Sendu inn spurningu

Hér getur þú sent okkur nýjar spurningar um vísindaleg efni.

Hafðu spurninguna stutta og hnitmiðaða og sendu aðeins eina í einu. Einlægar og vandaðar spurningar um mikilvæg efni eru líklegastar til að kalla fram vönduð og greið svör. Ekki er víst að tími vinnist til að svara öllum spurningum.

Persónulegar upplýsingar um spyrjendur eru eingöngu notaðar í starfsemi vefsins, til dæmis til að svör verði við hæfi spyrjenda. Spurningum er ekki sinnt ef spyrjandi villir á sér heimildir eða segir ekki nægileg deili á sér.

Spurningum sem eru ekki á verksviði vefsins er eytt.

Að öðru leyti er hægt að spyrja Vísindavefinn um allt milli himins og jarðar!

=

Er hægt að setja 'óendanlegt' í annað veldi?

Upphaflega spurningin var sem hér segir:
Er hægt að setja endalaust í annað veldi?
Þessa spurningu má skilja á fleiri en einn veg en við höfum kosið að skilja hana eins og fram kemur í spurningarreitnum. Vikið er að öðrum kostum í lok svarsins.

Svarið er já, og útkoman er aftur „endalaust“ eða óendanlegt. En hér er auðvitað nauðsynlegt að skýra hvað við er átt.

Hugsum okkur töflu með n dálkum og n röðum eða línum. Fjöldi reita í töflunni er þá n2 (n í öðru veldi eða n sinnum n). Við getum auðkennt hvern þeirra með númeri dálksins og númeri línunnar sem hann er í. Parið (3,5) samsvarar þannig reitnum sem er í 3. dálki og 5. línu. Þannig höfum við gagntæka vörpun milli reitanna og allra para sem búin eru til úr tölum á bilinu frá 1 upp í n. Það merkir að hverjum reit samsvarar eitt og aðeins eitt par og hverju pari samsvarar einn og aðeins einn reitur.

Þetta getum við notað til að gefa því merkingu að setja eða hefja 'óendanlegt' í annað veldi. Við búum einfaldlega til öll röðuð pör af náttúrlegum tölum:
(1,1) (1,2) (2,1) (1,3) (2,2) (3,1) (1,4)...
Fjöldi talnanna í hvoru sæti um sig er óendanlegur og því er eðlilegt að segja að fjöldi para sé einmitt "óendanlegt í öðru veldi", á sama hátt og fjöldi reita eða para í endanlegu töflunni er n í öðru veldi eins og við sögðum hér á undan.

En á hinn bóginn er hægt að búa til gagntæka vörpun milli mengisins af pörum, sem er stundum táknað með N2, og upphaflega mengisins N, það er að segja mengisins af náttúrlegum tölum. Ein slík vörpun gæti verið eins og ýjað er að í röðuninni hér á undan, þannig að tala 1 samsvarar parinu (1,1), 2 samsvara (1,2), 3 (2,1), 4 (1,3) og svo framvegis. Parinu sem er númer n í röðinni samsvarar á hinn bóginn náttúrlega talan n.

Mengið af pörum er því í þessum skilningi stærðfræðinnar jafnstórt og mengi náttúrlegra talna. Við höfum þannig sýnt fram á það sem sagt er í upphafi svarsins um leið og við gáfum því merkingu.

Upphaflegu spurninguna sem sýnd er í byrjun svarsins má annars líka til dæmis skilja sem svo, hvort hægt sé að halda áfram endalaust að setja tölu í annað veldi. Ef við byrjum til að mynda með töluna 2 þá mundi þannig koma fram runan
2, 4, 16, 256, ...
Svarið við þessari spurningu er einnig skýlaust já; við getum haldið svona áfram endalaust!

Höfundur þakkar Rögnvaldi Möller fróðlegar umræður um þetta svar.

Útgáfudagur

23.3.2001

Spyrjandi

Arnar Ellertsson, f. 1984

Höfundur

Þorsteinn Vilhjálmsson

prófessor emeritus, ritstjóri Vísindavefsins 2000-2010 og ritstjóri Evrópuvefsins 2011

Tilvísun

Þorsteinn Vilhjálmsson. „Er hægt að setja 'óendanlegt' í annað veldi?“ Vísindavefurinn, 23. mars 2001. Sótt 14. desember 2018. http://visindavefur.is/svar.php?id=1413.

Þorsteinn Vilhjálmsson. (2001, 23. mars). Er hægt að setja 'óendanlegt' í annað veldi? Vísindavefurinn. Sótt af http://visindavefur.is/svar.php?id=1413

Þorsteinn Vilhjálmsson. „Er hægt að setja 'óendanlegt' í annað veldi?“ Vísindavefurinn. 23. mar. 2001. Vefsíða. 14. des. 2018. <http://visindavefur.is/svar.php?id=1413>.

Chicago | APA | MLA

Sendu inn spurningu
eða

Vísindadagatalið

Ólöf Guðný Geirsdóttir

1968

Ólöf Guðný Geirsdóttir er dósent í næringarfræði við Matvæla- og næringarfræðideild HÍ. Meginviðfangsefni hennar eru næringarástand aldraðra ásamt rannsóknum á áhrifum næringar á farsæla öldrun.