Sólin Sólin Rís 10:49 • sest 15:45 í Reykjavík
Tunglið Tunglið Rís 16:22 • Sest 13:49 í Reykjavík
Flóð Flóð Árdegis: 07:21 • Síðdegis: 19:38 í Reykjavík
Fjaran Fjara Árdegis: 01:10 • Síðdegis: 13:37 í Reykjavík

Ef þversumma tölu er dregin frá henni, hvers vegna er útkoman þá alltaf deilanleg með 9?

Einar Örn Þorvaldsson og Þorsteinn Vilhjálmsson

Upphaflega spurningin var sem hér segir:
Getið þið útskýrt fyrirbærið á þessari slóð?
Hér á eftir kemur í ljós að þetta er í raun sama spurningin en við höfum sett hana fram þannig að hún snúi að vísindum og geti vakið almennan áhuga. Á vefsetrinu sem vísað er til er gesturinn beðinn að taka einhverja tveggja stafa tölu, draga þversummu hennar frá henni og horfa síðan á merkið sem er við útkomuna í töflu á síðunni. Síðan á að smella á kristallskúlu til vinstri og þá birtist þetta sama merki. Við leggjum til að lesandinn skoði þetta áður en lengra er haldið, með því að smella á tengilinn í spurningunni hér á undan.

Galdurinn er fólginn í þeirri stærðfræðilegu staðreynd að útkoman verður alltaf heilt margfeldi af 9 þegar þversumma tölu er dregin frá tölunni sjálfri. Merkin sem eru við hlið hvers margfeldis af níu í töflunni (9, 18, 27, ..., 81 sem er hæsta mögulega útkoma) eru öll eins á hverjum tíma og kúlan sýnir alltaf það merki. Þess vegna er alveg sama hvaða tveggja stafa tala er valin; útkoman verður alltaf heilt margfeldi af níu og merkið sem kúlan sýnir þess vegna alltaf rétt. Hins vegar er reynt að dylja þá staðreynd að merkið við umræddar tölur er alltaf hið sama með því að láta það breytast þegar gesturinn kemur aftur og vill kannski reyna á "getspeki" kúlunnar enn einu sinni!

Tökum dæmi:
24 -> 2 + 4 = 6 -> 24 - 6 = 18 = 2 ∙ 9
30 -> 3 + 0 = 3 -> 30 - 3 = 27 = 3 ∙ 9
57 -> 5 + 7 = 12 -> 57 - 12 = 45 = 5 ∙ 9
99 -> 9 + 9 = 18 -> 99 - 18 = 81 = 9 ∙ 9
og þannig mætti halda áfram fyrir allar tveggja stafa tölur.

Til þess að átta okkur á þessu almennt getum við til dæmis skoðað fjögra stafa tölu N sem er skrifuð í tugakerfi okkar sem mnpq þar sem m, n, p og q eru hver um sig heil tala á bilinu frá 0 til 9 (til dæmis 3509). Töluna sjálfa og þversummu hennar, Þ, má þá skrifa sem
N = m ∙ 1000 + n ∙ 100 + p ∙ 10 + q

Þ = m + n + p + q
Mismunurinn er
N - Þ = 999 ∙ m + 99 ∙ n + 9 ∙ p
og við sjáum glöggt að 9 ganga alltaf upp í honum, hver sem upphaflega talan N hefur verið.

Þetta er auðvelt að alhæfa og sannfæra sig um að það gildir um allar heilar tölur. Raunar er það líka nátengt þeirri reglu sem sumir þekkja, að þversumma tölu ræður því hvort 3 eða 9 ganga upp í tölunni:
Talan 3 eða 9 gengur upp í ótiltekinni heilli tölu N þá og því aðeins að sama tala, 3 eða 9, gangi upp í þversummu tölunnar N.
Þetta leiðir beint af því að mismunur tölunnar og þversummunnar er deilanlegur með 9 eins og áður var rakið.

Höfundar

háskólanemi og starfsmaður Vísindavefsins

Þorsteinn Vilhjálmsson

prófessor emeritus, ritstjóri Vísindavefsins 2000-2010 og ritstjóri Evrópuvefsins 2011

Útgáfudagur

10.6.2003

Spyrjandi

Harpa Vilbergsdóttir

Tilvísun

Einar Örn Þorvaldsson og Þorsteinn Vilhjálmsson. „Ef þversumma tölu er dregin frá henni, hvers vegna er útkoman þá alltaf deilanleg með 9?“ Vísindavefurinn, 10. júní 2003. Sótt 2. desember 2020. http://visindavefur.is/svar.php?id=3488.

Einar Örn Þorvaldsson og Þorsteinn Vilhjálmsson. (2003, 10. júní). Ef þversumma tölu er dregin frá henni, hvers vegna er útkoman þá alltaf deilanleg með 9? Vísindavefurinn. Sótt af http://visindavefur.is/svar.php?id=3488

Einar Örn Þorvaldsson og Þorsteinn Vilhjálmsson. „Ef þversumma tölu er dregin frá henni, hvers vegna er útkoman þá alltaf deilanleg með 9?“ Vísindavefurinn. 10. jún. 2003. Vefsíða. 2. des. 2020. <http://visindavefur.is/svar.php?id=3488>.

Chicago | APA | MLA

Spyrja

Sendu inn spurningu LeiðbeiningarTil baka

Hér getur þú sent okkur nýjar spurningar um vísindaleg efni.

Hafðu spurninguna stutta og hnitmiðaða og sendu aðeins eina í einu. Einlægar og vandaðar spurningar um mikilvæg efni eru líklegastar til að kalla fram vönduð og greið svör. Ekki er víst að tími vinnist til að svara öllum spurningum.

Persónulegar upplýsingar um spyrjendur eru eingöngu notaðar í starfsemi vefsins, til dæmis til að svör verði við hæfi spyrjenda. Spurningum er ekki sinnt ef spyrjandi villir á sér heimildir eða segir ekki nægileg deili á sér.

Spurningum sem eru ekki á verksviði vefsins er eytt.

Að öðru leyti er hægt að spyrja Vísindavefinn um allt milli himins og jarðar!

=

Senda grein til vinar

=

Ef þversumma tölu er dregin frá henni, hvers vegna er útkoman þá alltaf deilanleg með 9?
Upphaflega spurningin var sem hér segir:

Getið þið útskýrt fyrirbærið á þessari slóð?
Hér á eftir kemur í ljós að þetta er í raun sama spurningin en við höfum sett hana fram þannig að hún snúi að vísindum og geti vakið almennan áhuga. Á vefsetrinu sem vísað er til er gesturinn beðinn að taka einhverja tveggja stafa tölu, draga þversummu hennar frá henni og horfa síðan á merkið sem er við útkomuna í töflu á síðunni. Síðan á að smella á kristallskúlu til vinstri og þá birtist þetta sama merki. Við leggjum til að lesandinn skoði þetta áður en lengra er haldið, með því að smella á tengilinn í spurningunni hér á undan.

Galdurinn er fólginn í þeirri stærðfræðilegu staðreynd að útkoman verður alltaf heilt margfeldi af 9 þegar þversumma tölu er dregin frá tölunni sjálfri. Merkin sem eru við hlið hvers margfeldis af níu í töflunni (9, 18, 27, ..., 81 sem er hæsta mögulega útkoma) eru öll eins á hverjum tíma og kúlan sýnir alltaf það merki. Þess vegna er alveg sama hvaða tveggja stafa tala er valin; útkoman verður alltaf heilt margfeldi af níu og merkið sem kúlan sýnir þess vegna alltaf rétt. Hins vegar er reynt að dylja þá staðreynd að merkið við umræddar tölur er alltaf hið sama með því að láta það breytast þegar gesturinn kemur aftur og vill kannski reyna á "getspeki" kúlunnar enn einu sinni!

Tökum dæmi:
24 -> 2 + 4 = 6 -> 24 - 6 = 18 = 2 ∙ 9
30 -> 3 + 0 = 3 -> 30 - 3 = 27 = 3 ∙ 9
57 -> 5 + 7 = 12 -> 57 - 12 = 45 = 5 ∙ 9
99 -> 9 + 9 = 18 -> 99 - 18 = 81 = 9 ∙ 9
og þannig mætti halda áfram fyrir allar tveggja stafa tölur.

Til þess að átta okkur á þessu almennt getum við til dæmis skoðað fjögra stafa tölu N sem er skrifuð í tugakerfi okkar sem mnpq þar sem m, n, p og q eru hver um sig heil tala á bilinu frá 0 til 9 (til dæmis 3509). Töluna sjálfa og þversummu hennar, Þ, má þá skrifa sem
N = m ∙ 1000 + n ∙ 100 + p ∙ 10 + q

Þ = m + n + p + q
Mismunurinn er
N - Þ = 999 ∙ m + 99 ∙ n + 9 ∙ p
og við sjáum glöggt að 9 ganga alltaf upp í honum, hver sem upphaflega talan N hefur verið.

Þetta er auðvelt að alhæfa og sannfæra sig um að það gildir um allar heilar tölur. Raunar er það líka nátengt þeirri reglu sem sumir þekkja, að þversumma tölu ræður því hvort 3 eða 9 ganga upp í tölunni:
Talan 3 eða 9 gengur upp í ótiltekinni heilli tölu N þá og því aðeins að sama tala, 3 eða 9, gangi upp í þversummu tölunnar N.
Þetta leiðir beint af því að mismunur tölunnar og þversummunnar er deilanlegur með 9 eins og áður var rakið....