru leyti er hægt að spyrja Vísindavefinn um allt milli himins og jarðar!

=

Senda grein til vinar

=

Er mengi rauntalna hlutmengi í mengi tvinntalna?
Svarið við þessari spurningu er já. Við skulum skoða af hverju.

Tvinntala er tala sem skrifa má á forminu $z =x+iy$, þar sem $x$ og $y$ eru rauntölur. Talan $i$ er skilgreind þannig að $i^2 = -1$. Talan $x$ kallast raunhluti og $y$ þverhluti tölunnar $z$. Tvö sértilvik er vert að athuga. Ef $x = 0$ er $z = 0 + iy = iy$, það er að segja að $z$ hefur aðeins þverhluta og kallast þvertala. En ef $y = 0$ er $z = x + i\cdot0 = x$, það er að segja að $z$ er rauntala. Sérhverja rauntölu má því skrifa sem tvinntölu og rauntölumengið $\mathbb{R}$ er hlutmengi í mengi tvinntalna $\mathbb{C}$. Þvertölumengið er samkvæmt framansögðu líka hlutmengi í $\mathbb{C}$. Þó er sá munurinn að þvertölumengið er ekki lokað gagnvart margföldun sem kallað er: Þegar tvær þvertölur eru margfaldaðar saman kemur út rauntala. Því má segja að þvertölumengið sé ekki eins sjálfstætt og hin mengin.

Tvinntölur eru til margra hluta nytsamlegar í stærðfræði og skyldum greinum, og margvíslegar ástæður voru til þess að menn innleiddu þær á 18.-19. öld og hófu að rannsaka þær og nota. Einn af mikilvægum eiginleikum tvinntalna tengist margliðum. $n$-ta stigs margliða af $z$ er fall sem skrifa má sem$$P(x)=a_0+a_1\cdot z +a_2\cdot z^2+ ... + a_n\cdot z^n$$ þar sem stuðlarnir $a_0$, $a_1$, $a_2$, ..., $a_n$ eru rauntölur að svo stöddu. Ef leyfileg gildi á $z$ eru bundin við rauntölur er engan veginn víst að margliðan hafi rætur eða núllstöðvar sem kallað er, það er að segja að til séu rauntölur $x$ þannig að $P(x)= 0$. Hins vegar eru alltaf til tvinntölur $z$ þannig að $P(z)= 0$ og þær eru reyndar í vissum skilningi alltaf $n$ talsins.

Í almennri, hefðbundinni eðlisfræði eru tvinntölur notaðar á ýmsan hátt, til að mynda við stærðfræðilega meðferð á sveiflum og bylgjum, þar á meðal í riðstraumsrásum. Þó að stærðir sem eðlisfræðingar og verkfræðingar lesa af mælitækjum sínum séu auðvitað rauntölur, og reyndar ræðar tölur ef út í það er farið, þá hefur reynst afar hagkvæmt og skýrandi að beita tvinntölum í ýmsum millireikningum.

Auk þess eru tvinntölur eitt megintæki skammtafræðinnar, sem sést meðal annars af því að sjálft bylgjufall Schrödingers tekur tvinntölugildi og eiginleikar tvinntalna eru snar þáttur í allri uppbyggingu skammtafræðinnar. Tvinntölur koma einnig mjög við sögu í allri kennilegri eðlisfræði nútímans. Þar beita menn til dæmis svokallaðri tvinnfallagreiningu (complex analysis) sem fjallar um föll af tvinntölum sem taka tvinntölugildi....