Hvernig er útleiðsla á formúlunni um það hversu langt golfkúla berst?

Nafn þitt

Netfang þitt

Netfang móttakanda

Ruslpóstvörn =

Svar

Hvernig er útleiðsla á formúlunni um það hversu langt golfkúla berst?
Í svari við spurningunni Hvaða formúla er notuð til að finna hversu langt á að slá golfkúlu ef hola stendur lægra eða hærra en teigur? er farið á nokkuð einfaldan hátt yfir efnið. Þar er einnig hægt að setja inn tölur í GeoGebra-smáforrit til að átta sig betur á hlutunum. Í þessu svarið er síðan farið skref fyrir skref í gegnum útleiðsluna á formúlunni sem gefur samband $R_0, R_h, h$ og $\alpha$.

Lýsum staðsetningu kúlu í hnitakerfi með punktinum $(x(t),y(t))$ þar sem $x(t)$ táknar lárétta fjarlægð frá teig á tíma $t$ og $y(t)$ táknar hæð miðað við teig á tíma $t$. Gerum ráð fyrir að kylfingur standi á teig og slái kúluna á tíma $t=0$, en þá er $(x(0),y(0)) = (0,0)$. Hugsum okkur að kylfan sem er notuð sendi kúluna upp með upphafsferðinni $v_u$ undir horninu $\alpha$ miðað við lárétt, sjá mynd 1.

Táknum með $R_0$ vegalengdina sem kúlan færi við höggið miðað við að hún lenti í sömu hæð og teigurinn og táknum með $R_h$ láréttu vegalengdina sem hún færi miðað við að hún lenti í hæð $h$ miðað við teig. Hæðin $h$ getur verið bæði jákvæð eða neikvæð tala.

Annað lögmál Newtons, kraftur er jafn massa sinnum hröðun, gefur okkur hver ferill kúlunnar er að gefnum forsendum 1) og 2) sem hægt er að sjá í hinu svarinu. Eftir að kúlan hefur verið slegin er þyngdarkrafturinn eini krafturinn sem verkar á hana þar til hún lendir aftur. Hröðunin á tíma $t$ í lárétta ($a_x(t)$) og lóðrétta ($a_y(t)$) stefnu uppfyllir því jöfnurnar

$$\displaylines{m a_x(t) = 0 \\ m a_y(t) = -m g \quad (\text{mínusmerki því krafturinn vísar beint niður})}$$

þar sem $m$ er massi kúlunnar og $g=9.8 \text{m/s}$ er þyngdarhröðun jarðar. Athugum að massann má stytta út úr þessum jöfnum. Af þessu fæst að láréttur og lóðréttur hraði kúlunnar á tíma $t$ eru gefnir með

$$\displaylines{v_x(t) = v_u \cos(\alpha) \\ v_y(t) = v_u \sin(\alpha) - gt}$$

og hnit kúlunnar á tíma $t$ eru þá

$$ \displaylines{x(t) = v_u\cos(\alpha) t \\ y(t) = v_u\sin(\alpha) t - \frac{1}{2}g t^2.}$$

Þessar jöfnur fást með því að heilda í tvígang með tilliti til $t$ og nota upphafsskilyrði.

Gerum nú ráð fyrir að lendingarstaður sé í hæðinni $h$ miðað við teig og köllum flugtíma kúlunnar $T_h$. Fáum þá að

$$R_h = x(T_h) = v_u\cos(\alpha) T_h,$$

$$h = y(T_h) = v_u\sin(\alpha)T_h - \frac{1}{2} g T_h^2.$$

Með því að einangra $T_h$ í fyrri jöfnu, $T_h = R_h/(v_u\cos(\alpha))$, og stinga inn í seinni jöfnuna fæst

$$h = R_h \tan(\alpha) - \frac{gR_h^2}{2v_u^2 \cos(\alpha)^2}$$

sem má umrita í

$$\frac{h}{R_h^2} = \frac{\tan(\alpha)}{R_h}-\frac{g}{2v_u^2\cos(\alpha)^2}.$$

Fyrir $h=0$ verður þessi jafna

$$0 = \frac{\tan(\alpha)}{R_0}-\frac{g}{2v_u^2\cos(\alpha)^2}.$$

Tökum nú mismun síðustu tveggja jafna og fáum

$$\frac{h}{R_h^2} = \tan(\alpha)\left(\frac{1}{R_h}-\frac{1}{R_0}\right).$$

Þá erum við laus við $v_u$ en tökum eftir því að þyngdarhröðunin $g$ dettur líka út! Nú má, með smá algebru, umrita þessa jöfnu á formið

$$R_0 = \frac{R_h}{1-\cot(\alpha)\frac{h}{R_h}}.$$

Ef hæðin $h$ er mjög lítil miðað við vegalengdina $R_h$ má gera nálgunina

$$R_0\approx R_h+\cot(\alpha)h$$

sem þýðir að breytingin á högglengdinni er

$$\cot(\alpha)h$$

óháð því hvort $h$ er jákvætt eða neikvætt.

Nálgunarformúlan fæst með því að athuga að rita má fyrir $x$ nógu lítið

$$\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + ...$$

Hægri hliðin á þessari jöfnu nefnist rúmfræðileg röð. Ef $x$ er mjög lítil tala (til dæmis 0.1) eru $x^2$, $x^3, \ldots$ enn minni tölur (0.01, 0.001, $\ldots$) og því er ágæt nálgun að rita

$$\frac{1}{1-x} \approx 1+x.$$

Myndir:

• Yfirlitsmynd: Designing A Golf Course: The Key Elements To Consider - GolfDom. (Sótt 25.06.2025).
• Mynd í svari: SÖS.

...