Sendu inn spurningu

Hér getur þú sent okkur nýjar spurningar um vísindaleg efni.

Hafðu spurninguna stutta og hnitmiðaða og sendu aðeins eina í einu. Einlægar og vandaðar spurningar um mikilvæg efni eru líklegastar til að kalla fram vönduð og greið svör. Ekki er víst að tími vinnist til að svara öllum spurningum.

Persónulegar upplýsingar um spyrjendur eru eingöngu notaðar í starfsemi vefsins, til dæmis til að svör verði við hæfi spyrjenda. Spurningum er ekki sinnt ef spyrjandi villir á sér heimildir eða segir ekki nægileg deili á sér.

Spurningum sem eru ekki á verksviði vefsins er eytt.

Að öðru leyti er hægt að spyrja Vísindavefinn um allt milli himins og jarðar!

Er mengi rauntalna hlutmengi í mengi tvinntalna?

Svarið við þessari spurningu er já. Við skulum skoða af hverju.

Tvinntala er tala sem skrifa má á forminu $z =x+iy$, þar sem $x$ og $y$ eru rauntölur. Talan $i$ er skilgreind þannig að $i^2 = -1$. Talan $x$ kallast raunhluti og $y$ þverhluti tölunnar $z$. Tvö sértilvik er vert að athuga. Ef $x = 0$ er $z = 0 + iy = iy$, það er að segja að $z$ hefur aðeins þverhluta og kallast þvertala. En ef $y = 0$ er $z = x + i\cdot0 = x$, það er að segja að $z$ er rauntala. Sérhverja rauntölu má því skrifa sem tvinntölu og rauntölumengið $\mathbb{R}$ er hlutmengi í mengi tvinntalna $\mathbb{C}$. Þvertölumengið er samkvæmt framansögðu líka hlutmengi í $\mathbb{C}$. Þó er sá munurinn að þvertölumengið er ekki lokað gagnvart margföldun sem kallað er: Þegar tvær þvertölur eru margfaldaðar saman kemur út rauntala. Því má segja að þvertölumengið sé ekki eins sjálfstætt og hin mengin.

Tvinntölur eru til margra hluta nytsamlegar í stærðfræði og skyldum greinum, og margvíslegar ástæður voru til þess að menn innleiddu þær á 18.-19. öld og hófu að rannsaka þær og nota. Einn af mikilvægum eiginleikum tvinntalna tengist margliðum. $n$-ta stigs margliða af $z$ er fall sem skrifa má sem$$P(x)=a_0+a_1\cdot z +a_2\cdot z^2+ ... + a_n\cdot z^n$$ þar sem stuðlarnir $a_0$, $a_1$, $a_2$, ..., $a_n$ eru rauntölur að svo stöddu. Ef leyfileg gildi á $z$ eru bundin við rauntölur er engan veginn víst að margliðan hafi rætur eða núllstöðvar sem kallað er, það er að segja að til séu rauntölur $x$ þannig að $P(x)= 0$. Hins vegar eru alltaf til tvinntölur $z$ þannig að $P(z)= 0$ og þær eru reyndar í vissum skilningi alltaf $n$ talsins.

Í almennri, hefðbundinni eðlisfræði eru tvinntölur notaðar á ýmsan hátt, til að mynda við stærðfræðilega meðferð á sveiflum og bylgjum, þar á meðal í riðstraumsrásum. Þó að stærðir sem eðlisfræðingar og verkfræðingar lesa af mælitækjum sínum séu auðvitað rauntölur, og reyndar ræðar tölur ef út í það er farið, þá hefur reynst afar hagkvæmt og skýrandi að beita tvinntölum í ýmsum millireikningum.

Auk þess eru tvinntölur eitt megintæki skammtafræðinnar, sem sést meðal annars af því að sjálft bylgjufall Schrödingers tekur tvinntölugildi og eiginleikar tvinntalna eru snar þáttur í allri uppbyggingu skammtafræðinnar. Tvinntölur koma einnig mjög við sögu í allri kennilegri eðlisfræði nútímans. Þar beita menn til dæmis svokallaðri tvinnfallagreiningu (complex analysis) sem fjallar um föll af tvinntölum sem taka tvinntölugildi.