Senda inn spurningu
Sólin Sólin Rís 05:40 • sest 21:16 í Reykjavík
Tunglið Tunglið Rís 15:13 • Sest 05:59 í Reykjavík
Flóð Flóð Árdegis: 03:57 • Síðdegis: 16:31 í Reykjavík
Fjaran Fjara Árdegis: 10:23 • Síðdegis: 22:34 í Reykjavík
Visit the English version

Flokkun:

Náttúruvísindi og verkfræði Stærðfræði

Er alltaf bein lína á milli tveggja punkta og geta beinar línur haft fleiri en einn skurðpunkt?

Gunnar Þór Magnússon

Spurningar um línur og punkta eru á verksviði rúmfræði, en það getur verið flókið að svara þeim. Þetta stafar af því að rúmfræði er meira en 5000 ára og það eru til margar undirgreinar í stærðfræði, eins og algebruleg rúmfræði, diffurrúmfræði og grannfræði, sem allar eru settar undir sama rúmfræðihattinn. Áherslur og frumsendur eru ólíkar í þessum greinum. Til þess að geta svarað spurningunum þurfum við því fyrst að gera grein fyrir í hvaða samhengi við ætlum að skoða þær.

Síða úr miðaldahandriti að kennslubók Evklíðs um rúmfræði.

Eðlilegast er þó að svara spurningum um punkta og línur í svokallaðri rúmfræði Evklíðs (um 300 f.Kr) sem er kennd í grunnskólum, en í henni er fjallað um punkta, línur, þríhyrninga og hringi sem liggja í plani eða sléttu. En þó að báðum spurningunum sé fljótsvarað í evklíðskri rúmfræði, þá er hægt að spyrja sig hvort svarið við þeim breytist ef við færum okkur yfir í eitthvert annað samhengi, svo sem óevklíðska rúmfræði, eða einhverja frumstæðari útgáfu rúmfræði?

Öll þessi afbrigði rúmfræðinnar eiga það sameiginlegt að gefa sér tilvist hluta sem við köllum punkta og línur, og gera svo ráð fyrir einhverjum frumsendum um þessa hluti. Þessar frumsendur eru mismunandi milli afbrigða; til dæmis er vel þekkt að ef manni er gefinn punktur og lína í evklíðskri rúmfræði, þá má finna línu sem fer gegnum punktinn og er samsíða upphaflegu línunni. Í óevklíðskri rúmfræði er þessari frumsendu svo neitað. Ef maður athugar hvað er gefið hverju sinni kemur þó í ljós að öll þessi afbrigði rúmfræðinnar eiga nokkrar frumsendur sameiginlegar, og ein þeirra er:

Sérhverjir tveir ólíkir punktar liggja á einhverri línu.

Við getum því svarað fyrri spurningunni játandi: Á milli tveggja ólíkra punkta liggur alltaf lína, óháð því hvers konar rúmfræði við beitum.

Vandamálið við að svara seinni spurningunni liggur í frumsendunni hér að ofan, en orðalagið þar er ekki nógu nákvæmt. Hún segir að á milli tveggja ólíkra punkta liggur að minnsta kosti ein lína, en er sú lína eina línan sem báðir punktarnir liggja á? Við getum ekki ályktað það, svo við þurfum að gera ráð fyrir sitt hvorum möguleikanum, og athuga hvað gerist.

Hér skerast tvær ólíkar línur í mesta lagi í einum punkti.

Ef við gerum ráð fyrir að á milli tveggja ólíkra punkta liggi nákvæmlega ein lína, þá má svara seinni spurningunni neitandi, eins og sést af eftirfarandi röksemdafærslu: Látum l og m vera tvær ólíkar línur, og gerum ráð fyrir að þær skerist í tveimur ólíkum punktum, sem við köllum A og B. Samkvæmt frumsendu liggur nákvæmlega ein lína milli A og B, svo við ályktum að l og m séu sama línan. Þetta er í mótsögn við að línurnar séu ólíkar, svo við höfum séð að tvær ólíkar línur geti í mesta lagi skorist í einum punkti.

Í evklíðskri rúmfræði sem er kennd í grunnskólum er gert ráð fyrir að á milli tveggja ólíkra punkta liggi nákvæmlega ein lína, svo þar geta línur í mesta lagi skorist í einum punkti. Þessi eiginleiki er þó ekki einskorðaður við evklíðska rúmfræði, því hann gildir til dæmis líka í varprúmfræði, en í henni er gert er ráð fyrir að allar línur skerist og samsíða línur eru því ekki til þar.

Á hinn bóginn getum við gert ráð fyrir að á milli tveggja ólíkra punkta geti legið fleiri en ein lína. Þá fæst ein tegund óevklíðskrar rúmfræði sem er kölluð sporger rúmfræði, en það er til eitt annað afbrigði óevklíðskrar rúmfræði sem nefnist breiðger rúmfræði. Við fyrstu sýn virðist sporger rúmfræði vera heldur ótengd raunveruleikanum, en svo er alls ekki. Hægt er að sjá fyrir sér dæmi um hana með því að skoða yfirborð kúlu. Punktarnir sem við höfum áhuga á eru þá einfaldlega punktarnir á yfirborði kúlunnar, og línurnar eru stórbaugar á yfirborði hennar, en það eru stærstu hringirnir sem komast fyrir á kúlunni. Þetta líkan hefur til dæmis hagnýtingu við langflug, því stysta leiðin milli tveggja borga er eftir stórbaugi sem þær liggja báðar á.



Stórbaugar á kúlu sem mynda þríhyrning. Í sporgerri rúmfræði er línan milli punktanna A og B stórbaugurinn c.

Á kúlunni getur fleiri en einn stórbaugur legið á milli tveggja punkta; ef við veljum okkur punkt af handahófi og tökum svo punktinn sem er hinum megin á kúlunni, þá eru til óendanlega margir stórbaugar sem þeir liggja báðir á. Þetta svarar til þess að ef okkur langar að fljúga frá Íslandi til Nýja-Sjálands án þess að taka tillit til vinda, þá er nokkurn veginn sama í hvaða átt við fljúgum meðan við pössum okkur á því að beygja aldrei til hægri eða vinstri.

Á rúmfræðimáli þýðir þetta að til eru tveir ólíkir punktar þannig að á milli þeirra liggur fleiri en ein lína. Enda sjáum við að sérhverjir tveir ólíkir stórbaugar skerast í tveimur punktum, sem þýðir að allar ólíkar línur eiga fleiri en einn skurðpunkt.

Meira efni um rúmfræði á Vísindavefnum:

Heimildir og myndir:

Höfundur

Gunnar Þór Magnússon

Gunnar Þór Magnússon

stærðfræðingur

Útgáfudagur

24.9.2008

Spyrjandi

Anna Halldórsdóttir
Óttar Runólfsson

Efnisorð

Tilvísun

Gunnar Þór Magnússon. „Er alltaf bein lína á milli tveggja punkta og geta beinar línur haft fleiri en einn skurðpunkt?“ Vísindavefurinn, 24. september 2008. Sótt 19. apríl 2024. http://visindavefur.is/svar.php?id=20655.

Gunnar Þór Magnússon. (2008, 24. september). Er alltaf bein lína á milli tveggja punkta og geta beinar línur haft fleiri en einn skurðpunkt? Vísindavefurinn. Sótt af http://visindavefur.is/svar.php?id=20655

Gunnar Þór Magnússon. „Er alltaf bein lína á milli tveggja punkta og geta beinar línur haft fleiri en einn skurðpunkt?“ Vísindavefurinn. 24. sep. 2008. Vefsíða. 19. apr. 2024. <http://visindavefur.is/svar.php?id=20655>.

Chicago | APA | MLA

Þessi síða notar vafrakökur Nánari upplýsingar

Ég samþykki
Spyrja

Sendu inn spurningu LeiðbeiningarTil baka

Hér getur þú sent okkur nýjar spurningar um vísindaleg efni.

Hafðu spurninguna stutta og hnitmiðaða og sendu aðeins eina í einu. Einlægar og vandaðar spurningar um mikilvæg efni eru líklegastar til að kalla fram vönduð og greið svör. Ekki er víst að tími vinnist til að svara öllum spurningum.

Persónulegar upplýsingar um spyrjendur eru eingöngu notaðar í starfsemi vefsins, til dæmis til að svör verði við hæfi spyrjenda. Spurningum er ekki sinnt ef spyrjandi villir á sér heimildir eða segir ekki nægileg deili á sér.

Spurningum sem eru ekki á verksviði vefsins er eytt.

Að öðru leyti er hægt að spyrja Vísindavefinn um allt milli himins og jarðar!

=

Senda grein til vinar

=

Er alltaf bein lína á milli tveggja punkta og geta beinar línur haft fleiri en einn skurðpunkt?
Spurningar um línur og punkta eru á verksviði rúmfræði, en það getur verið flókið að svara þeim. Þetta stafar af því að rúmfræði er meira en 5000 ára og það eru til margar undirgreinar í stærðfræði, eins og algebruleg rúmfræði, diffurrúmfræði og grannfræði, sem allar eru settar undir sama rúmfræðihattinn. Áherslur og frumsendur eru ólíkar í þessum greinum. Til þess að geta svarað spurningunum þurfum við því fyrst að gera grein fyrir í hvaða samhengi við ætlum að skoða þær.

Síða úr miðaldahandriti að kennslubók Evklíðs um rúmfræði.

Eðlilegast er þó að svara spurningum um punkta og línur í svokallaðri rúmfræði Evklíðs (um 300 f.Kr) sem er kennd í grunnskólum, en í henni er fjallað um punkta, línur, þríhyrninga og hringi sem liggja í plani eða sléttu. En þó að báðum spurningunum sé fljótsvarað í evklíðskri rúmfræði, þá er hægt að spyrja sig hvort svarið við þeim breytist ef við færum okkur yfir í eitthvert annað samhengi, svo sem óevklíðska rúmfræði, eða einhverja frumstæðari útgáfu rúmfræði?

Öll þessi afbrigði rúmfræðinnar eiga það sameiginlegt að gefa sér tilvist hluta sem við köllum punkta og línur, og gera svo ráð fyrir einhverjum frumsendum um þessa hluti. Þessar frumsendur eru mismunandi milli afbrigða; til dæmis er vel þekkt að ef manni er gefinn punktur og lína í evklíðskri rúmfræði, þá má finna línu sem fer gegnum punktinn og er samsíða upphaflegu línunni. Í óevklíðskri rúmfræði er þessari frumsendu svo neitað. Ef maður athugar hvað er gefið hverju sinni kemur þó í ljós að öll þessi afbrigði rúmfræðinnar eiga nokkrar frumsendur sameiginlegar, og ein þeirra er:

Sérhverjir tveir ólíkir punktar liggja á einhverri línu.

Við getum því svarað fyrri spurningunni játandi: Á milli tveggja ólíkra punkta liggur alltaf lína, óháð því hvers konar rúmfræði við beitum.

Vandamálið við að svara seinni spurningunni liggur í frumsendunni hér að ofan, en orðalagið þar er ekki nógu nákvæmt. Hún segir að á milli tveggja ólíkra punkta liggur að minnsta kosti ein lína, en er sú lína eina línan sem báðir punktarnir liggja á? Við getum ekki ályktað það, svo við þurfum að gera ráð fyrir sitt hvorum möguleikanum, og athuga hvað gerist.

Hér skerast tvær ólíkar línur í mesta lagi í einum punkti.

Ef við gerum ráð fyrir að á milli tveggja ólíkra punkta liggi nákvæmlega ein lína, þá má svara seinni spurningunni neitandi, eins og sést af eftirfarandi röksemdafærslu: Látum l og m vera tvær ólíkar línur, og gerum ráð fyrir að þær skerist í tveimur ólíkum punktum, sem við köllum A og B. Samkvæmt frumsendu liggur nákvæmlega ein lína milli A og B, svo við ályktum að l og m séu sama línan. Þetta er í mótsögn við að línurnar séu ólíkar, svo við höfum séð að tvær ólíkar línur geti í mesta lagi skorist í einum punkti.

Í evklíðskri rúmfræði sem er kennd í grunnskólum er gert ráð fyrir að á milli tveggja ólíkra punkta liggi nákvæmlega ein lína, svo þar geta línur í mesta lagi skorist í einum punkti. Þessi eiginleiki er þó ekki einskorðaður við evklíðska rúmfræði, því hann gildir til dæmis líka í varprúmfræði, en í henni er gert er ráð fyrir að allar línur skerist og samsíða línur eru því ekki til þar.

Á hinn bóginn getum við gert ráð fyrir að á milli tveggja ólíkra punkta geti legið fleiri en ein lína. Þá fæst ein tegund óevklíðskrar rúmfræði sem er kölluð sporger rúmfræði, en það er til eitt annað afbrigði óevklíðskrar rúmfræði sem nefnist breiðger rúmfræði. Við fyrstu sýn virðist sporger rúmfræði vera heldur ótengd raunveruleikanum, en svo er alls ekki. Hægt er að sjá fyrir sér dæmi um hana með því að skoða yfirborð kúlu. Punktarnir sem við höfum áhuga á eru þá einfaldlega punktarnir á yfirborði kúlunnar, og línurnar eru stórbaugar á yfirborði hennar, en það eru stærstu hringirnir sem komast fyrir á kúlunni. Þetta líkan hefur til dæmis hagnýtingu við langflug, því stysta leiðin milli tveggja borga er eftir stórbaugi sem þær liggja báðar á.



Stórbaugar á kúlu sem mynda þríhyrning. Í sporgerri rúmfræði er línan milli punktanna A og B stórbaugurinn c.

Á kúlunni getur fleiri en einn stórbaugur legið á milli tveggja punkta; ef við veljum okkur punkt af handahófi og tökum svo punktinn sem er hinum megin á kúlunni, þá eru til óendanlega margir stórbaugar sem þeir liggja báðir á. Þetta svarar til þess að ef okkur langar að fljúga frá Íslandi til Nýja-Sjálands án þess að taka tillit til vinda, þá er nokkurn veginn sama í hvaða átt við fljúgum meðan við pössum okkur á því að beygja aldrei til hægri eða vinstri.

Á rúmfræðimáli þýðir þetta að til eru tveir ólíkir punktar þannig að á milli þeirra liggur fleiri en ein lína. Enda sjáum við að sérhverjir tveir ólíkir stórbaugar skerast í tveimur punktum, sem þýðir að allar ólíkar línur eiga fleiri en einn skurðpunkt.

Meira efni um rúmfræði á Vísindavefnum:

Heimildir og myndir:

...