Hvaða formúla er notuð til að finna hversu langt á að slá golfkúlu ef hola stendur lægra eða hærra en teigur?

Nafn þitt

Netfang þitt

Netfang móttakanda

Ruslpóstvörn =

Svar

Hvaða formúla er notuð til að finna hversu langt á að slá golfkúlu ef hola stendur lægra eða hærra en teigur?
Spyrjandi sendi Vísindavefnum ýtarlega skýringu:

Svar Vísindavefsins við spurningu Loga Bergmanns byggir á misskilningi. Ritstjóri vefsins umorðar spurningu Loga og tapar við það inntaki spurningarinnar.

Kylfingar almennt vita hversu langt þeir slá á jafnsléttu með hverri kylfu. Það sem Logi vill fá að vita er hvað hæðarmunur á golfvelli jafngildir mörgum metrum á jafnsléttu. Þá skiptir máli hvort hæðarmunurinn er upp eða niður á við, vegna þess að þyngdarafl jarðar hefur áhrif á flug boltans. Þeir sem hafa spilað golf vita ef slegið er niður í móti þá ferðast golfkúla lengra heldur en ef sama högg er slegið uppí mót. Það er mikilvægt að þetta sé leiðrétt, því þessu er miðlað til almennings. Svar Vísindavefsins væri rétt ef golf væri leikið í þyngdarleysi, eins og úti í geimnum, en þar eru fáir kylfingar.

Fullkomið svar við spurningunni væri talsvert flókið því ýmsir þættir ráða því hversu langt golfkúla berst. Í svarinu munum við til einföldunar gefa okkur eftirfarandi forsendur og vanir golfarar þurfa þá að meta hversu mikilvægir þessir þættir eru í raun og veru:

• Forsenda 1) Engin loftmótstaða verkar á kúluna sem þýðir að loftið hvorki hægir á kúlunni né stuðlar að svifi hennar. Auk þess hafa vindur og regn engin áhrif.
• Forsenda 2) Kúlan rúllar ekkert eftir að hún lendir. Til að taka tillit til rúllvegalengdar þyrfti bæði að reikna með snúningi kúlunnar, hæðarmismuni og núningi milli kúlu og grass.

Hugsum okkur að kylfan sem er notuð sendi kúluna upp með upphafsferðinni $v_u$ undir horninu $\alpha$ miðað við lárétt, sjá mynd 1.

Golfarinn getur haft einhverja stjórn á gildunum á $v_u$ og $\alpha$ með vali á kylfu og höggtækni. Táknum vegalengdina sem kúlan færi við höggið miðað við að hún lenti í sömu hæð og teigurinn^[1] með $R_0$ og táknum láréttu vegalengdina sem hún færi miðað við að hún lenti í hæð $h$ miðað við teig með $R_h$. Hæðin $h$ getur verið bæði jákvæð eða neikvæð tala. Sýna má að til að koma kúlunni í lárétta fjarlægð $R_h$ þarf höggið miðað við jafnsléttu að vera

$$R_0 = \frac{R_h}{1-\cot(\alpha)\frac{h}{R_h}}.$$

Fallið $\cot(\alpha) = \frac{1}{\tan(\alpha)} = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}$ er svokallaður kótangens af horninu $\alpha$ og $\tan$, $\sin$ og $\cos$ eru hornaföll sem nefnast tangens, sínus og kósínus. Á mynd 2 er graf fallsins kótangens. Í þessu svari geta áhugasöm séð útleiðslu á þessari formúlu.

Spyrjandi vill vita hversu langt ætti að skjóta ef lárétt vegalengd í holu er $R_h=150\text{m}$ og flötin er í hæðinni $h=-10\text{m}$ miðað við teig. Ef slegið er með kylfu (til dæmis 8-járni) undir horni $\alpha = 20^\circ$ þá er $\cot(\alpha) = 2.74$. Þá fæst að

$$R_0 = \frac{150 \text{m} }{1+\cot(20^\circ)\frac{10}{150}} = 127\text{m}$$

það er höggið þarf að vera $23 \text{m}$ styttra en ef brautin væri lárétt.

Almennt gildir að breytingin á högglengd er háð því hvort holan er ofan við eða neðan við teiginn. Ef til dæmis $h=10\text{m}$ fæst að

$$R_0 = \frac{150 \text{m} }{1-\cot(20^\circ)\frac{10}{150}} = 184\text{m}$$

það er höggið þyrfti að vera $34 \text{m} $ lengra en ef brautin væri lárétt.

Ef hæðin $h$ er mjög lítil miðað við vegalengdina $R_h$ má gera nálgunina

$$R_0 \approx R_h + \cot(\alpha) h$$

sem þýðir að breytingin á högglengdinni er

$$\cot(\alpha) h$$

óháð því hvort $h$ er jákvætt eða neikvætt. Í dæmunum að ofan fengist að

$$\cot(\alpha) h = \pm 27 m$$

sem er ekki fjarri tölunum $-23 \text{m}$ og $+34 \text{m}$ sem fengust með nákvæmu formúlunni. Kosturinn við nálgunarformúluna er að það er einfaldara að reikna með henni.

Ef lesandi vill prófa að stinga inn mismunandi tölum og sjá hvernig $R_0$ breytist með $R_h$, $h$ og $\alpha$ má til dæmis fikta í eftirfarandi GeoGebra-smáforriti (einnig er hægt að nálgast smáforritið hér.)

Allt ofangreint byggir á því að forsendur 1) og 2) gildi sem er ekki endilega raunin. Oft má þó fá nokkuð góða mynd af því hver lengdarbreytingin á skotinu er með því að draga frá eða leggja við $R_h$ eitthvað margfeldi af hæðinni $h$ og reynsla af ólíkum aðstæðum gefur þá hugmynd um með hvaða stuðli á að margfalda.

Áhugasömum lesendum er bent á að í svari við spurningunni Hvernig er útleiðsla á formúlunni um það hversu langt golfkúla berst? er farið skref fyrir skref í gegnum útleiðsluna á formúlunni sem gefur samband $R_0, R_h, h$ og $\alpha$.

Myndir:

• Yfirlitsmynd: A man swinging a golf club at a golf course.. (Sótt 30.06.2025).
• Myndir í svari: SÖS.

Höfundur þakkar Bjarnheiði Kristinsdóttur, lektor í stærðfræði og stærðfræðimenntun við HÍ, fyrir aðstoð við uppsetningu á GeoGebra-smáforritinu.

...