Ég veðjaði við yfirmann minn og fæ launahækkun ef ég hef rétt fyrir mér: Er tvinntalan $i$ tala?

Nafn þitt

Netfang þitt

Netfang móttakanda

Ruslpóstvörn =

Svar

Ég veðjaði við yfirmann minn og fæ launahækkun ef ég hef rétt fyrir mér: Er tvinntalan $i$ tala?
Spurningin í fullri lengd hljóðaði svona:

Góðan dag. Ég er í veðmáli við yfirmann minn og ef ég hef rétt fyrir mér þá fæ ég launahækkun. Spurningin mín er þessi: Er tvinnTALAN $i$, tala? Eins og þegar við tölum um kvaðratrótina af -1 þar sem svarið er $i$. Kærar þakkir.

Vísindavefurinn er stundum beðinn um að leysa úr ágreiningi og sætta málsaðila. Fyrr á þessu ári leystum við úr flóknu deilumáli í bankakerfinu og við höfum einnig tekið að okkur mál sem varða nánustu samskipti fólks. Um þetta má til að mynda lesa í svörunum Hjálpið okkur að leysa úr miklu deilumáli í stórum íslenskum banka, hvort á að hafa eitt eða tvö bil á eftir punkti? og Segir maður stemming, stemning eða stemmning? Svarið fljótt því hér stefnir í hjónaskilnað!

Spyrjandi þessarar spurningar stendur í viðkvæmum samningaviðræðum um kaup og kjör og vill eðlilega fá álit Vísindavefsins og Háskóla Íslands á stöðu mála. Spurningin varðar þó ekki prósentureikning, eins og margir beita í slíkum viðræðum, heldur tvinntölur! Spyrjandi á von á launahækkun ef hann hefur rétt fyrir sér í veðmáli, en ekki kemur fram hvort til standi að greiða hugsanlega hækkun út í tvinntölum.

Tvinntölur eru táknaðar $a+bi$ þar sem $a$ og $b$ eru rauntölur og $i$ er stærð sem uppfyllir það að $i^2 = -1$ og spurningin er hvort hægt sé með réttu að kalla tvinntölur tölur. Venjan er að líta á tölur sem hluti sem er hægt að reikna með og nota til að mæla, til dæmis fjölda, stærð, lengd og svo framvegis.

Byrjum á reikningnum. Við viljum að hægt sé að framkvæma samlagningu og margföldun, og jafnvel frádrátt og deilingu. Þetta er allt hægt með tvinntölum, auk þess sem alltaf er hægt er finna rætur tvinntalna, ólíkt rauntölum. Til dæmis þá er

$$i * 5 = 5i,$$

$$i + i = 2i,$$

$$\frac {2+3i}{i} = 3 - 2i,$$

$$\sqrt{i} = \pm \frac 1 {\sqrt 2} (1+i),$$

$$6i * (2+i) = 12i - 6.$$

Í svari við spurningunni Eru tvinntölurnar til í raun og veru? er farið nánar í það hvernig reiknað er með tvinntölum.

Það getur verið erfitt að sjá það fyrir sér, en engu að síður er líka hægt að nota tvinntölur til að mæla hluti. Þær koma til dæmis við sögu í merkjafræði, skammtafræði, rúmfræði, straumfræði og kortagerð. Í flestum tilvikum þá byggir þetta á því að tvinntölur eru teiknaðar upp í tvívíðu hnitakerfi með $x$ og $y$-ás, en þá er tvinntalan $a+bi$ punkturinn sem hefur $x$-hnitið $a$ og $y$-hnitið $b$.

Það er til dæmis hægt að nota tvinntölur til að lýsa bylgjum í merkjafræði, eins og útvarpsbylgjum. Tvinntalan $a+bi$ svarar til sínusbylgju með útslag $\sqrt{a^2 + b^2}$ (en samkvæmt Pýþagórasarreglunni þá er þetta lengd punktsins frá núllpunktinum) og fasa $\phi$ þar sem $\phi$ er hornið milli $x$-áss og línustriksins milli $0$ og $a+ib$. Ef við skoðum töluna $i$ þá er lengd hennar 1 og þar sem hún er hornrétt á x-ás þá er hornið $\phi$ 90°, þannig að hún lýsir sínusbylgju með útslag 1 og fasa 90°.

Við þetta má bæta að ef með því að setja tvinntölurnar í hnitakerfinu þá fær margföldun rúmfræðilega túlkun. Margföldun með $-1$ svarar þá til snúnings um 180° og margföldun með $i$ svarar til snúnings um 90° rangsælis.

Það er því óhætt að segja að talan $i$ sé tala, bæði er hægt að reikna með henni og einnig er hægt að nota hana til að mæla hluti.

...