Hvernig voru logratöflur búnar til fyrir daga tölvunnar?

Nafn þitt

Netfang þitt

Netfang móttakanda

Ruslpóstvörn =

Svar

Hvernig voru logratöflur búnar til fyrir daga tölvunnar?
Bæði í verkum síðmiðalda og í verkum Arkímedesar (287 – 212 f. Kr.) má sjá þess merki að menn hafa tekið eftir því að samlagning veldisvísa tiltekinnar tölu, til dæmis 2, samsvarar margföldun talnanna. Dæmi um það gæti til dæmis verið

2⁵·2⁷ = 32·128 = 4096,

en einnig mætti reikna

2⁵·2⁷ = 2⁵⁺⁷ = 2¹² = 4096.

Margföldun er allflókin og tímafrek aðgerð miðað við samlagningu þannig að þarna má eygja leið til að auðvelda útreikninga. Gallinn var þó sá að bilið milli heiltöluvelda af heiltölum, jafnvel af tölunni 2, er alltof stórt til þess að hægt sé að beita einföldum brúunaraðferðum til að finna gildi sem liggja á milli veldanna. Þannig er til dæmis 2² = 4 og 2³ = 8 en 2^2,5 er ekki 6 sem er mitt á milli 4 og 8, heldur rúmlega 5,6.

John Napier (1550-1617) var skoskur óðalsbóndi sem stjórnaði miklum eignum og þurfti því að fást við útreikninga. Hann bjó til margföldunartöflur og fékk snemma áhuga á hvernig hægt væri að nota veldisvísa til hægðarauka við reikninga. Árið 1614 birti Napier bók sína, Lýsing á hinni undursamlegu lograreglu. Orðið logra eða lógaritma myndaði hann af grísku orðunum logos sem merkir hlutfall og ariþmos sem merkir tala þannig að logri/lógaritmi merkir hlutfallstala. Bókin vakti verðskuldaða athygli og hrifningu.

Til þess að fá sem þéttust gildi í jafnhlutfallaröð heiltöluvelda af tiltekinni grunntölu notaði Napier grunntöluna 1 – 10^-7 = 0,9999999. Töflur sínar byggði Napier upp með endurtekinni margföldun. Þótt allir reikningar væru gerðir í höndum voru skekkjur ótrúlega fáar.

Árið 1615 kynntist Napier aðdáanda verksins, Henry Briggs (1561-1630). Þeir urðu ásáttir um að nota 10 sem grunntölu þannig að logrinn af 1 skyldi vera 0 en logrinn af 10 vera 1. Briggs tókst svo á hendur að reikna út logra með grunntölunni 10 fyrir tölur frá 1 til 20000 og 90000 til 100000, með 30 aukastöfum. Í stað þess að reikna veldi af tölu mjög nærri einum eins og Napier gerði tók Briggs ferningsrætur. Hann reiknaði til dæmis \(\sqrt{10}=3,162277\) og setti log(3,162277) = 0,5. Út frá því gat hann reiknað 10^3/2 og með því að taka ferningsrót af þeirri stærð fann hann 10^3/4. Þannig hélt hann áfram og þétti logragildin. Töflur Briggs, sem voru gefnar út 1617 og aftur 1624 og voru fullgerðar af Aadrian Vlacq (1600-1667) árið 1628, voru grunnur að öllum logratöflum langt fram á 20. öld. Slíkar töflur voru gefnar út prentaðar til notkunar í skólum og víðar en um 1975 tóku reiknivélar að leysa þær af hólmi.

Lograr með grunntölunni 10 voru kenndir við Briggs og nefndir Briggslograr. Aðrar grunntölur hafa einnig verið notaðar. Þeir lograr sem nú koma mest við sögu í skólanámi eru lograr með grunntölunni e ~ 2,718. Þeir eru nefndir náttúrlegir lograr og gegna mikilvægu hlutverki í reikningum sem tengjast náttúruvísindum. Í tölvunarfræði er notaður logri með grunntölunni 2.

Síðar á 17. öld jókst mjög þekking manna á óendanlegum röðum. Með jöfnunni \[log(1+x)=x-\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{5}}{5}-\frac{x^{7}}{7}+\frac{x^{9}}{9}-...+\frac{(-1)^{n}x^{2n+1}}{2n+1}+...\] er náttúrlegur logri settur fram sem óendanleg veldaröð og eftir henni er hægt að reikna logragildi fyrir hvaða x sem er. Þessi röð var verk Nicolas Mercators (1620 – 1687) og William Brounckers (1620 – 1684). Raðir á borð við þessa eru innbyggðar í reiknitæki nú á dögum til að reikna logra og hornaföll.

Reiknistokkar voru algengir meðal verkfræðinga og annarra sem framkvæma þurftu nákvæma útreikninga. Á reiknistokk er tölunum frá 1 til 10 raðað upp á tvo lograkvarða. Kvörðunum er síðan rennt til þannig að þegar tiltekinni lengd á öðrum kvarðanum er bætt við lengd á hinum kvarðanum jafngildir það margföldun en sé hún dregin frá jafngildir það deilingu. Lengd eftir kvarðanum jafngildir í rauninni tölu eða hlutfalli og aðgerðir með reiknistokknum eiga sér nána hliðstæðu í reikningi með logrum þó að notendur hafi ekki alltaf gert sér það ljóst.

Heimildir:

• Boyer, Carl og Merzbach, Uta: A History of Mathematics. John Wiley and Sons. 1991.
• Katz, Victor: A History of Mathematics. Harper Collins College Publishers. 1993.

Myndir:

• University of St Andrews, School of Mathematical and Computational Science: John Napier og William Brouncker

...