Sendu inn spurningu

Hér getur þú sent okkur nýjar spurningar um vísindaleg efni.

Hafðu spurninguna stutta og hnitmiðaða og sendu aðeins eina í einu. Einlægar og vandaðar spurningar um mikilvæg efni eru líklegastar til að kalla fram vönduð og greið svör. Ekki er víst að tími vinnist til að svara öllum spurningum.

Persónulegar upplýsingar um spyrjendur eru eingöngu notaðar í starfsemi vefsins, til dæmis til að svör verði við hæfi spyrjenda. Spurningum er ekki sinnt ef spyrjandi villir á sér heimildir eða segir ekki nægileg deili á sér.

Spurningum sem eru ekki á verksviði vefsins er eytt.

Að öðru leyti er hægt að spyrja Vísindavefinn um allt milli himins og jarðar!

=

Hvað er sigti eða sáldur Eratosþenesar?

Eratosþenes frá Kýreneu var forngrískur vísindamaður sem var uppi um 250 f.Kr. Hans er meðal annars minnst fyrir að hafa áætlað ummál jarðar nokkuð nákvæmlega, gert landakort af þeim hluta heimsins sem var þekktur á tímum Grikkja, og fyrir að hafa reiknað út að árið er 365,25 dagar. Við höfum áður fjallað um Eratosþenes hér á Vísindavefnum, sjá svar Geirs Þ. Þórarinssonar við spurningunni Hver var Eratosþenes?, og svari Stefáns Inga Valdimarssonar við Hvernig fann Eratosþenes ummál jarðar svo nákvæmlega meira en 200 árum fyrir Krist?.

Sigti Eratosþenesar er einföld aðferð til að finna allar frumtölur sem eru minni en einhver gefin tala. Frumtölurnar eru þær náttúrlegar tölur stærri en 1 sem eru aðeins deilanlegar með sjálfri sér og 1; nokkrar þær fyrstu eru 2, 3, 5, 7, 11 og 13. Með öðrum orðum eru frumtölur ekki samsettar eða þættanlegar; ekki er hægt að skrifa þær sem margfeldi tveggja eða fleiri annarra talna. Með aðferð Erastosþenesar eru margfeldi af frumtölunum, samsettu tölurnar, ,,sigtaðar út'' þar til frumtölurnar standa einar eftir, eins og gullmolar í sigti hjá gullleitarmönnum í gamla daga.

Segjum að við viljum finna allar frumtölur sem eru minni en 100 með sigti Eratosþenesar. Þá byrjum við á því að skrifa tölurnar frá 2 og upp í 100 upp, en við byrjum á 2 af því að hún er minnsta frumtalan (við höfum 0 fyrir framan fyrstu tölurnar svo listinn komi betur út).

02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17
18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33
34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49
50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65
66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81
82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97
98 99 100

Næst strokum við út aðra hverja tölu frá 4 og upp úr, því þær eru allar margfeldi af 2 og því ekki frumtölur:

02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17
18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33
34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49
50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65
66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81
82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97
98 99 100

Þegar því er lokið gerum við það sama fyrir öll margfeldi af 3 frá og með 6:

02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17
18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33
34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49
50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65
66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81
82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97
98 99 100

Þetta endurtökum við fyrir tölurnar sem eftir standa, eina af annarri, og á endanum sitjum við uppi með allar frumtölurnar sem eru minni en 100, en þær eru feitletraðar.

02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17
18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33
34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49
50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65
66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81
82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97
98 99 100
Hér hefðum við getað sparað okkur nokkra vinnu með því að gera okkur grein fyrir eftirfarandi niðurstöðu:
Ef frumtala sem er stærri en 10 (ferningsrótin af 100) gengur upp í tölu sem er minni en eða sama sem 100, þá er útkoman úr deilingunni minni en 10 og annaðhvort frumtala eða margfeldi frumtalna sem eru minni en 10.
Af þessu leiðir aðra reglu:
Ef hægt er að skrifa tölu sem er minni en 100 sem margfeldi tveggja eða fleiri frumtalna og ein þeirra er stærri en 10, þá eru hinar minni en 10

Þetta þýðir hér að við útrýmum öllum samsettum tölum með því að beita sigti Eratosþenesar með öllum frumtölum sem eru minni en eða sama sem 10. Við hefðum getað hætt um leið og við vorum búin að stroka út öll margfeldi af 7, því að 8, 9 og 10 eru ekki frumtölur. En þá vitum við að einhver frumtalnanna frá 2 og upp í 7 gengur upp í öllum tölum minni en 100 sem ekki eru frumtölur. Við getum því ályktað að ef engin frumtalnanna 2, 3, 5 eða 7 ganga upp í tölu á bilinu 2 til 100, þá er sú tala frumtala. Þannig hefur þessi einfalda hugleiðing okkar um sigti Eratosþenesar fært okkur sem aukagetu aðra einfalda aðferð til að höndla frumtölur upp í 100.

Almenna tilfellið þegar ákveðin tala N kemur í stað 100 gengur alveg eins fyrir sig, nema við byrjum á að skrifa upp tölurnar frá 2 og upp í N, og við getum hætt þegar við erum búin að stroka út öll margfeldi af þeim frumtölum sem eru minni en eða sama sem kvaðratrótin af N.

Annað efni á Vísindavefnum:

Útgáfudagur

24.7.2008

Spyrjandi

Salómon Gunnar Erlendsson

Höfundur

Gunnar Þór Magnússon

stærðfræðingur

Tilvísun

Gunnar Þór Magnússon. „Hvað er sigti eða sáldur Eratosþenesar?“ Vísindavefurinn, 24. júlí 2008. Sótt 21. október 2018. http://visindavefur.is/svar.php?id=30546.

Gunnar Þór Magnússon. (2008, 24. júlí). Hvað er sigti eða sáldur Eratosþenesar? Vísindavefurinn. Sótt af http://visindavefur.is/svar.php?id=30546

Gunnar Þór Magnússon. „Hvað er sigti eða sáldur Eratosþenesar?“ Vísindavefurinn. 24. júl. 2008. Vefsíða. 21. okt. 2018. <http://visindavefur.is/svar.php?id=30546>.

Chicago | APA | MLA

Sendu inn spurningu
eða

Vísindadagatalið

Helga Zoega

1976

Helga Zoega er prófessor í lýðheilsuvísindum við Læknadeild HÍ. Rannsóknir Helgu eru á sviði lyfjafaraldsfræði og beinast einkum að lyfjanotkun meðal barnshafandi kvenna og barna – hópum sem lyf eru sjaldnast prófuð á áður en þau koma á markað.