Senda inn spurningu
Sólin Sólin Rís 05:09 • sest 21:54 í Reykjavík
Tunglið Tunglið Rís 22:44 • Sest 04:42 í Reykjavík
Flóð Flóð Árdegis: 06:28 • Síðdegis: 18:50 í Reykjavík
Fjaran Fjara Árdegis: 00:27 • Síðdegis: 12:35 í Reykjavík
Visit the English version

Flokkun:

Náttúruvísindi og verkfræði Stærðfræði

Hvað eru fullkomnar tölur?

Gunnar Þór Magnússon

Náttúrleg tala er sögð fullkomin ef hún er jöfn summu allra þeirra talna sem eru minni en hún sjálf og ganga upp í henni. Þannig er 6 fullkomin tala, því 6 = 1 + 2 + 3, og einnig er 28 fullkomin því 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14. Hins vegar eru 22 og 24 ekki fullkomnar; aðeins 1, 2 og 11 ganga upp í 22 og 1 + 2 + 11 = 14, og 1, 2, 3, 4, 6, 8 og 12 ganga upp í 24, en summa þeirra er 36. Auk 6 og 28 eru fyrstu nokkrar fullkomnu tölurnar 496, 8128 og 33550336. Grikkir til forna höfðu áhuga á þessum tölum og skilgreindu þær fyrstir manna, en þeir þekktu aðeins þær fyrstu fjórar.



Fullkomnar tölur koma sjaldan fyrir í dýraríkinu.

Þrátt fyrir að fullkomnar tölur hafi verið þekktar í langan tíma á enn eftir að svara mörgum spurningum um þær. Til dæmis er ekki vitað hvort til sé fullkomin oddatala, aðeins 44 fullkomnar tölur eru þekktar, og enginn veit hvort fullkomnu tölurnar eru óendanlega margar. Reyndar er náið samband á milli sléttra fullkomna talna og svokallaðra Mersenne-frumtalna, því stærðfræðingarnir Evklíð (um 300 f.Kr.) og Euler (1707 - 1783) sönnuðu að sérhverja slétta fullkomna tölu má skrifa á forminu

2n-1(2n-1),

þar sem 2n-1 er Mersenne-frumtala. Um Mersenne-frumtölur má lesa meira í svari sama höfundar við spurningunni Hver er stærsta þekkta frumtalan?

Fullkomnar tölur hafa ekki fangað athygli stærðfræðinga að nærri jafn miklu leyti og frumtölurnar. Erfitt er að segja til um ástæðurnar sem liggja þar að baki, en sennilega skiptir einhverju máli að ólíkt frumtölunum eru fullkomnu tölurnar nokkuð afmarkað fyrirbæri. Þær hafa ekki skotið upp kollinum á eðlilegan hátt í stærðfræði, og því hafa helstu spurningarnar um eðli þeirra setið á hakanum.

Heimildir og mynd:

Höfundur

Gunnar Þór Magnússon

Gunnar Þór Magnússon

stærðfræðingur

Útgáfudagur

1.9.2008

Spyrjandi

Björgvin Brynjarsson, f. 1995

Efnisorð

Tilvísun

Gunnar Þór Magnússon. „Hvað eru fullkomnar tölur?“ Vísindavefurinn, 1. september 2008. Sótt 12. ágúst 2022. http://visindavefur.is/svar.php?id=31851.

Gunnar Þór Magnússon. (2008, 1. september). Hvað eru fullkomnar tölur? Vísindavefurinn. Sótt af http://visindavefur.is/svar.php?id=31851

Gunnar Þór Magnússon. „Hvað eru fullkomnar tölur?“ Vísindavefurinn. 1. sep. 2008. Vefsíða. 12. ágú. 2022. <http://visindavefur.is/svar.php?id=31851>.

Chicago | APA | MLA

Tengd svör

Þessi síða notar vafrakökur Nánari upplýsingar

Ég samþykki
Spyrja

Sendu inn spurningu LeiðbeiningarTil baka

Hér getur þú sent okkur nýjar spurningar um vísindaleg efni.

Hafðu spurninguna stutta og hnitmiðaða og sendu aðeins eina í einu. Einlægar og vandaðar spurningar um mikilvæg efni eru líklegastar til að kalla fram vönduð og greið svör. Ekki er víst að tími vinnist til að svara öllum spurningum.

Persónulegar upplýsingar um spyrjendur eru eingöngu notaðar í starfsemi vefsins, til dæmis til að svör verði við hæfi spyrjenda. Spurningum er ekki sinnt ef spyrjandi villir á sér heimildir eða segir ekki nægileg deili á sér.

Spurningum sem eru ekki á verksviði vefsins er eytt.

Að öðru leyti er hægt að spyrja Vísindavefinn um allt milli himins og jarðar!

=

Senda grein til vinar

=

Hvað eru fullkomnar tölur?
Náttúrleg tala er sögð fullkomin ef hún er jöfn summu allra þeirra talna sem eru minni en hún sjálf og ganga upp í henni. Þannig er 6 fullkomin tala, því 6 = 1 + 2 + 3, og einnig er 28 fullkomin því 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14. Hins vegar eru 22 og 24 ekki fullkomnar; aðeins 1, 2 og 11 ganga upp í 22 og 1 + 2 + 11 = 14, og 1, 2, 3, 4, 6, 8 og 12 ganga upp í 24, en summa þeirra er 36. Auk 6 og 28 eru fyrstu nokkrar fullkomnu tölurnar 496, 8128 og 33550336. Grikkir til forna höfðu áhuga á þessum tölum og skilgreindu þær fyrstir manna, en þeir þekktu aðeins þær fyrstu fjórar.



Fullkomnar tölur koma sjaldan fyrir í dýraríkinu.

Þrátt fyrir að fullkomnar tölur hafi verið þekktar í langan tíma á enn eftir að svara mörgum spurningum um þær. Til dæmis er ekki vitað hvort til sé fullkomin oddatala, aðeins 44 fullkomnar tölur eru þekktar, og enginn veit hvort fullkomnu tölurnar eru óendanlega margar. Reyndar er náið samband á milli sléttra fullkomna talna og svokallaðra Mersenne-frumtalna, því stærðfræðingarnir Evklíð (um 300 f.Kr.) og Euler (1707 - 1783) sönnuðu að sérhverja slétta fullkomna tölu má skrifa á forminu

2n-1(2n-1),

þar sem 2n-1 er Mersenne-frumtala. Um Mersenne-frumtölur má lesa meira í svari sama höfundar við spurningunni Hver er stærsta þekkta frumtalan?

Fullkomnar tölur hafa ekki fangað athygli stærðfræðinga að nærri jafn miklu leyti og frumtölurnar. Erfitt er að segja til um ástæðurnar sem liggja þar að baki, en sennilega skiptir einhverju máli að ólíkt frumtölunum eru fullkomnu tölurnar nokkuð afmarkað fyrirbæri. Þær hafa ekki skotið upp kollinum á eðlilegan hátt í stærðfræði, og því hafa helstu spurningarnar um eðli þeirra setið á hakanum.

Heimildir og mynd:

...