Sendu inn spurningu

Hér getur þú sent okkur nýjar spurningar um vísindaleg efni.

Hafðu spurninguna stutta og hnitmiðaða og sendu aðeins eina í einu. Einlægar og vandaðar spurningar um mikilvæg efni eru líklegastar til að kalla fram vönduð og greið svör. Ekki er víst að tími vinnist til að svara öllum spurningum.

Persónulegar upplýsingar um spyrjendur eru eingöngu notaðar í starfsemi vefsins, til dæmis til að svör verði við hæfi spyrjenda. Spurningum er ekki sinnt ef spyrjandi villir á sér heimildir eða segir ekki nægileg deili á sér.

Spurningum sem eru ekki á verksviði vefsins er eytt.

Að öðru leyti er hægt að spyrja Vísindavefinn um allt milli himins og jarðar!

=

Getur margfeldi tveggja talna verið jafnt summu þeirra?

Spurninguna má umorða þannig að við viljum athuga hvort til séu tvær tölur $x$ og $y$ þannig að

\[x \cdot y = x + y.\]

Með því að draga $y$ frá báðum hliðum jöfnunnar má umrita hana yfir á formið

\[x \cdot y - y = x.\]

Með því að taka $y$ út fyrir sviga í vinstri hlið fæst

\[y \cdot (x-1) = x.\]

Ef við látum $x$ vera $1$ í þessari jöfnu fæst $y \cdot (1-1) = y \cdot 0 = 0$ í vinstri hlið og $1$ í hægri hlið. Jafnan segir þá að $0 = 1$, sem fær augljóslega ekki staðist. Þess vegna sjáum við að $x$ getur ekki verið $1$ og þar með getur sviginn $(x-1)$ ekki verið $0$. Því getum við deilt í báðar hliðar jöfnunnar með $(x-1)$ og fengið:

\[y = \frac{x}{x-1}.\]

Um leið og $x$ er látið vera einhver þekkt tala, önnur en $1$, sýnir þessi formúla hvernig hægt er að reikna tilsvarandi gildi á $y$ þannig að upphaflegu jöfnunni sé fullnægt, það er þannig að $x \cdot y = x + y$. Þar sem $x$ getur verið hvaða tala sem er, önnur en $1$, eru til óendanlega mörg pör af tölum sem hafa þann eiginleika að margfeldi þeirra sé jafnt summu þeirra.

Tökum nokkur dæmi um slík pör. Ef $x$ er látið vera $2$ gefur formúlan að framan að

\[y = \frac{x}{x-1} = \frac{2}{2-1} = 2.\]

Þetta þýðir að margfeldi talnanna $2$ og $2$ er jafnt summu þeirra, sem auðvelt er að sannreyna:

\[2\cdot2=4 \quad\text{og}\quad 2+2=4.\]

Ef $x$ er látið vera $-1$ gefur formúlan að framan að

\[y = \frac{x}{x-1} = \frac{-1}{-1-1} = \frac12.\]

Þetta þýðir að margfeldi talnanna $-1$ og $1/2$ er jafnt summu þeirra, sem einnig er auðvelt að sannreyna:

\[(-1) \cdot \frac12 = - \frac12 \quad\text{og}\quad -1 + \frac12 = -\frac12.\]

Ef $x$ er látið vera $3$ gefur formúlan að framan að

\[y = \frac{x}{x-1} = \frac{3}{3-1} = \frac32.\]

Þetta þýðir að margfeldi talnanna $3$ og $3/2$ er jafnt summu þeirra, sem aftur er auðvelt að sannreyna:

\[3 \cdot \frac32 = \frac{3 \cdot 3}2 = \frac92 \quad\text{og}\quad 3+\frac32 = \frac62+\frac32 = \frac92.\]

Svona mætti halda áfram endalaust með því að láta $x$ sífellt taka nýtt gildi og nota formúluna að framan til að reikna tilsvarandi gildi á $y$. Í töflunni hér að neðan má sjá dæmi um nokkur talnapör sem fást með þessum hætti. Lesendur geta sannreynt sjálfir að tölurnar tvær í sérhverri línu töflunnar hafi sama margfeldi og summu.

$x$ $y$
$6$ $6/5$
$5$ $5/4$
$4$ $4/3$
$3$ $3/2$
$2$ $2$
$0$ $0$
$-1$ $1/2$
$-2$ $2/3$
$-3$ $3/4$
$-4$ $4/5$

Ef við nú höfum aðeins áhuga á heiltölulausnum þessa verkefnis, það er að finna öll pör af heilum tölum $x$ og $y$ þannig að $x \cdot y = x + y$, er auðvelt að sjá að $0$ og $0$ annars vegar og $2$ og $2$ hins vegar eru einu pörin. Þetta er vegna þess að ef $x$ er heil tala getum við ritað

\[y = \frac{x}{x-1} = \frac{x-1+1}{x-1} = 1 + \frac1{x-1}.\]

Til þess að $y$ sé líka heil tala verður brotið $\frac1{x-1}$ að vera heil tala, en það gerist aðeins þegar nefnarinn $(x-1)$ er $-1$ eða $1$, sem gerist aðeins þegar $x$ er $0$ eða $2$. Ef $x$ er einhver önnur heil tala en $0$ eða $2$ er $y$ þess vegna ekki heil tala.

Spurningin í heild sinni hljóðaði svo:
Getur margfeldi tveggja talna verið jafnt summu þeirra? Eru mörg dæmi um slíkt eða einungis örfá og er hægt að sanna að þau séu ekki fleiri en eitthvað ákveðið?

Útgáfudagur

5.7.2011

Spyrjandi

Vilhjálmur Þór Sigurjónsson

Höfundur

B.S. í stærðfræði

Tilvísun

Einar Bjarki Gunnarsson. „Getur margfeldi tveggja talna verið jafnt summu þeirra?“ Vísindavefurinn, 5. júlí 2011. Sótt 11. desember 2018. http://visindavefur.is/svar.php?id=53502.

Einar Bjarki Gunnarsson. (2011, 5. júlí). Getur margfeldi tveggja talna verið jafnt summu þeirra? Vísindavefurinn. Sótt af http://visindavefur.is/svar.php?id=53502

Einar Bjarki Gunnarsson. „Getur margfeldi tveggja talna verið jafnt summu þeirra?“ Vísindavefurinn. 5. júl. 2011. Vefsíða. 11. des. 2018. <http://visindavefur.is/svar.php?id=53502>.

Chicago | APA | MLA

Sendu inn spurningu
eða

Vísindadagatalið

Sigurður Magnús Garðarsson

1967

Sigurður Magnús Garðarsson er prófessor í umhverfis- og byggingarverkfræði við HÍ og forseti Verkfræði- og náttúruvísindasviðs skólans. Sérsvið hans er umhverfisverkfræði með áherslu á straumfræði og vatnafræði.