Sendu inn spurningu

Hér getur þú sent okkur nýjar spurningar um vísindaleg efni.

Hafðu spurninguna stutta og hnitmiðaða og sendu aðeins eina í einu. Einlægar og vandaðar spurningar um mikilvæg efni eru líklegastar til að kalla fram vönduð og greið svör. Ekki er víst að tími vinnist til að svara öllum spurningum.

Persónulegar upplýsingar um spyrjendur eru eingöngu notaðar í starfsemi vefsins, til dæmis til að svör verði við hæfi spyrjenda. Spurningum er ekki sinnt ef spyrjandi villir á sér heimildir eða segir ekki nægileg deili á sér.

Spurningum sem eru ekki á verksviði vefsins er eytt.

Að öðru leyti er hægt að spyrja Vísindavefinn um allt milli himins og jarðar!

=

Hvernig reiknuðu menn með brotum á dögum Rómaveldis?

Upphafleg spurning var sem hér segir:
Notuðu Rómverjar brotareikning, og ef svo var, hvernig táknuðu þeir hann með öllum sínum X-um og V-um?
Engar heimildir eru um það að Rómverjar hafi sett upp reikningsdæmi með X-um og V-um eða öðrum talnatáknum þess tíma.

Reikningar voru í upphafi gerðir í sand eða á plötur sem sandi var stráð á. Markaðir voru dálkar í sandinn og í dálkana var síðan raðað smávölum sem nefndar voru calculi eða lapuli. Völurnar voru gjarnan úr fílabeini eða öðru endingargóðu efni og voru geymdar í öskjum, nefndum loculi.

Dálkarnir í sandinum voru undanfarar talnagrindar. Rómverskar talnagrindur, sem varðveist hafa, eru með allmörgum þvergrindum, tvískiptum þannig að fjórar perlur eru öðrum megin en ein (eða tvær) hinum megin. Staka perlan táknar 5 en hinar fjórar eina einingu hver. Þannig er hægt að tákna allar tölur frá einum upp í níu. Slíkar talnagrindur er alþekktar í mörgum menningarsamfélögum og hafa verið notaðar í Austur-Asíu til skamms tíma.

Dálkarnir í sandinum og grindurnar á talnagrindinni tákna sæti þannig að dálkurinn lengst til vinstri hefur táknað einingasæti, næsti dálkur tugasæti og svo framvegis.

Hvað brot varðar fer litlum sögum af brotareikningi Rómverja til forna en vitað er um brot hjá eldri menningarþjóðum, svo sem Egyptum og Grikkjum, og líklegt að Rómverjar hafi lært af þeim. Báðar þessar þjóðir notuðu mest einingarbrot, það er að segja brot með einn í teljara, svo sem \(\frac{1}{2}\), \(\frac{1}{4}\), \(\frac{1}{5}\), \(\frac{1}{7}\) og svo framvegis. Slík brot voru ekki mjög hentug til reikninga. Voru útbúnar sérstakar töflur til að margfalda brotin og leggja saman. Er óhætt að segja að engin hentug uppsetning hafi verið notuð heldur stuðst við hugareikning og töflur. Þetta var svo langt fram á miðaldir, jafnvel eftir að tugasætiskerfið kom fram.

Almenn brot með nefnaranum sextíu, sem áttu rætur að rekja til Babýloníumanna alllöngu fyrir tímatal okkar, voru notuð við útreikninga á gangi himintunglanna og aðrar vísindalegar iðkanir. Þau eru raunar notuð við staðarákvarðanir enn í dag því að mínútur í landfræðilegri lengd og breidd eru sextugustu hlutar úr gráðu og sekúndur eru aftur sextugustu partar úr mínútu. Hnattstaða Reykjavíkur er til dæmis 64°8’24’’ n.br., eða 64 gráður, 8 mínútur og 24 sekúndur norðlægrar breiddar.

Sextugabrot voru rituð á þennan sama hátt á dögum Ptólemaíosar sem var uppi á 2. öld eftir Krist. Ptólemaíos reiknaði og ritaði miklar töflur sem samsvara sínus og kósínus vorra tíma. Töflurnar voru reiknaðar í sextugakerfi. Ptólemaíos ritaði á grísku og bjó í Alexandríu þar sem nú er Egyptaland en á þeim tíma laut það rómverska heimsveldinu.

Grikkir rituðu tölur með bókstöfum þannig að fyrstu níu stafirnir í stafrófinu táknuðu tölurnar 1 til 9, næstu níu bókstafir táknuðu tugina 10 til 90 og hundruðin voru táknuð á sama hátt. Ptólemaíos ritaði til dæmis 5°45’27’’ þannig: e me kx. Þetta var eins konar sætiskerfi. Til dæmis kemur stafurinn e tvisvar fyrir, fyrst sem 5 gráður en síðan sem 5 mínútur.

Hafa verður í huga að rómverska heimsveldið var víðáttumikið og það var ekki einsleitt heldur mættust þar margir menningarstraumar. Sextugakerfið er ættað frá Babýloníumönnum, sem bjuggu þar sem nú er Írak, en einingabrotin frá Egyptum. Landsvæðið þar sem áður var ríki Hellena á næstu öldum fyrir fæðingu Krists var komið undir Rómaveldi á næstu öldum eftir Krists burð. En hellensk menning lifði og mál menntaðra manna víða í Rómaveldi var gríska. Mörgum menningarþáttum laust saman og menn voru ekki ætíð samkvæmir sjálfum sér í framsetningu talna eða annarri fræðiiðkun. Ptólemaíos blandaði til dæmis saman grískri talnaritun og sextugakerfi. Auk þess átti ólík framsetning við ólík viðfangsefni.

Sætistalnaritun í tugakerfi er ættuð frá Indverjun og Aröbum og er oft nefnd indóarabísk talnaritun. Upphaf slíkrar talnaritunar í Evrópu er oft miðuð við árið 1202 eða ritun bókarinnar Liber Abaci (Bókin um talnagrindina) eftir Leonardo Fibonacci. Talnaritunin breiddist hratt út á 13. öld en tugabrot komu þó ekki til sögunnar fyrr en hollenski stærðfræðingurinn Stevin birti verk sitt De Thiende (List tíunduhlutanna) árið 1585. Fram til þess tíma höfðu menn einungis notað almenn brot og einingabrotin urðu einnig lífseig. Fibonacci notaði til dæmis helst einingabrot þótt þau væru stirð til útreikninga.

Segja má að það hafi tekið um það bil heila þúsöld eftir að sætistalnaritun í tugakerfi varð til meðal Indverja þar til menn fóru að nota hana til brotareikninga þar sem kostir hennar nýtast þó einmitt sérlega vel. Að lokum má nefna að ritháttur brota var lengi á reiki. Stundum var teljari ritaður fyrir ofan nefnara en einnig var nefnari ritaður fyrir ofan teljara. Brotastrik kom fram með indóevrópskum tölum í byrjun 13. aldar en var þó ekki almennt notað fyrr en á 16. öld.

Heimildir:
  • Aaboe, Asger: Episodes from the Early History of Mathematics. MAA: New Mathematical Library. 1964.
  • Boyer, Carl, og Merzbach, Uta: A History of Mathematics. John Wiley and Sons. 1991.
  • Steel, Robert: The Earliest Arithmetics in English. Kraus Reprint. N.Y. 1988.

Mynd:

Útgáfudagur

3.5.2001

Spyrjandi

Trausti Th. Kristinsson

Höfundur

Kristín Bjarnadóttir

prófessor emerita

Tilvísun

Kristín Bjarnadóttir. „Hvernig reiknuðu menn með brotum á dögum Rómaveldis?“ Vísindavefurinn, 3. maí 2001. Sótt 25. september 2017. http://visindavefur.is/svar.php?id=1562.

Kristín Bjarnadóttir. (2001, 3. maí). Hvernig reiknuðu menn með brotum á dögum Rómaveldis? Vísindavefurinn. Sótt af http://visindavefur.is/svar.php?id=1562

Kristín Bjarnadóttir. „Hvernig reiknuðu menn með brotum á dögum Rómaveldis?“ Vísindavefurinn. 3. maí. 2001. Vefsíða. 25. sep. 2017. <http://visindavefur.is/svar.php?id=1562>.

Chicago | APA | MLA

Sendu inn spurningu
eða

Vísindadagatalið

Smásjá

Smásjá er tæki til að skoða smáa hluti mikið stækkaða. Fyrstu smásjárnar voru líklega gerðar í Hollandi seint á 16. öld. Hollenski vísindamaðurinn Antonie van Leeuwenhoek (1632–1723) beitti smásjá við rannsóknir á smásæjum fyrirbærum. Hann er oft kallaður faðir örverufræðinnar.