Senda inn spurningu
Sólin Sólin Rís 05:36 • sest 21:19 í Reykjavík
Tunglið Tunglið Rís 16:44 • Sest 05:50 í Reykjavík
Flóð Flóð Árdegis: 04:37 • Síðdegis: 17:05 í Reykjavík
Fjaran Fjara Árdegis: 10:57 • Síðdegis: 23:09 í Reykjavík
Visit the English version

Flokkun:

Náttúruvísindi og verkfræði Stærðfræði

Hvernig er regla Pýþagórasar sönnuð?

Gunnar Þór Magnússon

Allir sem hafa verið í grunnskóla kannast við reglu Pýþagórasar sem fjallar um lengdir hliðanna í rétthyrndum þríhyrningi. Ef þessar lengdir eru a, b og c, þar sem c er lengsta hliðin, þá gildir að

a2 + b2 = c2.

Hins vegar hafa færri séð hvernig þessi regla er sönnuð, sem verður að teljast undarlegt í ljósi þess að að mikil áhersla er lögð á sannanir og útleiðslur í stærðfræði og til eru margar einfaldar sannanir á reglunni. Fljótlegt er að bæta úr þessu og sýna hér eina sönnun, en til þess að skilja hana þarf aðeins að þekkja þá stærðfræði sem er kennd í grunnskólum.

Látum a, b og c vera hliðarlengdir rétthyrnds þríhyrnings, og gerum ráð fyrir að c sé lengst þeirra. Við gerum þar að auki ráð fyrir að við höfum fjögur eintök af þríhyrningnum okkar, og að þau séu öll eins. Þá getum við raðað þeim í kassa eins og á myndinni hér fyrir neðan:



Þríhyrningunum fjórum raðað í ferhyrning.

Við sjáum að þríhyrningarnir okkar mynda einn stóran ferning, og í miðjunni er minni ferningur. Við ætlum að leiða út Pýþagorasarregluna með því að reikna flatarmál stóra ferningsins á tvo mismunandi vegu.

Annars vegar hefur stóri ferningurinn hliðarlengdina a + b, og því er flatarmál hans jafnt (a + b)2.

Á hinn bóginn höfum við þakið stóra ferninginn með litla ferningnum og þríhyrningunum okkar fjórum, svo að flatarmál hans er jafn samanlögðu flatarmáli þeirra. Litli ferningurinn hefur hliðarlengdina c, svo flatarmál hans er c2. Sérhver rétthyrndur þríhyrningur hefur flatarmálið ab/2, svo að flatarmál allra fjögurra saman fæst með því að margfalda með fjórum og við fáum 2ab.

Þar með höfum við séð að

(a + b)2 = c2 + 2ab.

Margföldum nú upp úr sviganum vinstra megin og fáum

a2 + 2ab + b2 = c2 + 2ab.

Nú kemur 2ab fyrir báðum megin, svo það strokast út og við sitjum uppi með

a2 + b2 = c2,

Þannig höfum við sannað Pýþagorasarregluna á tiltölulega einfaldan hátt.

Þetta er aðeins ein af mörg hundruð aðferðum til að sanna Pýþagorasarregluna. Ef einhverjum lesendum fannst hún óskýr geta þeir til dæmis litið á lista Cut the Knot yfir 77 aðrar sannanir, og séð hvort þeir finna ekki einhverja sem þeim líst betur á.

Meira um Pýþagoras og regluna hans á Vísindavefnum:

Höfundur

Gunnar Þór Magnússon

Gunnar Þór Magnússon

stærðfræðingur

Útgáfudagur

18.9.2008

Spyrjandi

Martin Ingi Sigurðsson

Efnisorð

Tilvísun

Gunnar Þór Magnússon. „Hvernig er regla Pýþagórasar sönnuð?“ Vísindavefurinn, 18. september 2008. Sótt 20. apríl 2024. http://visindavefur.is/svar.php?id=7690.

Gunnar Þór Magnússon. (2008, 18. september). Hvernig er regla Pýþagórasar sönnuð? Vísindavefurinn. Sótt af http://visindavefur.is/svar.php?id=7690

Gunnar Þór Magnússon. „Hvernig er regla Pýþagórasar sönnuð?“ Vísindavefurinn. 18. sep. 2008. Vefsíða. 20. apr. 2024. <http://visindavefur.is/svar.php?id=7690>.

Chicago | APA | MLA

Þessi síða notar vafrakökur Nánari upplýsingar

Ég samþykki
Spyrja

Sendu inn spurningu LeiðbeiningarTil baka

Hér getur þú sent okkur nýjar spurningar um vísindaleg efni.

Hafðu spurninguna stutta og hnitmiðaða og sendu aðeins eina í einu. Einlægar og vandaðar spurningar um mikilvæg efni eru líklegastar til að kalla fram vönduð og greið svör. Ekki er víst að tími vinnist til að svara öllum spurningum.

Persónulegar upplýsingar um spyrjendur eru eingöngu notaðar í starfsemi vefsins, til dæmis til að svör verði við hæfi spyrjenda. Spurningum er ekki sinnt ef spyrjandi villir á sér heimildir eða segir ekki nægileg deili á sér.

Spurningum sem eru ekki á verksviði vefsins er eytt.

Að öðru leyti er hægt að spyrja Vísindavefinn um allt milli himins og jarðar!

=

Senda grein til vinar

=

Hvernig er regla Pýþagórasar sönnuð?
Allir sem hafa verið í grunnskóla kannast við reglu Pýþagórasar sem fjallar um lengdir hliðanna í rétthyrndum þríhyrningi. Ef þessar lengdir eru a, b og c, þar sem c er lengsta hliðin, þá gildir að

a2 + b2 = c2.

Hins vegar hafa færri séð hvernig þessi regla er sönnuð, sem verður að teljast undarlegt í ljósi þess að að mikil áhersla er lögð á sannanir og útleiðslur í stærðfræði og til eru margar einfaldar sannanir á reglunni. Fljótlegt er að bæta úr þessu og sýna hér eina sönnun, en til þess að skilja hana þarf aðeins að þekkja þá stærðfræði sem er kennd í grunnskólum.

Látum a, b og c vera hliðarlengdir rétthyrnds þríhyrnings, og gerum ráð fyrir að c sé lengst þeirra. Við gerum þar að auki ráð fyrir að við höfum fjögur eintök af þríhyrningnum okkar, og að þau séu öll eins. Þá getum við raðað þeim í kassa eins og á myndinni hér fyrir neðan:



Þríhyrningunum fjórum raðað í ferhyrning.

Við sjáum að þríhyrningarnir okkar mynda einn stóran ferning, og í miðjunni er minni ferningur. Við ætlum að leiða út Pýþagorasarregluna með því að reikna flatarmál stóra ferningsins á tvo mismunandi vegu.

Annars vegar hefur stóri ferningurinn hliðarlengdina a + b, og því er flatarmál hans jafnt (a + b)2.

Á hinn bóginn höfum við þakið stóra ferninginn með litla ferningnum og þríhyrningunum okkar fjórum, svo að flatarmál hans er jafn samanlögðu flatarmáli þeirra. Litli ferningurinn hefur hliðarlengdina c, svo flatarmál hans er c2. Sérhver rétthyrndur þríhyrningur hefur flatarmálið ab/2, svo að flatarmál allra fjögurra saman fæst með því að margfalda með fjórum og við fáum 2ab.

Þar með höfum við séð að

(a + b)2 = c2 + 2ab.

Margföldum nú upp úr sviganum vinstra megin og fáum

a2 + 2ab + b2 = c2 + 2ab.

Nú kemur 2ab fyrir báðum megin, svo það strokast út og við sitjum uppi með

a2 + b2 = c2,

Þannig höfum við sannað Pýþagorasarregluna á tiltölulega einfaldan hátt.

Þetta er aðeins ein af mörg hundruð aðferðum til að sanna Pýþagorasarregluna. Ef einhverjum lesendum fannst hún óskýr geta þeir til dæmis litið á lista Cut the Knot yfir 77 aðrar sannanir, og séð hvort þeir finna ekki einhverja sem þeim líst betur á.

Meira um Pýþagoras og regluna hans á Vísindavefnum:

...