Er búið að leysa einhver af verkefnum Hilberts í stærðfræði?

Nafn þitt

Netfang þitt

Netfang móttakanda

Ruslpóstvörn =

Svar

Er búið að leysa einhver af verkefnum Hilberts í stærðfræði?
David Hilbert (1862-1943) var þýskur stærðfræðingur sem meðal annars lagði mikið af mörkum til rúmfræði og fellagreiningar. Hann er frægastur fyrir ávarp sitt á alþjóðlegum fundi stærðfræðinga í París um aldamótin 1900, þar sem hann setti fram lista af 23 stærðfræðilegum verkefnum sem honum þótti mikilvægt að leysa til að stuðla að framþróun stærðfræðinnar.

Þessi listi Hilberts hefur haft heilmikil áhrif á stærðfræði fram til dagsins í dag. Vandamálin á honum hafa reynst miserfið og þau skiptast í fjóra flokka; nokkur voru leyst strax á fyrstu árunum eftir að listinn var lagður fram, önnur eru óleyst í dag, einhver eru of óljós til að svara með afgerandi hætti samkvæmt stöðlum nútímastærðfræði, og enn önnur hafa vakið upp alvarlegar spurningar um undirstöður stærðfræðinnar. Við skulum líta á dæmi um eitt verkefni úr hverjum flokki.

Fyrsta vandamálið sem var leyst var númer 3 á listanum. Það er:

Gefnir eru tveir margflötungar sem hafa sama rúmmál. Er alltaf hægt að skipta öðrum þeirra í endanlega marga margflötunga, og setja hann saman aftur þannig að út fáist seinni margflötungurinn?

Einn af nemendum Hilberts, Max Dehn (1878-1952), fann innan árs dæmi um tvo marghyrninga sem þessi fullyrðing gildir ekki um, og svaraði þannig spurningunni neitandi. Athyglisvert er að ef marghyrningarnir liggja í plani og hafa sama flatarmál, til dæmis ef þeir eru þríhyrningar eða ferhyrningar, þá má svara spurningunni játandi. Því skiptir virkilega máli fyrir spurninguna að marghyrningarnir séu þrívíð fyrirbæri.

Þrír marghyrningar.

Frægasta vandamálið á listanum er 8. verkefnið, en það er svokölluð tilgáta Riemanns. Þrátt fyrir margar tilraunir hefur ekki enn tekist að sanna hana á þeim 150 árum sem liðin eru frá því að hún var sett fram. Riemann-tilgátan segir að allar núllstöðvar svokallaðs zetafalls liggi á sömu línu í tvinntalnaplaninu. Þessar núllstöðvar eru óendanlega margar, og búið er að reikna út að tilgátan stenst fyrir fyrstu billjón núllstöðvarnar. Til mikils er að vinna fyrir hvern þann sem sannar tilgátuna, því hans bíða milljón dollara verðlaun.

Annað frægt vandamál er verkefni númer 2, en í því er fólk beðið um að sanna að frumsendur reikningslistarinnar leiði ekki til mótsagnar. Árið 1931 birti Kurt Gödel (1906-1978) ófullkomleikasetningu sína, sem segir að ómögulegt sé að svara verkefninu með frumsendum reikningslistarinnar einum að vopni. Menn eru ekki á einu máli um hvort þetta sé lausn á verkefninu, því árið 1936 var sýnt að sanna má að frumsendur reikningslistarinnar leiða ekki til mótsagnar, með því að bæta við frumsendum mengjafræðinnar. Umræðurnar í kring um þá sönnun og ófullkomleikasetningu Gödels leiddu til alvarlegra spurninga um undirstöður stærðfræðinnar, og í framhaldi af þeim var sýnt fram á tilvist stærðfræðilegra verkefna sem er ekki hægt að svara innan hefðbundinnar stærðfræði.

Hilbert hafði tröllatrú á krafti stærðfræðinnar og var mjög ósáttur við ófullkomleikasetningu Gödels.
Eitt þeirra verkefna sem telst vera of óljóst til að takast á við er 6. vandamál Hilberts. Í því er spurt hvort hægt sé að finna frumsendur fyrir eðlisfræði, svo það mætti leiða niðurstöður hennar út líkt og í stærðfræði. Þegar Hilbert setti listann sinn fram var aðeins klassísk eðlisfræði þekkt, og menn þóttust fullvissir um að stutt væri í fullkomna lýsingu á alheiminum með lögmálum hennar. Með tilkomu afstæðiskenningarinnar og skammtafræði hefur komið í ljós að heimurinn er flóknari en menn héldu, og að enn er of margt óþekkt til að finna megi sameinaða kenningu eðlisfræði sem lýsir öllum heiminum, ef slík kenning er á annað borð til.

Þau vandamál sem hafa verið leyst fullkomlega eru númer 3, 7, 10, 11, 13, 14, 17, 19, 20, og 21. Einnig er búið að finna lausnir á vandamálum númer 1, 2, 5, 9, 15, 18, og 22, en ekki eru allir stærðfræðingar sammála um að það séu lausnir í sama skilningi og Hilbert meinti. Verkefni númer 8 og 12 eru enn óleyst, og samkvæmt venjum nútímastærðfræði eru verkefni númer 4, 6, 16 og 23 of óljós til að finna megi lausn á þeim. Þess vegna mætti segja að búið sé að leysa 17 af hinum 23 upprunalegum verkefnum Hilberts, en kórrétt væri að segja að aðeins 10 þeirra hafi verið leyst. Lista Hilberts má skoða í heild sinni á vefsíðu Mathworld.

Um síðustu aldamót var reynt að endurtaka leikinn og birta lista yfir þau vandamál sem hvað mikilvægast er að leysa á 21. öldinni. Það var Clay Mathematics Institute sem fékk nokkra stærðfræðinga til verksins, og þeir sættust á sjö verkefni. Af þeim er eitt á upprunalega lista Hilberts, en það er tilgáta Riemanns. Fyrir lausn á hverju verkefni eru í boði milljón dollara verðlaun. Aðeins eitt þeirra hefur þegar verið leyst, en það er Poincaré-tilgátan sem var sönnuð af Grigori Perelman (1966- ) árið 2006.

Heimildir og myndir:

• Ágrip af ævi Hilberts
• Heimasíða Clay Mathematics Institute
• Hilbert verkefnin á Wikipedia.
• Myndirnar af Hilbert og marghliðungum voru fengnar af Wikipedia.
• Myndin af sóleynni var fengin af Flickr. Ljósmyndari er Sam Lee.

...