Sendu inn spurningu

Hér getur þú sent okkur nýjar spurningar um vísindaleg efni.

Hafðu spurninguna stutta og hnitmiðaða og sendu aðeins eina í einu. Einlægar og vandaðar spurningar um mikilvæg efni eru líklegastar til að kalla fram vönduð og greið svör. Ekki er víst að tími vinnist til að svara öllum spurningum.

Persónulegar upplýsingar um spyrjendur eru eingöngu notaðar í starfsemi vefsins, til dæmis til að svör verði við hæfi spyrjenda. Spurningum er ekki sinnt ef spyrjandi villir á sér heimildir eða segir ekki nægileg deili á sér.

Spurningum sem eru ekki á verksviði vefsins er eytt.

Að öðru leyti er hægt að spyrja Vísindavefinn um allt milli himins og jarðar!

=

Hefur tilgáta Riemanns verið sönnuð?

Náttúrleg tala stærri en 1, sem er einungis deilanleg með 1 og sjálfri sér, nefnist frumtala (prímtala). Náttúrleg tala stærri en 1 nefnist samsett tala, ef hún er ekki frumtalan. Fyrstu frumtölurnar eru 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ... Allt frá því sögur hófust hafa menn rannsakað þessar tölur. Í bókum Evklíðs (um 300 f.Kr.) er sannað að frumtölurnar séu óendanlega margar og að sérhverja samsetta tölu megi skrifa sem margfeldi frumtalna. Það hefur alltaf þótt áhugavert að vita hversu þétt frumtölurnar liggja meðal náttúrlegra talna. Þetta viðfangsefni má nálgast með ýmsum hætti. Til dæmis er hægt að númera frumtölurnar, p1 = 2, p2 = 3, p3 = 5, ... og spyrja síðan hversu hratt pn vex með fjöldanum \(n\). Önnur leið er að líta á fjölda frumtalna neðan við gefna rauntölu \(x\) og meta síðan hversu hratt sá fjöldi vex með \(x\).

Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826 - 1866) er einn af merkustu stærðfræðingum sögunnar. Árið 1859 skrifaði hann ritgerð sem nefndist Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebener Grösse, sem átti eftir að valda straumhvörfum í talnafræði. Viðfangsefni greinarinnar var að meta fjölda frumtalna neðan við gefna rauntölu \(x\). Það er venja að tákna þennan fjölda með \(n(x)\) og nefna \(n\) frumtalnafall. Riemann skilgreindi fallið \(\zeta\), sem er kallað zeta-fall Riemanns honum til heiðurs, með formúlunni

\[\zeta (s)=\sum_{n=1}^{+\infty}n^{-s}=\prod_{p} (1-p^{-s})^{-1}\]

þar sem óendanlega margfeldið er tekið yfir allar frumtölur p, en þessi jafna er góð og gild fyrir allar tvinntölur s með raunhluta stærri en 1. Riemann sýndi fram á að hægt er að framlengja skilgreiningarsvæði fallsins \(\zeta\) yfir í allt tvinntöluplanið utan punktsins 1, þannig að það verði fágað. Út frá einni af formúlunum í ritgerð Riemanns sést að \(\zeta\) hefur núllstöðvar í punktunum -1, -2, -3, .... Tilgáta Riemanns segir að allar aðrar núllstöðvar fallsins \(\zeta\) hafi raunhlutann 1/2. Eftir því sem ritari þessara lína best veit hefur hún aldrei verið sönnuð.

Tilgáta Riemanns er ákaflega mikilvægt óleyst verkefni í stærðfræðinni. Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855) rannsakaði frumtalnafallið \(n(x)\) þegar á unglingsárum sínum og hann hafði komist að því að stærðirnar


\(x/log(x)\)     og     \(\int_{2}^{x}log(t)^{-1}dt\)

eru góðar nálganir á \(n(x)\), þar sem log táknar náttúrlega logrann. Um aldamótin 1800 var það alþekkt tilgáta meðal stærðfræðinga í Evrópu að hlutfallið milli \(n(x)\) og \(x/log(x)\) stefndi á 1, ef \(x\) stefnir á óendanlegt, og nefndist hún frumtalnatilgátan. Það var ekki fyrr en árið 1896 að tveir ungir menn sönnuðu að tilgátan væri rétt og það gerðu þeir óháð hvor öðrum nánast samtímis. Þeir hétu Jacques Hadamard (1865 - 1963) og Charles de la Vallée-Poussin (1866 - 1962). Sannanir þeirra byggðu á verkum Riemanns og snérust um mjög nákvæmt mat á \(\zeta\)-fallinu. Eftir þetta nefndist staðhæfingin frumtalnasetningin.

Ef tilgáta Riemanns reynist rétt, þá hefur hún í för með sér að skekkjan

\[\pi (x)-x/log(x)\] í nálguninni á \(n(x)\) með \(x\log(x)\) er í hlutfalli við \(x^{1/2+\varepsilon }\) fyrir sérhvert jákvætt \(\varepsilon\), en það eru miklu meiri upplýsingar en þær sem frumtalnasetningin gefur. Með nokkurri einföldun má segja að skekkjan sé þá í hlutfallið við kvaðratrótina af \(x\). Margir merkir stærðfræðingar hafa fengist við Riemann-tilgátuna og allar vísbendingar hníga í þá átt að hún sé rétt.

Mynd:

Útgáfudagur

11.7.2000

Spyrjandi

Gísli Eyjólfsson

Höfundur

prófessor í stærðfræði við HÍ

Tilvísun

Ragnar Sigurðsson. „Hefur tilgáta Riemanns verið sönnuð?“ Vísindavefurinn, 11. júlí 2000. Sótt 21. september 2017. http://visindavefur.is/svar.php?id=632.

Ragnar Sigurðsson. (2000, 11. júlí). Hefur tilgáta Riemanns verið sönnuð? Vísindavefurinn. Sótt af http://visindavefur.is/svar.php?id=632

Ragnar Sigurðsson. „Hefur tilgáta Riemanns verið sönnuð?“ Vísindavefurinn. 11. júl. 2000. Vefsíða. 21. sep. 2017. <http://visindavefur.is/svar.php?id=632>.

Chicago | APA | MLA

Sendu inn spurningu
eða

Vísindadagatalið

Hljóðmúr

Hljóðhraðinn í lofti er um 340 m/s, en það samsvarar 1.220 km/klst. Þegar farartæki eða aðrir hlutir ná þeim hraða er sagt að þau rjúfi hljóðmúrinn. Hávaðinn sem fylgir flugi yfir hljóðhraða stafar af höggbylgju samþjappaðs lofts. Hljóðmúrinn var fyrst rofinn árið 1947.