Sendu inn spurningu

Hér getur þú sent okkur nýjar spurningar um vísindaleg efni.

Hafðu spurninguna stutta og hnitmiðaða og sendu aðeins eina í einu. Einlægar og vandaðar spurningar um mikilvæg efni eru líklegastar til að kalla fram vönduð og greið svör. Ekki er víst að tími vinnist til að svara öllum spurningum.

Persónulegar upplýsingar um spyrjendur eru eingöngu notaðar í starfsemi vefsins, til dæmis til að svör verði við hæfi spyrjenda. Spurningum er ekki sinnt ef spyrjandi villir á sér heimildir eða segir ekki nægileg deili á sér.

Spurningum sem eru ekki á verksviði vefsins er eytt.

Að öðru leyti er hægt að spyrja Vísindavefinn um allt milli himins og jarðar!

=

Hvaða ástæða er fyrir því að fallið e í veldinu (-x^2/2) er óheildanlegt fall?

Í raun er ekki rétt orðað hjá spyrjanda að $e$ í veldinu $\frac{-x^2}{2}$ eða $exp( \frac{-x^2}{2})$ sé óheildanlegt fall. Hins vegar er ekki hægt að skrifa stofnfall þess á endanlegu formi með margliðum, hornaföllum, veldisföllum eða blöndum af þeim.


Upphaflega var spurningin:
Nú er fallið e í veldinu (-x2)/2 óheildanlegt fall. Er einhver sérstök ástæða fyrir því? Einnig er hægt að benda á að fallið líkist mjög fallinu 1/(1 + x2) sem er afleiðan af arctan(x). Í x = 0 og x = 1,5852 taka þau sama gildi. Einnig stefna þau bæði á 0 ef x stefnir á + eða - óendanlegt. Gæti heildið af e í veldinu (-x2/2) verið einhvern veginn tengt arctan(x)?
Fallið $exp( \frac{-x^2}{2})$ er samfellt á öllu rauntalnamenginu og það er því heildanlegt yfir sérhvert bil miðað við þá skilgreiningu sem kennd er í menntaskólum. Þar að auki hefur heildið markgildi bæði þegar efra mark þess stefnir á óendanlegt og þegar það neðra stefnir á mínus óendanlegt. Öllu heildanlegri gerast föll ekki.

Engin ástæða er til að kvarta yfir því að ekki sé hægt að skrifa stofnfallið á endanlegu formi. Í raun er það sama uppi á teningnum með $\frac{1}{x}$. Öll föll á forminu $x^n$ má heilda og skrifa svarið sem $\frac{x^{n+1}}{n+1}$ nema $x^{-1}$, þá kemur í formúluna $\frac{x^0}{-1+1}$ sem er óskilgreint af því að þar er núll undir striki. Þá einfaldlega skilgreinum við nýtt fall sem við köllum $ln(t)$ þannig að $ln(t)$ sé heildið af $\frac{1}{x}$ frá $1$ og upp í $t$ og þar með er komið fínasta stofnfall fyrir $\frac{1}{x}$.

Á sama hátt er ekkert því til fyrirstöðu að skilgreina nýtt fall $g(t)$ þannig að $g(t)$ sé tegrið af $exp( \frac{-x^2}{2})$ frá $0$ og upp í $t$. Hér er þá komið stofnfall fyrir $exp( \frac{-x^2}{2})$. Þetta fall er líklega á fæstum reiknivélum en það stafar einfaldlega af því að það kemur sjaldnar fyrir en þau föll sem eru þar. Ekkert væri því þó til fyrirstöðu að setja það inn á reiknivélar, það er alveg jafnreiknanlegt og þau föll sem eru þar. Tölfræðingar kynnu að fagna þessu vegna þess að fallið $$\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot exp( \frac{-x^2}{2})$$lýsir hinni svokölluðu normaldreifingu. Fallið er hins vegar sýnt í ýmsum prentuðum stærðfræðitöflum.

Fallið $exp( \frac{-x^2}{2})$ er langt frá því að vera eitt um að hafa ekki stofnfall sem skrifa má á endanlegu formi með margliðum, hornaföllum og veldisföllum. Nokkur önnur einföld dæmi eru $sin(x^2)$, $\sqrt{1+cos^2(x)}$ og $\sqrt{1-x^4}$.

Það að finna raunverulega óheildanleg föll er talsvert erfitt. Í fyrsta lagi eru öll samfelld föll heildanleg eins og kemur fram að ofan. Takmörkuð föll sem eru bara ósamfelld í einstökum punktum sem hafa endanlegt bil á milli sín eru líka heildanleg. Ótakmörkuð föll geta verið óheildanleg, til að mynda er $\frac{1}{x}$ óheildanlegt á bili sem inniheldur 0. Hins vegar þarf takmarkað fall að minnsta kosti að vera ósamfellt á þéttu punktamengi til þess að vera óheildanlegt. Klassískt dæmi um slíkt fall er fall sem tekur gildið $1$ í öllum ræðum tölum en $0$ í öllum óræðum tölum. Það er óheildanlegt með þeirri skilgreiningu á heildanleika sem kennd er í menntaskóla þar sem miðað er við svonefnd Riemann-heildi. En með annarri skilgreiningu á heildum, sem kennd eru við Lebesgue, þá er jafnvel þetta fall heildanlegt!



Spyrjandi bendir á að gröf fallanna $exp( \frac{-x^2}{2})$ og $\frac{1}{1+x^2}$ líti svipað út. Það eru þó engin einföld tengsl á milli stofnfalla þeirra. Einnig má benda á að $exp( \frac{-x^2}{2})$ stefnir miklu hraðar á núll þegar $x$ stefnir á óendanlegt heldur en $\frac{1}{1+x^2}$ eins og sést á mynd.

Útgáfudagur

10.8.2000

Spyrjandi

Henning Arnór Úlfarsson

Höfundur

sérfræðingur á Stærðfræðistofu Raunvísindastofnunar Háskóla Íslands

Tilvísun

Stefán Ingi Valdimarsson. „Hvaða ástæða er fyrir því að fallið e í veldinu (-x^2/2) er óheildanlegt fall?“ Vísindavefurinn, 10. ágúst 2000. Sótt 16. nóvember 2019. http://visindavefur.is/svar.php?id=765.

Stefán Ingi Valdimarsson. (2000, 10. ágúst). Hvaða ástæða er fyrir því að fallið e í veldinu (-x^2/2) er óheildanlegt fall? Vísindavefurinn. Sótt af http://visindavefur.is/svar.php?id=765

Stefán Ingi Valdimarsson. „Hvaða ástæða er fyrir því að fallið e í veldinu (-x^2/2) er óheildanlegt fall?“ Vísindavefurinn. 10. ágú. 2000. Vefsíða. 16. nóv. 2019. <http://visindavefur.is/svar.php?id=765>.

Chicago | APA | MLA

Sendu inn spurningu
eða

Vísindadagatalið

Hanna Ragnarsdóttir

1960

Hanna Ragnarsdóttir er prófessor í fjölmenningarfræðum við Menntavísindasvið HÍ. Rannsóknir hennar hafa einkum beinst að börnum og fullorðnum af erlendum uppruna í íslensku samfélagi og skólum og ýmsum þáttum fjölmenningarlegs skólastarfs.