Senda inn spurningu
Sólin Sólin Rís 05:36 • sest 21:19 í Reykjavík
Tunglið Tunglið Rís 16:44 • Sest 05:50 í Reykjavík
Flóð Flóð Árdegis: 04:37 • Síðdegis: 17:05 í Reykjavík
Fjaran Fjara Árdegis: 10:57 • Síðdegis: 23:09 í Reykjavík
Visit the English version

Flokkun:

Náttúruvísindi og verkfræði Stærðfræði

Hvað eru til margar torræðar tölur?

Gunnar Þór Magnússon

Áður en við svörum þessari spurningu er ágætt að koma á hreint hvað torræðar tölur eru og hverjir eru helstu eiginleikar þeirra.

Torræð tala er tvinntala sem er ekki algebruleg tala. Þar sem algebrulegar tölur eru sennilega ekki mjög þekkt fyrirbæri nema meðal stærðfræðinga er þetta heldur gagnslaus skilgreining. Til þess að geta spjallað um torræðar tölur verðum við því fyrst að vita hvað algebrulegar tölur eru.

Algebruleg tala er tvinntala sem er rót einhverrar margliðu með heiltölustuðla. Þannig eru allar ræðar tölur, en það eru þær tölur sem eru hlutfall tveggja heiltalna, algebrulegar: Ef p/q er ræð tala, þá er hún rót margliðunnar qx - p.

Ræðu tölurnar eru þó ekki einu algebrulegu tölurnar. Kvaðratrót ræðrar tölu er algebruleg tala, og raunar allar n-tu rætur hennar líka. Þannig sjáum við að til eru óræðar algebrulegar tölur því þekkt er að rótin af 2 er óræð tala. Einnig má sýna fram á að summur, mismunur, margfeldi og kvótar tveggja algebrulegra talna eru algebrulegar tölur.

Ferdinand von Lindemann.

Í meira en tvöþúsund ár glímdu stærðfræðingar við verkefni sem er kallað að ferninga hring. Það gengur út á að búa til ferning með reglustiku og hringfara sem hefur sama flatarmál og gefinn hringur. Fljótlega kom í ljós að þetta er aðeins mögulegt ef hægt er að búa til töluna pí (π) með hringfara og reglustiku. Allar þær tölur sem má búa til með þeim aðferðum reyndust svo vera algebrulegar tölur. Þetta gerði það að verkum að athygli stærðfræðinga beindist í auknum mæli að algebrulegum tölum, því ef hægt væri að sýna fram á að pí væri torræð tala þá væri verkefnið um að ferninga hring óleysanlegt. Árið 1882 sannaði Þjóðverjinn Ferdinand von Lindemann (1852-1939) að pí er torræð tala.

Þar sem allar heiltölur eru algebrulegar tölur er ljóst að þær eru óendanlega margar. Það er ekki erfitt að átta sig á að algebrulegar tölur eru teljanlega óendanlegar, en það þýðir að í vissum skilningi eru til jafn margar algebrulegar tölur og náttúrlegar tölur.

Samkvæmt skilgreiningu eru allar tvinntölur annað hvort algebrulegar eða torræðar. Þar sem algebrulegu tölurnar eru teljanlega margar, en fjöldi tvinntala er óteljanlega óendanlegur, þá eru torræðu tölurnar einnig óteljanlega margar. Torræðu tölurnar eru því miklu fleiri en þær algebrulegu.

Þrátt fyrir að torræðu tölurnar séu eins margar og raun ber vitni, þá þekkjum við ekki sérstaklega margar þeirra og mun einfaldara er að benda á dæmi um algebrulegar tölur en torræðar. Til eru tvær niðurstöður sem gefa flestar þekktu torræðu tölurnar:

  • Gelfond-Schneider setningin (takmörkuð útgáfa): Ef a og b eru algebrulegar tölur, a er stærri en núll og b er óræð, þá er ab torræð tala.
  • Lindemann-Weierstrass setningin (takmörkuð útgáfa): Ef a er algebruleg, þá er ea torræð.

Af þessum setningum leiðir meðal annars að pí (π) og e eru torræðar tölur, að e í veldinu pí (π) er torræð, og að sin(a) og cos(a) eru torræðar ef a er algebruleg tala. Sárafáar torræðar tölur eru þekktar sem fást ekki með þessum tveim setningum en almennt er mjög erfitt að sanna að tiltekin tala sé torræð.

Frekara lesefni á Vísindavefnum:

Mynd: Ferdinan von Lindemann á Wikimedia Commons.

Höfundur

Gunnar Þór Magnússon

Gunnar Þór Magnússon

stærðfræðingur

Útgáfudagur

2.7.2008

Spyrjandi

Ísak Ríkharðsson

Efnisorð

Tilvísun

Gunnar Þór Magnússon. „Hvað eru til margar torræðar tölur?“ Vísindavefurinn, 2. júlí 2008. Sótt 20. apríl 2024. http://visindavefur.is/svar.php?id=25815.

Gunnar Þór Magnússon. (2008, 2. júlí). Hvað eru til margar torræðar tölur? Vísindavefurinn. Sótt af http://visindavefur.is/svar.php?id=25815

Gunnar Þór Magnússon. „Hvað eru til margar torræðar tölur?“ Vísindavefurinn. 2. júl. 2008. Vefsíða. 20. apr. 2024. <http://visindavefur.is/svar.php?id=25815>.

Chicago | APA | MLA

Þessi síða notar vafrakökur Nánari upplýsingar

Ég samþykki
Spyrja

Sendu inn spurningu LeiðbeiningarTil baka

Hér getur þú sent okkur nýjar spurningar um vísindaleg efni.

Hafðu spurninguna stutta og hnitmiðaða og sendu aðeins eina í einu. Einlægar og vandaðar spurningar um mikilvæg efni eru líklegastar til að kalla fram vönduð og greið svör. Ekki er víst að tími vinnist til að svara öllum spurningum.

Persónulegar upplýsingar um spyrjendur eru eingöngu notaðar í starfsemi vefsins, til dæmis til að svör verði við hæfi spyrjenda. Spurningum er ekki sinnt ef spyrjandi villir á sér heimildir eða segir ekki nægileg deili á sér.

Spurningum sem eru ekki á verksviði vefsins er eytt.

Að öðru leyti er hægt að spyrja Vísindavefinn um allt milli himins og jarðar!

=

Senda grein til vinar

=

Hvað eru til margar torræðar tölur?
Áður en við svörum þessari spurningu er ágætt að koma á hreint hvað torræðar tölur eru og hverjir eru helstu eiginleikar þeirra.

Torræð tala er tvinntala sem er ekki algebruleg tala. Þar sem algebrulegar tölur eru sennilega ekki mjög þekkt fyrirbæri nema meðal stærðfræðinga er þetta heldur gagnslaus skilgreining. Til þess að geta spjallað um torræðar tölur verðum við því fyrst að vita hvað algebrulegar tölur eru.

Algebruleg tala er tvinntala sem er rót einhverrar margliðu með heiltölustuðla. Þannig eru allar ræðar tölur, en það eru þær tölur sem eru hlutfall tveggja heiltalna, algebrulegar: Ef p/q er ræð tala, þá er hún rót margliðunnar qx - p.

Ræðu tölurnar eru þó ekki einu algebrulegu tölurnar. Kvaðratrót ræðrar tölu er algebruleg tala, og raunar allar n-tu rætur hennar líka. Þannig sjáum við að til eru óræðar algebrulegar tölur því þekkt er að rótin af 2 er óræð tala. Einnig má sýna fram á að summur, mismunur, margfeldi og kvótar tveggja algebrulegra talna eru algebrulegar tölur.

Ferdinand von Lindemann.

Í meira en tvöþúsund ár glímdu stærðfræðingar við verkefni sem er kallað að ferninga hring. Það gengur út á að búa til ferning með reglustiku og hringfara sem hefur sama flatarmál og gefinn hringur. Fljótlega kom í ljós að þetta er aðeins mögulegt ef hægt er að búa til töluna pí (π) með hringfara og reglustiku. Allar þær tölur sem má búa til með þeim aðferðum reyndust svo vera algebrulegar tölur. Þetta gerði það að verkum að athygli stærðfræðinga beindist í auknum mæli að algebrulegum tölum, því ef hægt væri að sýna fram á að pí væri torræð tala þá væri verkefnið um að ferninga hring óleysanlegt. Árið 1882 sannaði Þjóðverjinn Ferdinand von Lindemann (1852-1939) að pí er torræð tala.

Þar sem allar heiltölur eru algebrulegar tölur er ljóst að þær eru óendanlega margar. Það er ekki erfitt að átta sig á að algebrulegar tölur eru teljanlega óendanlegar, en það þýðir að í vissum skilningi eru til jafn margar algebrulegar tölur og náttúrlegar tölur.

Samkvæmt skilgreiningu eru allar tvinntölur annað hvort algebrulegar eða torræðar. Þar sem algebrulegu tölurnar eru teljanlega margar, en fjöldi tvinntala er óteljanlega óendanlegur, þá eru torræðu tölurnar einnig óteljanlega margar. Torræðu tölurnar eru því miklu fleiri en þær algebrulegu.

Þrátt fyrir að torræðu tölurnar séu eins margar og raun ber vitni, þá þekkjum við ekki sérstaklega margar þeirra og mun einfaldara er að benda á dæmi um algebrulegar tölur en torræðar. Til eru tvær niðurstöður sem gefa flestar þekktu torræðu tölurnar:

  • Gelfond-Schneider setningin (takmörkuð útgáfa): Ef a og b eru algebrulegar tölur, a er stærri en núll og b er óræð, þá er ab torræð tala.
  • Lindemann-Weierstrass setningin (takmörkuð útgáfa): Ef a er algebruleg, þá er ea torræð.

Af þessum setningum leiðir meðal annars að pí (π) og e eru torræðar tölur, að e í veldinu pí (π) er torræð, og að sin(a) og cos(a) eru torræðar ef a er algebruleg tala. Sárafáar torræðar tölur eru þekktar sem fást ekki með þessum tveim setningum en almennt er mjög erfitt að sanna að tiltekin tala sé torræð.

Frekara lesefni á Vísindavefnum:

Mynd: Ferdinan von Lindemann á Wikimedia Commons....