Sólin
Rís 08:47 • sest 17:36
Tunglið
Rís 22:12 • Sest 17:57
Flóð
Árdegis: 11:42 • Síðdegis: 24:27
Fjara
Árdegis: 05:08 • Síðdegis: 18:15
Leit á vefnum
Stærðfræði
Er mengi rauntalna hlutmengi í mengi tvinntalna?
Svarið við þessari spurningu er já. Við skulum skoða af hverju. Tvinntala er tala sem skrifa má á forminu $z =x+iy$, þar sem $x$ og $y$ eru rauntölur. Talan $i$ er skilgreind þannig að $i^2 = -1$. Talan $x$ kallast raunhluti og $y$ þverhluti tölunnar $z$. Tvö sértilvik er vert að athuga. Ef $x = 0$ er $z = 0 +...
Náttúruvísindi og verkfræði
Hvað eru rauntölur?
Við höfum áður fjallað nokkuð um tölur á Vísindavefnum og bendum lesendum á að kynna sér sérstaklega svör við spurningunum Hvað eru náttúrlegar tölur? og Hvað eru heilar og ræðar tölur? Allt frá tímum Forngrikkja þekktu menn að þó ræðu tölurnar dugi til flestra verka, þá eru einnig til aðrar tölur. Í kringum 50...
Stærðfræði
Er hægt að sanna að mengi rauntalna, R, taki enda?
Svarið er nei; fullyrðingin er röng og því ekki von að hægt sé að sanna hana. Rauntölur eru allar þær tölur sem unnt er að skrifa sem óendanlega summu eða til dæmis sem óendanlegt tugabrot. Þar á meðal eru tölur sem hægt er að skrifa sem endanlega summu því að við getum alltaf bætt núllum við slíka summu til a...
Náttúruvísindi og verkfræði
Hvað eru óræðar tölur og hvernig tengist kvaðratrótin af 2 þeim?
Ekki er hægt að lýsa óræðum tölum án þess að fyrir liggi vitneskja um rauntölur og ræðar tölur. Segja má að rauntala sé samheiti yfir allar tölur sem má nota til að mæla lengdir strika í venjulegri rúmfræði, töluna $0$, og tilsvarandi neikvæðar tölur. Rauntölurnar má sjá fyrir sér á svokallaðri talnalínu, þar sem ...
Náttúruvísindi og verkfræði
Er hægt að búa til hvaða rauntölu sem er úr ræðum tölum með því að beita hefðbundnum reikniaðgerðum?
Stutta svarið við þessari spurningu er nei. Það er aðeins hægt að búa til sárafáar rauntölur með því að beita hefðbundnum reikniaðgerðum á ræðar tölur; til dæmis getum við hvorki búið til e né pí (\(\pi\)) þannig. Því miður er þetta of flókið að útskýra það hér til hlítar, en í staðinn getum við útskýrt hvernig má...
Stærðfræði
Hvenær var talan i og tvinntölur uppgötvaðar og til hvers gagnast þær?
Upprunalega spurningarnar hljóðuðu svona: Hvenær var talan i uppgötvuð og í hvaða tilgangi? Hvenær uppgötvuðu menn tvinntölur og til hvers gagnast þær? Rauntölur eru knöpp og handhæg aðferð til að setja fram fjölda og stærðir í rituðu máli. Eða hver vildi rita ártal eins og 2014 í orðum dags daglega? Og hve...
Stærðfræði
Hvort eru fleiri mínus- eða plústölur í talnakerfi okkar?
Fyrir hverja jákvæða tölu er alltaf hægt að finna eina neikvæða, nefnilega með því að setja mínus fyrir framan hana. Fyrir hverja neikvæða tölu má eins finna eina jákvæða, með því að taka mínusinn burt. Auk þess fær maður aldrei sömu neikvæðu töluna fyrir tvær mismunandi jákvæðar tölur og öfugt. Þannig er hægt að ...
Stærðfræði
Ég veðjaði við yfirmann minn og fæ launahækkun ef ég hef rétt fyrir mér: Er tvinntalan $i$ tala?
Spurningin í fullri lengd hljóðaði svona: Góðan dag. Ég er í veðmáli við yfirmann minn og ef ég hef rétt fyrir mér þá fæ ég launahækkun. Spurningin mín er þessi: Er tvinnTALAN $i$, tala? Eins og þegar við tölum um kvaðratrótina af -1 þar sem svarið er $i$. Kærar þakkir. Vísindavefurinn er stundum beðinn um ...
Náttúruvísindi og verkfræði
Eru tvinntölurnar til í raun og veru?
Tölurnar sem við notum skiptast í mismunandi flokka eða mengi sem eru misgömul í hugmyndasögunni. Elstar eru þær sem við köllum náttúrlegar tölur: 1, 2, 3 og svo framvegis. Þær hafa vafalítið fylgt mönnum frá örófi alda. Löngu áður en sögur hófust hafa menn viljað lýsa fjölda ýmissa hluta kringum sig og notað til ...
Náttúruvísindi og verkfræði
Hefur tilgáta Riemanns verið sönnuð?
Náttúrleg tala stærri en 1, sem er einungis deilanleg með 1 og sjálfri sér, nefnist frumtala (prímtala). Náttúrleg tala stærri en 1 nefnist samsett tala, ef hún er ekki frumtalan. Fyrstu frumtölurnar eru 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ... Allt frá því sögur hófust hafa menn rannsakað þessar tölur. Í bókum Evklíðs (...
Stærðfræði
Er talan 0,9999999.... = 1?
Já, það er rétt að óendanlega tugabrotið 0,999999... er jafnt 1. En áður en ég útskýri hvernig á því stendur er rétt að segja nokkur orð um hvað meint er með óendanlegum tugabrotum. Merkingu endanlegra tugabrota er einfalt að skilja. Tugabrotið 2,7 táknar 2 heilar einingar og 7 tíundu hluta af einingu. Broti...
Náttúruvísindi og verkfræði
Hvers vegna hafa allar margliður að minnsta kosti eina rót í mengi tvinntalnanna?
Við skulum byrja á að rifja upp hvað margliður og tvinntölur eru svo að allir viti hvað um er rætt. Tvinntala er tala á forminu a + ib, þar sem a og b eru venjulegar rauntölur, og i er fasti sem uppfyllir að i2 = -1. Allar venjulegar rauntölur eru líka tvinntölur, því ef a er rauntala þá má skrifa hana sem a + i*0...
Eðlisfræði: fræðileg
Getið þið útskýrt fjórðu víddina?
Skuggi sem venjuleg teningsgrind varpar er tvívíð mynd en fjórvíð teningsgrind gæti varpað þrívíðum skugga. Hér er slík skuggamynd af fjórvíðri teningsgrind í snúningi. (Smellið til að sjá hreyfimynd.)Í þessu svari verður að mestu skoðuð svokölluð evklíðsk rúmfræði, þar sem fjarlægðir eru líkar því sem við eigum a...
Náttúruvísindi og verkfræði
Hvernig er þriðja stigs jafna leyst án þess að nota tölvu?
Þeir sem hafa lært einhverja stærðfræði í framhaldsskóla muna örugglega eftir því að hafa lært að leysa jöfnur af gerðinni a x2 + b x + c = 0, þar sem tölurnar a, b og c eru einhverjar rauntölur sem eru kallaðar stuðlar jöfnunnar. Jöfnur af þessu tagi eru annars stigs jöfnur, nefndar eftir hæsta veldinu á óþekktu ...
Vísindi almennt
Er til lágmarksstærð?
Oft er erfitt að lifa sig inn í hugsunarhátt liðinna alda, ekki síst þegar heimildir eru götóttar eins og við á um forngrísku atómsinnana og hugmyndir sem kviknuðu kringum þá. En samkvæmt hugmyndum manna nú á dögum virðist mega skipta spurningunni um lágmarksstærð í tvennt: Er til lágmarksstærð í veruleikanum krin...