Senda inn spurningu
Sólin Sólin Rís 05:36 • sest 21:19 í Reykjavík
Tunglið Tunglið Rís 16:44 • Sest 05:50 í Reykjavík
Flóð Flóð Árdegis: 04:37 • Síðdegis: 17:05 í Reykjavík
Fjaran Fjara Árdegis: 10:57 • Síðdegis: 23:09 í Reykjavík
Visit the English version

Flokkun:

Náttúruvísindi og verkfræði Stærðfræði

Hvað eru óræðar tölur og hvernig tengist kvaðratrótin af 2 þeim?

Einar Bjarki Gunnarsson

Ekki er hægt að lýsa óræðum tölum án þess að fyrir liggi vitneskja um rauntölur og ræðar tölur. Segja má að rauntala sé samheiti yfir allar tölur sem má nota til að mæla lengdir strika í venjulegri rúmfræði, töluna $0$, og tilsvarandi neikvæðar tölur. Rauntölurnar má sjá fyrir sér á svokallaðri talnalínu, þar sem rauntölurnar $r$ og $-r$ ($r$ er jákvæð tala) liggja á þeim punktum talnalínunnar sem eru í fjarlægðinni $r$ frá tölunni $0$. Myndin að neðan sýnir hvernig heilu tölurnar raðast á talnalínuna.

Ræð tala er tala sem rita má sem hlutfall tveggja heilla talna, það er tala sem rita má á forminu $\frac{a}b$ þar sem $a$ og $b$ eru heilar tölur og $b$ er ekki núll. Talan $a$ kallast teljari brotsins $\frac{a}b$ og $b$ kallast nefnari þess. Sérhver ræð tala er líka rauntala og því hafa allar ræðar tölur sinn sess á talnalínunni. Myndin að neðan sýnir til dæmis hvernig ræðu tölurnar með nefnarann $4$ raðast á hana.

Hugsum okkur nú að við leggjum allar ræðar tölur á talnalínuna líkt og gert var fyrir ræðu tölurnar með nefnarann $4$ á myndinni að ofan. Við byrjum þá á því að leggja niður ræðu tölurnar með nefnarann $1$ (sem eru heilu tölurnar), síðan ræðu tölurnar með nefnarann $2$, þá með nefnarann $3$, og svo koll af kolli. Eftir því sem við leggjum fleiri ræðar tölur á talnalínuna verður hún sífellt þéttskipaðri og því er eðlilegt að spyrja sig hvort þetta ferli endi með því að ræðu tölurnar fylli alveg út í talnalínuna.

Það kemur í ljós að svo er ekki. Þegar ræðu tölurnar hafa verið lagðar á talnalínuna reynast þær ekki þekja hana, sem þýðir að hægt er að finna punkta á talnalínunni sem geyma enga ræða tölu. Þetta hefur í för með sér að til eru rauntölur sem eru ekki ræðar tölur, það er rauntölur sem ekki er hægt að rita sem hlutfall tveggja heilla talna. Slíkar rauntölur kallast einu nafni óræðar tölur.

Auðvitað er sú fullyrðing að ræðu tölurnar þeki ekki talnalínuna langt frá því að vera augljós; erfitt er að sjá fyrir sér hvernig talnalínan lítur út þegar allar ræðar tölur hafa verið lagðar á hana. Þessi fullyrðing, sem segir í raun að óræðu tölurnar séu til, hefur hins vegar verið sönnuð og talið er að Pýþagóringurinn Hippasus frá Metapontum hafi gert það fyrstur manna á 5. öld fyrir Krist.

Sönnun Hippasusar kollvarpaði hugmyndaheimi Pýþagóringa því þeir höfðu nánast trúarlega sannfæringu fyrir því að nota mætti heilar tölur til að lýsa öllum heimsins fyrirbærum. Ein sagan segir að Hippasus hafi uppgötvað sönnunina þegar hann var úti á sjó með öðrum Pýþagóringum og að þeir hafi varpað honum út fyrir borð þegar þeir fréttu af uppgötvuninni.

Sönnun Hippasusar á tilvist óræðu talnanna byggist á því að skoða jafnarma, rétthyrndan þríhyrning þar sem hliðarlengd beggja skammhliðanna er $1$.

Látum nú $x$ tákna lengd langhliðarinnar í þessum þríhyrningi. Samkvæmt reglu Pýþagórasar uppfyllir hún eftirfarandi jöfnu:

\[x^2 = 1^2 + 1^2 = 2.\]

Það sem Hippasus sannaði var að engin ræð tala geti uppfyllt þessa jöfnu. Þar með hafði hann sannað að talan $x$ á myndinni að ofan sé rauntala sem er ekki ræð tala og hún er því óræð tala. Sönnun Hippasusar er tiltölulega einföld og áhugasamir lesendur geta skoðað hana hér.

En hver er þessi tala $x$ sem Hippasus sannaði að væri óræð? Við sjáum að $x$ er jákvæð rauntala sem hefur þann eiginleika að $x^2 = 2$ og hún er þess vegna einmitt sú rauntala sem yfirleitt er kölluð kvaðratrótin af tveimur og er táknuð með $\sqrt2$. Kvaðratrótin af tveimur er sagnfræðilega merkileg fyrir þær sakir að hún var líklega fyrsta dæmið um óræða tölu sem mennirnir uppgötvuðu.

Kvaðratrótin af tveimur er þó ekki eina óræða talan sem þekkt er nú til dags. Fleiri dæmi um vel þekktar óræðar tölur eru $\pi$, hlutfallið milli ummáls og þvermáls hrings, og $e$, grunntala náttúrlega lograns. Einnig er sérhver kvaðratrót af náttúrulegri tölu, sem ekki er ferningstala (ferningstala er annað veldi heillrar tölu), óræð tala. Þannig eru til dæmis $\sqrt3$, $\sqrt5$ og $\sqrt{12}$ allt óræðar tölur. Óræðu tölurnar sem við þekkjum getum við síðan notað til að smíða nýjar óræðar tölur á ýmsa vegu. Til dæmis er summa ræðrar og óræðrar tölu alltaf óræð tala og sama gildir um margfeldi ræðrar og óræðrar tölu. Því eru $2 + \sqrt2$, $\frac{128}{13} + \pi$ og $\frac43 \cdot \sqrt 5$ allt óræðar tölur. Óræðu tölurnar eru reyndar svo margar að í skilningi stærðfræðinnar eru þær miklu fleiri en ræðu tölurnar.

Allar rauntölur má setja fram sem tugabrot og líklega er einfaldasta leiðin til að sjá fyrir sér muninn á ræðum og óræðum tölum að skoða tugabrotsframsetningu þeirra. Ræðu tölurnar eru lotubundnar, sem þýðir að þegar þær eru skrifaðar sem tugabrot endurtekur sama tölustafarunan sig aftur og aftur í aukastöfum þeirra. Til dæmis má rita $\frac13 = 0{,}3333\ldots$ (tölustafurinn 3 endurtekur sig aftur og aftur) og $\frac{21}{37} = 0{,}567567567\ldots$ (runan 567 endurtekur sig aftur og aftur). Ræðar tölur eins og $\frac14 = 0{,}25$ og $\frac{12}5 = 2{,}4$, sem hafa endanlega marga aukastafi, eru einnig lotubundnar því þær má rita sem $\frac14 = 0{,}25000\ldots$ og $\frac{12}5 = 2{,}4000\ldots$ (tölustafurinn 0 endurtekur sig aftur og aftur).

Óræðu tölurnar eru hins vegar þær rauntölur sem eru ekki lotubundnar, það er þær hafa óendanlega marga aukastafi og engin runa endurtekur sig aftur og aftur í aukastöfunum. Með öllum aukastöfum sem venjulegur vasareiknir sýnir má til dæmis nálga töluna $\sqrt2$ sem 1,414213562. Mun fleiri aukastafir $\sqrt2$ eru þó þekktir og til dæmis má finna vefsíður sem sýna að minnsta kosti fyrstu tíu milljónir aukastafa hennar.

Frekara lesefni á Vísindavefnum:

Upprunalega spurningin hljóðaði svo:

Hver er kvaðratrótin af 2?

Höfundur

Einar Bjarki Gunnarsson

Einar Bjarki Gunnarsson

nýdoktor í stærðfræði

Útgáfudagur

26.1.2011

Spyrjandi

Ólafur Kristinn

Efnisorð

Tilvísun

Einar Bjarki Gunnarsson. „Hvað eru óræðar tölur og hvernig tengist kvaðratrótin af 2 þeim?“ Vísindavefurinn, 26. janúar 2011. Sótt 20. apríl 2024. http://visindavefur.is/svar.php?id=10326.

Einar Bjarki Gunnarsson. (2011, 26. janúar). Hvað eru óræðar tölur og hvernig tengist kvaðratrótin af 2 þeim? Vísindavefurinn. Sótt af http://visindavefur.is/svar.php?id=10326

Einar Bjarki Gunnarsson. „Hvað eru óræðar tölur og hvernig tengist kvaðratrótin af 2 þeim?“ Vísindavefurinn. 26. jan. 2011. Vefsíða. 20. apr. 2024. <http://visindavefur.is/svar.php?id=10326>.

Chicago | APA | MLA

Þessi síða notar vafrakökur Nánari upplýsingar

Ég samþykki
Spyrja

Sendu inn spurningu LeiðbeiningarTil baka

Hér getur þú sent okkur nýjar spurningar um vísindaleg efni.

Hafðu spurninguna stutta og hnitmiðaða og sendu aðeins eina í einu. Einlægar og vandaðar spurningar um mikilvæg efni eru líklegastar til að kalla fram vönduð og greið svör. Ekki er víst að tími vinnist til að svara öllum spurningum.

Persónulegar upplýsingar um spyrjendur eru eingöngu notaðar í starfsemi vefsins, til dæmis til að svör verði við hæfi spyrjenda. Spurningum er ekki sinnt ef spyrjandi villir á sér heimildir eða segir ekki nægileg deili á sér.

Spurningum sem eru ekki á verksviði vefsins er eytt.

Að öðru leyti er hægt að spyrja Vísindavefinn um allt milli himins og jarðar!

=

Senda grein til vinar

=

Hvað eru óræðar tölur og hvernig tengist kvaðratrótin af 2 þeim?
Ekki er hægt að lýsa óræðum tölum án þess að fyrir liggi vitneskja um rauntölur og ræðar tölur. Segja má að rauntala sé samheiti yfir allar tölur sem má nota til að mæla lengdir strika í venjulegri rúmfræði, töluna $0$, og tilsvarandi neikvæðar tölur. Rauntölurnar má sjá fyrir sér á svokallaðri talnalínu, þar sem rauntölurnar $r$ og $-r$ ($r$ er jákvæð tala) liggja á þeim punktum talnalínunnar sem eru í fjarlægðinni $r$ frá tölunni $0$. Myndin að neðan sýnir hvernig heilu tölurnar raðast á talnalínuna.

Ræð tala er tala sem rita má sem hlutfall tveggja heilla talna, það er tala sem rita má á forminu $\frac{a}b$ þar sem $a$ og $b$ eru heilar tölur og $b$ er ekki núll. Talan $a$ kallast teljari brotsins $\frac{a}b$ og $b$ kallast nefnari þess. Sérhver ræð tala er líka rauntala og því hafa allar ræðar tölur sinn sess á talnalínunni. Myndin að neðan sýnir til dæmis hvernig ræðu tölurnar með nefnarann $4$ raðast á hana.

Hugsum okkur nú að við leggjum allar ræðar tölur á talnalínuna líkt og gert var fyrir ræðu tölurnar með nefnarann $4$ á myndinni að ofan. Við byrjum þá á því að leggja niður ræðu tölurnar með nefnarann $1$ (sem eru heilu tölurnar), síðan ræðu tölurnar með nefnarann $2$, þá með nefnarann $3$, og svo koll af kolli. Eftir því sem við leggjum fleiri ræðar tölur á talnalínuna verður hún sífellt þéttskipaðri og því er eðlilegt að spyrja sig hvort þetta ferli endi með því að ræðu tölurnar fylli alveg út í talnalínuna.

Það kemur í ljós að svo er ekki. Þegar ræðu tölurnar hafa verið lagðar á talnalínuna reynast þær ekki þekja hana, sem þýðir að hægt er að finna punkta á talnalínunni sem geyma enga ræða tölu. Þetta hefur í för með sér að til eru rauntölur sem eru ekki ræðar tölur, það er rauntölur sem ekki er hægt að rita sem hlutfall tveggja heilla talna. Slíkar rauntölur kallast einu nafni óræðar tölur.

Auðvitað er sú fullyrðing að ræðu tölurnar þeki ekki talnalínuna langt frá því að vera augljós; erfitt er að sjá fyrir sér hvernig talnalínan lítur út þegar allar ræðar tölur hafa verið lagðar á hana. Þessi fullyrðing, sem segir í raun að óræðu tölurnar séu til, hefur hins vegar verið sönnuð og talið er að Pýþagóringurinn Hippasus frá Metapontum hafi gert það fyrstur manna á 5. öld fyrir Krist.

Sönnun Hippasusar kollvarpaði hugmyndaheimi Pýþagóringa því þeir höfðu nánast trúarlega sannfæringu fyrir því að nota mætti heilar tölur til að lýsa öllum heimsins fyrirbærum. Ein sagan segir að Hippasus hafi uppgötvað sönnunina þegar hann var úti á sjó með öðrum Pýþagóringum og að þeir hafi varpað honum út fyrir borð þegar þeir fréttu af uppgötvuninni.

Sönnun Hippasusar á tilvist óræðu talnanna byggist á því að skoða jafnarma, rétthyrndan þríhyrning þar sem hliðarlengd beggja skammhliðanna er $1$.

Látum nú $x$ tákna lengd langhliðarinnar í þessum þríhyrningi. Samkvæmt reglu Pýþagórasar uppfyllir hún eftirfarandi jöfnu:

\[x^2 = 1^2 + 1^2 = 2.\]

Það sem Hippasus sannaði var að engin ræð tala geti uppfyllt þessa jöfnu. Þar með hafði hann sannað að talan $x$ á myndinni að ofan sé rauntala sem er ekki ræð tala og hún er því óræð tala. Sönnun Hippasusar er tiltölulega einföld og áhugasamir lesendur geta skoðað hana hér.

En hver er þessi tala $x$ sem Hippasus sannaði að væri óræð? Við sjáum að $x$ er jákvæð rauntala sem hefur þann eiginleika að $x^2 = 2$ og hún er þess vegna einmitt sú rauntala sem yfirleitt er kölluð kvaðratrótin af tveimur og er táknuð með $\sqrt2$. Kvaðratrótin af tveimur er sagnfræðilega merkileg fyrir þær sakir að hún var líklega fyrsta dæmið um óræða tölu sem mennirnir uppgötvuðu.

Kvaðratrótin af tveimur er þó ekki eina óræða talan sem þekkt er nú til dags. Fleiri dæmi um vel þekktar óræðar tölur eru $\pi$, hlutfallið milli ummáls og þvermáls hrings, og $e$, grunntala náttúrlega lograns. Einnig er sérhver kvaðratrót af náttúrulegri tölu, sem ekki er ferningstala (ferningstala er annað veldi heillrar tölu), óræð tala. Þannig eru til dæmis $\sqrt3$, $\sqrt5$ og $\sqrt{12}$ allt óræðar tölur. Óræðu tölurnar sem við þekkjum getum við síðan notað til að smíða nýjar óræðar tölur á ýmsa vegu. Til dæmis er summa ræðrar og óræðrar tölu alltaf óræð tala og sama gildir um margfeldi ræðrar og óræðrar tölu. Því eru $2 + \sqrt2$, $\frac{128}{13} + \pi$ og $\frac43 \cdot \sqrt 5$ allt óræðar tölur. Óræðu tölurnar eru reyndar svo margar að í skilningi stærðfræðinnar eru þær miklu fleiri en ræðu tölurnar.

Allar rauntölur má setja fram sem tugabrot og líklega er einfaldasta leiðin til að sjá fyrir sér muninn á ræðum og óræðum tölum að skoða tugabrotsframsetningu þeirra. Ræðu tölurnar eru lotubundnar, sem þýðir að þegar þær eru skrifaðar sem tugabrot endurtekur sama tölustafarunan sig aftur og aftur í aukastöfum þeirra. Til dæmis má rita $\frac13 = 0{,}3333\ldots$ (tölustafurinn 3 endurtekur sig aftur og aftur) og $\frac{21}{37} = 0{,}567567567\ldots$ (runan 567 endurtekur sig aftur og aftur). Ræðar tölur eins og $\frac14 = 0{,}25$ og $\frac{12}5 = 2{,}4$, sem hafa endanlega marga aukastafi, eru einnig lotubundnar því þær má rita sem $\frac14 = 0{,}25000\ldots$ og $\frac{12}5 = 2{,}4000\ldots$ (tölustafurinn 0 endurtekur sig aftur og aftur).

Óræðu tölurnar eru hins vegar þær rauntölur sem eru ekki lotubundnar, það er þær hafa óendanlega marga aukastafi og engin runa endurtekur sig aftur og aftur í aukastöfunum. Með öllum aukastöfum sem venjulegur vasareiknir sýnir má til dæmis nálga töluna $\sqrt2$ sem 1,414213562. Mun fleiri aukastafir $\sqrt2$ eru þó þekktir og til dæmis má finna vefsíður sem sýna að minnsta kosti fyrstu tíu milljónir aukastafa hennar.

Frekara lesefni á Vísindavefnum:

Upprunalega spurningin hljóðaði svo:

Hver er kvaðratrótin af 2?
...