Senda inn spurningu
Sólin Sólin Rís 05:15 • sest 21:38 í Reykjavík
Tunglið Tunglið Rís 01:18 • Sest 04:30 í Reykjavík
Flóð Flóð Árdegis: 07:36 • Síðdegis: 19:53 í Reykjavík
Fjaran Fjara Árdegis: 01:39 • Síðdegis: 13:42 í Reykjavík
Visit the English version

Flokkun:

Náttúruvísindi og verkfræði Stærðfræði

Hver er tala Grahams?

Gunnar Þór Magnússon

Tala Grahams er efra mark á stærð lausnar á ákveðnu vandamáli í Ramsey-fræði. Sú fræði heitir eftir stofnanda sínum, Frank P. Ramsey (1903 - 1930), og leitast við að svara spurningum um hversu marga hluti við þurfum að hafa til að fá ákveðna reglu eða byggingu í heildarsafn þeirra. Sem einfalt dæmi um vandamál í Ramsey-fræði má nefna skúffuregluna:
Segjum að við höfum ákveðið margar skúffur og vissan fjölda af sökkapörum sem við ætlum að raða í skúffurnar. Hvað þurfa sokkapörin þá að vera mörg til að tryggja að einhver skúffan innihaldi meira en eitt par af sokkum? Svarið er auðvitað að við þurfum að eiga fleiri pör af sokkum en skúffur.
Þótt skúffureglan virðist augljós, þá er hún merkilega gagnlegt verkfæri í talningafræði og hefur meira að segja nokkrar athyglisverðar afleiðingar í daglega lífinu. Til dæmis má nota skúffuregluna til að sanna að í London eru að minnsta kosti tvær manneskjur sem hafa jafnmörg hár á höfðinu.



Hafa þessir Lundúnarbúar jafnmörg hár á höfðinu?

Annað vandamál í Ramsey-fræði er eftirfarandi: Segjum að við vinnum á skrifstofu með ákveðnum fjölda möppudýra. Okkur leiðist, þannig að við skrifum upp lista yfir allar mögulegar nefndir sem má mynda úr þessum möppudýrum og við gefum sérhverju pari af nefndum númer. Núna röðum við nefndarpörunum í tvo hópa af handahófi. Hver er minnsti fjöldi möppudýra sem við getum byrjað með sem tryggir að til séu fjórar nefndir þannig að sérhvert par þeirra sé í sama hóp og að öll möppudýrin sitji í sléttum fjölda nefnda?

Við vitum ekki svarið við þessari spurningu. Þetta vandamál var sett fram árið 1971 í grein eftir stærðfræðingana Graham og Rothschild. Í sömu grein sýndu þeir að fjöldi möppudýranna sem þarf til er minni en ákveðin risastór tala, sem er kölluð tala Grahams. Þess má geta að í grein sinni sönnuðu Graham og Rothschild einnig að fjöldinn er stærri eða jafn 6, og árið 2003 bætti stærðfræðingurinn Geoff Exoo þetta mat og sýndi að fjöldi möppudýranna er stærri eða jafn 11. Þannig vitum við að þessi fjöldi er einhvers staðar á bilinu frá 11 og upp í Grahams-tölu.

Tala Grahams er ein stærsta talan sem hefur verið hagnýtt í einhverjum tilgangi. Að segja að hún sé risastór gefur svo vanmetna mynd af stærð hennar að það tekur því ekki að tala um það. Tala Grahams er svo stór að jafnvel þó að við skrifuðum einn tölustaf hennar á hvert einasta atóm í alheiminum myndi ennþá vanta ólýsanlega marga þeirra upp á þegar við yrðum uppiskroppa með atóm. Svo að við tökum eina samlíkingu í viðbót, þá er stærðarmunurinn á húsflugu og öllum hinum sýnilega alheimi hverfanlegur í samanburði við tölu Grahams. Engu að síður er tala Grahams endanlega stór náttúrleg tala, en ef svarið við möppudýraspurningunni að ofan er einhversstaðar í nágrenni við hana, þá mun sennilega seint takast að safna nógu mörgum möppudýrum saman til að láta reyna á svarið í raun og veru.

Tengt efni á Vísindavefnum:

Heimildir og mynd:

  • Grein um tölu Grahams á Mathworld.
  • Tala Grahams á Wikipedia.
  • Myndin af bresku leikurunum Alexander Armstrong og Mark Warren er af Flickr.

Höfundur

Gunnar Þór Magnússon

Gunnar Þór Magnússon

stærðfræðingur

Útgáfudagur

6.7.2009

Spyrjandi

Ólafur Magnússon

Efnisorð

Tilvísun

Gunnar Þór Magnússon. „Hver er tala Grahams? “ Vísindavefurinn, 6. júlí 2009. Sótt 26. apríl 2024. http://visindavefur.is/svar.php?id=25110.

Gunnar Þór Magnússon. (2009, 6. júlí). Hver er tala Grahams? Vísindavefurinn. Sótt af http://visindavefur.is/svar.php?id=25110

Gunnar Þór Magnússon. „Hver er tala Grahams? “ Vísindavefurinn. 6. júl. 2009. Vefsíða. 26. apr. 2024. <http://visindavefur.is/svar.php?id=25110>.

Chicago | APA | MLA

Þessi síða notar vafrakökur Nánari upplýsingar

Ég samþykki
Spyrja

Sendu inn spurningu LeiðbeiningarTil baka

Hér getur þú sent okkur nýjar spurningar um vísindaleg efni.

Hafðu spurninguna stutta og hnitmiðaða og sendu aðeins eina í einu. Einlægar og vandaðar spurningar um mikilvæg efni eru líklegastar til að kalla fram vönduð og greið svör. Ekki er víst að tími vinnist til að svara öllum spurningum.

Persónulegar upplýsingar um spyrjendur eru eingöngu notaðar í starfsemi vefsins, til dæmis til að svör verði við hæfi spyrjenda. Spurningum er ekki sinnt ef spyrjandi villir á sér heimildir eða segir ekki nægileg deili á sér.

Spurningum sem eru ekki á verksviði vefsins er eytt.

Að öðru leyti er hægt að spyrja Vísindavefinn um allt milli himins og jarðar!

=

Senda grein til vinar

=

Hver er tala Grahams?
Tala Grahams er efra mark á stærð lausnar á ákveðnu vandamáli í Ramsey-fræði. Sú fræði heitir eftir stofnanda sínum, Frank P. Ramsey (1903 - 1930), og leitast við að svara spurningum um hversu marga hluti við þurfum að hafa til að fá ákveðna reglu eða byggingu í heildarsafn þeirra. Sem einfalt dæmi um vandamál í Ramsey-fræði má nefna skúffuregluna:

Segjum að við höfum ákveðið margar skúffur og vissan fjölda af sökkapörum sem við ætlum að raða í skúffurnar. Hvað þurfa sokkapörin þá að vera mörg til að tryggja að einhver skúffan innihaldi meira en eitt par af sokkum? Svarið er auðvitað að við þurfum að eiga fleiri pör af sokkum en skúffur.
Þótt skúffureglan virðist augljós, þá er hún merkilega gagnlegt verkfæri í talningafræði og hefur meira að segja nokkrar athyglisverðar afleiðingar í daglega lífinu. Til dæmis má nota skúffuregluna til að sanna að í London eru að minnsta kosti tvær manneskjur sem hafa jafnmörg hár á höfðinu.



Hafa þessir Lundúnarbúar jafnmörg hár á höfðinu?

Annað vandamál í Ramsey-fræði er eftirfarandi: Segjum að við vinnum á skrifstofu með ákveðnum fjölda möppudýra. Okkur leiðist, þannig að við skrifum upp lista yfir allar mögulegar nefndir sem má mynda úr þessum möppudýrum og við gefum sérhverju pari af nefndum númer. Núna röðum við nefndarpörunum í tvo hópa af handahófi. Hver er minnsti fjöldi möppudýra sem við getum byrjað með sem tryggir að til séu fjórar nefndir þannig að sérhvert par þeirra sé í sama hóp og að öll möppudýrin sitji í sléttum fjölda nefnda?

Við vitum ekki svarið við þessari spurningu. Þetta vandamál var sett fram árið 1971 í grein eftir stærðfræðingana Graham og Rothschild. Í sömu grein sýndu þeir að fjöldi möppudýranna sem þarf til er minni en ákveðin risastór tala, sem er kölluð tala Grahams. Þess má geta að í grein sinni sönnuðu Graham og Rothschild einnig að fjöldinn er stærri eða jafn 6, og árið 2003 bætti stærðfræðingurinn Geoff Exoo þetta mat og sýndi að fjöldi möppudýranna er stærri eða jafn 11. Þannig vitum við að þessi fjöldi er einhvers staðar á bilinu frá 11 og upp í Grahams-tölu.

Tala Grahams er ein stærsta talan sem hefur verið hagnýtt í einhverjum tilgangi. Að segja að hún sé risastór gefur svo vanmetna mynd af stærð hennar að það tekur því ekki að tala um það. Tala Grahams er svo stór að jafnvel þó að við skrifuðum einn tölustaf hennar á hvert einasta atóm í alheiminum myndi ennþá vanta ólýsanlega marga þeirra upp á þegar við yrðum uppiskroppa með atóm. Svo að við tökum eina samlíkingu í viðbót, þá er stærðarmunurinn á húsflugu og öllum hinum sýnilega alheimi hverfanlegur í samanburði við tölu Grahams. Engu að síður er tala Grahams endanlega stór náttúrleg tala, en ef svarið við möppudýraspurningunni að ofan er einhversstaðar í nágrenni við hana, þá mun sennilega seint takast að safna nógu mörgum möppudýrum saman til að láta reyna á svarið í raun og veru.

Tengt efni á Vísindavefnum:

Heimildir og mynd:

  • Grein um tölu Grahams á Mathworld.
  • Tala Grahams á Wikipedia.
  • Myndin af bresku leikurunum Alexander Armstrong og Mark Warren er af Flickr.
...