Í flestum tilfellum er ekki skynsamlegt að reyna eingöngu að lágmarka áhrif gengisbreytinga á afborganir láns sem tekið er í erlendum gjaldmiðlum. Ef það er eina markmiðið er einfaldast að taka lán í innlendum gjaldmiðli. Annar kostur sem einnig eyðir öllum áhrifum gengisbreytinga er að gera í upphafi framvirka samninga um kaup á erlendum gjaldeyri sem duga til að greiða afborganir lánsins. Með framvirkum samningi er hér átt við samning um kaup á ákveðinni upphæð í erlendum gjaldeyri fyrir innlendan gjaldeyri á ákveðnum degi í framtíðinni og á gengi sem er fyrirfram ákveðið. Undir eðlilegum kringumstæðum myndu slíkir samningar og erlenda lánið kosta lántakandann jafnmikið og ef hann hefði tekið lán í innlendum gjaldmiðli.
Hins vegar er áhugavert að skoða hvernig hægt er að lækka það sem kallað er væntur vaxtakostnaður með því að taka nokkra áhættu vegna gengisbreytinga. Almennt má líka skoða samspil vænts vaxtakostnaðar og áhættu. Með væntum vaxtakostnaði er hér átt við vegið meðaltal af vaxtagreiðslum og hækkun eða lækkun skuldar vegna gengisbreytinga þar sem vogtölurnar eru þær líkur sem taldar eru vera á einstökum útkomum.
Aðferðir til að gera þetta eru vel þekktar og byggja flestar í grundvallaratriðum á kenningum sem Harry M. Markowitz setti fram fyrir nær hálfri öld. Vandamálið sem Markowitz leysti var raunar hvernig velja ætti saman eignir í eignasafn til þess að hámarka vænta ávöxtun að því gefnu hve mikla áhættu fjárfestir er reiðubúinn að taka eða til að lágmarka áhættu að því gefnu hve mikla vænta ávöxtun fjárfestir vill. Aðferðin dugar hins vegar ekki síður til að setja saman körfu erlendra lána þannig að væntur vaxtakostnaður sé lágmarkaður að því gefnu hve mikla áhættu lántakandi er reiðubúinn að taka.
Stærðfræðin sem þarf til að lýsa aðferð Markowitz er í það flóknasta fyrir Vísindavefinn og því verður aðferðinni bara lýst hér mjög lauslega. Áhugasömum er bent á kennslubækur í fjármálum, til dæmis Investments eftir Bodie, Kane og Marcus eða aðra bók með sama nafni eftir Sharpe, Alexander og Bailey til nánari fróðleiks.
Byrjum fyrst á því að líta á einfaldasta tilvikið, þegar tekið er lán í tveimur erlendum gjaldmiðlum. Gerum til dæmis ráð fyrir evrum og jenum. Frá íslenskum sjónarhóli fellur væntur vaxtakostnaður af láni í evrum annars vegar til vegna vaxta í evrum og hins vegar vegna breytinga á gengi evrunnar gagnvart krónunni. Ef til dæmis er talið líklegt að evran styrkist þá eru væntir vextir af láninu, mælt í íslenskum krónum, hærri en vextir í evrum. Ef talið er líklegt að evran veikist er þessu öfugt farið. Ýmsar leiðir eru til að meta hve líklegt er að gjaldmiðill veikist eða styrkist en þeim verður ekki lýst hér.
Vænt vaxtabyrði, mælt í krónum, af lánum í evrum og jenum er svo einfaldlega vegið meðaltal af væntri vaxtabyrði í evrum annars vegar og jenum hins vegar. Vogtölurnar eru hlutföllin sem notuð eru, það er hve mikið er tekið að láni í evrum og hve mikið í jenum. Þannig fæst til dæmis\[r = ar_{e} + (1-a)r_{j}\]þar sem r eru væntir vextir af láninu á því tímabili sem verið er að skoða, a er það hlutfall sem tekið er að láni í evrum, re eru væntir vextir í evrum (mælt í íslenskum krónum) og rj væntir vextir í jenum (einnig mælt í íslenskum krónum).
Áhættan er oft mæld með dreifni vaxta sem við táknum með d2(r). Annar mælikvarði er staðalfrávik sem er einfaldlega ferningsrótin (kvaðratrótin) af dreifninni, táknað d(r). Dreifnin fæst samkvæmt eftirfarandi reiknireglu:\[d^{2}(r) = a^{2}d^{2}(r_{e}) + (1-a)^{2}d^{2}(r_{j}) + 2a(1-a)d(r_{e})d(r_{j}) p_{e, j}\]pe,j táknar fylgni breytinga á gengi annars vegar evru gagnvart krónu og hins vegar jens gagnvart krónu. Ef breytingarnar fylgjast fullkomlega að er þessi stuðull 1 en ef ekkert samband er verður stuðullinn 0. Ef tilhneiging er til að annar gjaldmiðillinn veikist þegar hinn styrkist er stuðullinn minni en 0. Minnst getur hann orðið -1 og mest 1. Við sjáum að bæði sveiflur í gengi hvors gjaldmiðils um sig gagnvart krónu skipta máli og einnig það hve mjög þessar sveiflur fylgjast að. Ef lítil fylgni eða neikvæð er á milli gengis þessara tveggja gjaldmiðla gagnvart krónu þá er hægt að dreifa áhættu með því að skipta láninu á gjaldmiðlana. pe,j og d(re) og d(rj) er hægt að meta með tölfræðilegum aðferðum með því að skoða breytingar á gengi í fortíð ef talið er að þær gefi góða vísbendingu um breytingar í framtíð en það er ekki alltaf réttlætanlegt.
Nú er hægt að velja pör af væntum vaxtakostnaði annars vegar og dreifni vaxtakostnaðar hins vegar með því að breyta a, láta það taka gildi frá 0 og upp í 1. Ef a er látið taka gildi sem eru hærri en 1 eða lægri en 0 samsvarar það því að tekið sé lán í öðrum erlenda gjaldmiðlinum sem er hærra en sú upphæð sem ætlunin var að taka að láni og mismunurinn notaður til að veita lán í hinum erlenda gjaldmiðlinum.
Ef notaðir eru fleiri en tveir erlendir gjaldmiðlar flækist dæmið til muna og þá verður þægilegt að nota fylkjareikning til að leysa vandann. Þá fæst t.d. að vænt vaxtabyrði verður:\[r = wR\]þar sem w er raðvektor þar sem hvert stak táknar vægi ákveðins erlends gjaldmiðils í lánakörfunni. R er dálkvektor þar sem hvert samsvarandi stak táknar vænta vaxtabyrði af láni í þessum erlenda gjaldmiðli. Ef erlendu gjaldmiðlarnir eru n talsins verður w því 1xn vektor og R nx1 vektor.
Dreifnin fæst samkvæmt eftirfarandi reiknireglu:\[d^{2}(r) = wMw'\]þar sem M er nxn fylki, svokallað dreifni-samdreifni fylki. Stak í röð i og dálki j í M er samdreifni breytinga á gengi gjaldmiðla i og j gagnvart krónu. Stak í röð i og dálki i er dreifni breytinga á gengi gjaldmiðils i gagnvart krónu.
Til eru lausnir á þessu vandamáli, til dæmis að finna besta w fyrir sérhvert r en ekki verður farið út í að lýsa þeim hér. Einnig er hægt að láta nútímatöflureikna leita að besta w með því að segja þeim að lágmarka dreifni með því að breyta w að gefnu því hliðarskilyrði að vænt vaxtabyrði sé ekki hærri en ákveðið viðmiðunarmark.
Þótt stærðfræðin sem þarf til að leysa þetta vandamál hafi verið þekkt í nær hálfa öld eru ýmis vandamál við framkvæmdina. Til dæmis er nokkuð snúið að meta væntar gengisbreytingar og dreifni og samdreifni (eða fylgni). Þá er sérstakt vandamál að þessar stærðir og vaxtakjör breytast með tímanum. Því þarf helst að endurskoða lánakörfur reglulega og breyta samsetningu þeirra. Því fylgir kostnaður sem getur verið umtalsverður ef lánsupphæðir eru lágar eða breytingar eru gerðar mjög ört.
Frekara lesefni á Vísindavefnum:
Gylfi Magnússon. „Hvernig er best að lágmarka áhrif gengisbreytinga á kostnað af láni sem tekið er í erlendum gjaldmiðlum?“ Vísindavefurinn, 27. febrúar 2000. Sótt 19. apríl 2024. http://visindavefur.is/svar.php?id=151.
Gylfi Magnússon. (2000, 27. febrúar). Hvernig er best að lágmarka áhrif gengisbreytinga á kostnað af láni sem tekið er í erlendum gjaldmiðlum? Vísindavefurinn. Sótt af http://visindavefur.is/svar.php?id=151
Gylfi Magnússon. „Hvernig er best að lágmarka áhrif gengisbreytinga á kostnað af láni sem tekið er í erlendum gjaldmiðlum?“ Vísindavefurinn. 27. feb. 2000. Vefsíða. 19. apr. 2024. <http://visindavefur.is/svar.php?id=151>.
Hér getur þú sent okkur nýjar spurningar um vísindaleg efni.
Hafðu spurninguna stutta og hnitmiðaða og sendu aðeins eina í einu. Einlægar og vandaðar spurningar
um mikilvæg efni eru líklegastar til að kalla fram vönduð og greið svör. Ekki er víst að tími vinnist til að
svara öllum spurningum.
Persónulegar upplýsingar um spyrjendur eru eingöngu notaðar í starfsemi vefsins, til dæmis til að
svör verði við hæfi spyrjenda. Spurningum er ekki sinnt ef spyrjandi villir á sér heimildir eða segir ekki
nægileg deili á sér.
Spurningum sem eru ekki á verksviði vefsins er eytt.
Að öðru leyti er hægt að spyrja Vísindavefinn um allt milli himins og jarðar!
Sólin
Rís 05:40 • sest 21:16
Tunglið
Rís 15:13 • Sest 05:59
Flóð
Árdegis: 03:57 • Síðdegis: 16:31
Fjara
Árdegis: 10:23 • Síðdegis: 22:34
Byrjum fyrst á því að líta á einfaldasta tilvikið, þegar tekið er lán í tveimur erlendum gjaldmiðlum. Gerum til dæmis ráð fyrir evrum og jenum. Frá íslenskum sjónarhóli fellur væntur vaxtakostnaður af láni í evrum annars vegar til vegna vaxta í evrum og hins vegar vegna breytinga á gengi evrunnar gagnvart krónunni. Ef til dæmis er talið líklegt að evran styrkist þá eru væntir vextir af láninu, mælt í íslenskum krónum, hærri en vextir í evrum. Ef talið er líklegt að evran veikist er þessu öfugt farið. Ýmsar leiðir eru til að meta hve líklegt er að gjaldmiðill veikist eða styrkist en þeim verður ekki lýst hér.
Vænt vaxtabyrði, mælt í krónum, af lánum í evrum og jenum er svo einfaldlega vegið meðaltal af væntri vaxtabyrði í evrum annars vegar og jenum hins vegar. Vogtölurnar eru hlutföllin sem notuð eru, það er hve mikið er tekið að láni í evrum og hve mikið í jenum. Þannig fæst til dæmis\[r = ar_{e} + (1-a)r_{j}\]þar sem r eru væntir vextir af láninu á því tímabili sem verið er að skoða, a er það hlutfall sem tekið er að láni í evrum, re eru væntir vextir í evrum (mælt í íslenskum krónum) og rj væntir vextir í jenum (einnig mælt í íslenskum krónum).
Áhættan er oft mæld með dreifni vaxta sem við táknum með d2(r). Annar mælikvarði er staðalfrávik sem er einfaldlega ferningsrótin (kvaðratrótin) af dreifninni, táknað d(r). Dreifnin fæst samkvæmt eftirfarandi reiknireglu:\[d^{2}(r) = a^{2}d^{2}(r_{e}) + (1-a)^{2}d^{2}(r_{j}) + 2a(1-a)d(r_{e})d(r_{j}) p_{e, j}\]pe,j táknar fylgni breytinga á gengi annars vegar evru gagnvart krónu og hins vegar jens gagnvart krónu. Ef breytingarnar fylgjast fullkomlega að er þessi stuðull 1 en ef ekkert samband er verður stuðullinn 0. Ef tilhneiging er til að annar gjaldmiðillinn veikist þegar hinn styrkist er stuðullinn minni en 0. Minnst getur hann orðið -1 og mest 1. Við sjáum að bæði sveiflur í gengi hvors gjaldmiðils um sig gagnvart krónu skipta máli og einnig það hve mjög þessar sveiflur fylgjast að. Ef lítil fylgni eða neikvæð er á milli gengis þessara tveggja gjaldmiðla gagnvart krónu þá er hægt að dreifa áhættu með því að skipta láninu á gjaldmiðlana. pe,j og d(re) og d(rj) er hægt að meta með tölfræðilegum aðferðum með því að skoða breytingar á gengi í fortíð ef talið er að þær gefi góða vísbendingu um breytingar í framtíð en það er ekki alltaf réttlætanlegt.
Nú er hægt að velja pör af væntum vaxtakostnaði annars vegar og dreifni vaxtakostnaðar hins vegar með því að breyta a, láta það taka gildi frá 0 og upp í 1. Ef a er látið taka gildi sem eru hærri en 1 eða lægri en 0 samsvarar það því að tekið sé lán í öðrum erlenda gjaldmiðlinum sem er hærra en sú upphæð sem ætlunin var að taka að láni og mismunurinn notaður til að veita lán í hinum erlenda gjaldmiðlinum.
Ef notaðir eru fleiri en tveir erlendir gjaldmiðlar flækist dæmið til muna og þá verður þægilegt að nota fylkjareikning til að leysa vandann. Þá fæst t.d. að vænt vaxtabyrði verður:\[r = wR\]þar sem w er raðvektor þar sem hvert stak táknar vægi ákveðins erlends gjaldmiðils í lánakörfunni. R er dálkvektor þar sem hvert samsvarandi stak táknar vænta vaxtabyrði af láni í þessum erlenda gjaldmiðli. Ef erlendu gjaldmiðlarnir eru n talsins verður w því 1xn vektor og R nx1 vektor.
Dreifnin fæst samkvæmt eftirfarandi reiknireglu:\[d^{2}(r) = wMw'\]þar sem M er nxn fylki, svokallað dreifni-samdreifni fylki. Stak í röð i og dálki j í M er samdreifni breytinga á gengi gjaldmiðla i og j gagnvart krónu. Stak í röð i og dálki i er dreifni breytinga á gengi gjaldmiðils i gagnvart krónu.
Til eru lausnir á þessu vandamáli, til dæmis að finna besta w fyrir sérhvert r en ekki verður farið út í að lýsa þeim hér. Einnig er hægt að láta nútímatöflureikna leita að besta w með því að segja þeim að lágmarka dreifni með því að breyta w að gefnu því hliðarskilyrði að vænt vaxtabyrði sé ekki hærri en ákveðið viðmiðunarmark.
Þótt stærðfræðin sem þarf til að leysa þetta vandamál hafi verið þekkt í nær hálfa öld eru ýmis vandamál við framkvæmdina. Til dæmis er nokkuð snúið að meta væntar gengisbreytingar og dreifni og samdreifni (eða fylgni). Þá er sérstakt vandamál að þessar stærðir og vaxtakjör breytast með tímanum. Því þarf helst að endurskoða lánakörfur reglulega og breyta samsetningu þeirra. Því fylgir kostnaður sem getur verið umtalsverður ef lánsupphæðir eru lágar eða breytingar eru gerðar mjög ört.
Frekara lesefni á Vísindavefnum: